Презентация "Полуправильные многогранники. Теоретический материал."
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему

Данная презентация посвящена теме “ Полуправильные многогранники ”.

Итак, что же за фигуры полуправильные многогранники?

Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют определённые свойства как у правильных многогранников

Эти свойства:

• Все грани одинаковы;
• Все грани являются правильными многоугольниками;
• Наличие пространственной симметрии.

С некоторыми многогранниками, которые образуют полуправильные многогранники,  мы уже сталкивались на уроке геометрии: это куб, пирамида, призма и тетраэдр.

Чтобы улучшить свои познания о полуправильных многогранниках, коснёмся  истории:  впервые полуправильные многогранники были открыты Архимедом - древнегреческим математиком, физиком и инженером из Сиракуз, сделавшим множество открытий в геометрии. Он заложил основы механики, открыл основной закон гидростатики, более известный как закон Архимеда.

Множество Архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составляют пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Усеченное тело – это тело с отрезанной верхушкой. Для Платоновых тел усечение может быть сделано таким образом, что и получающиеся новые грани и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками.

Другую группу Архимедовых тел составляют два тела, именуемые квазиправильными многогранниками. Частица «квази» подчеркивает, что грани этих многогранников представляют собой правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого типа. Эти два тела носят название кубооктаэдром и икосододекаэдром.

В третью группу тел входят 2 многогранника, названия которых отличаются от названий предыдущей группы тем, что в них есть приставка « ромбо », соответственно их названия – ромбокубооктаэдр и ромбокубоикосододекаэдр.

Четвёртую группу тел составляют многогранники, получившие названия “курносые” или “ плосконосые ”,  такие забавные названия, даны многогранникам по той причине, что они получаются при последовательном срезании каждой из вершин.

Перейдём к пятой, самой малочислённой и одновременно самой современной группе Архимедовых тел. Эта группа включает в себя лишь один полуправильный многогранник – псевдоромбокубооктаэдр.

Существование нового «архимедова тела», которое получается из ромбокубооктаэдра поворотом его верхней восьмиугольной «крышки» на 45 градусов по оси – открыл Миллер в 1930 г. и независимо от него В. Г. Ашкинузе и Л. Есаулова. Оба советских математика получили свои результаты независимо друг от друга и от Миллера.

На следующем слайде показан способ получения полуправильных многогранников. Как видите,  новые тела создаются посредством отсечения вершин многогранников.

Перейдём к звёздчатым многогранникам.  Термин "звёздчатый" имеет общий корень со словом "звезда", и это указывает на его происхождение. Существуют звездчатые многоугольники и звездчатые многогранники.

Звёздчатый октаэдр.

Был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им " стелла октангула " - звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название " стелла октангула Кеплера".

У октаэдра есть только одна звёздчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров. Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл.

Малый звёздчатый додекаэдр.

Икосаэдр и додекаэдр дарят миру сразу четыре "почти правильных многогранника". Один из них - малый звездчатый додекаэдр, полученный впервые Иоганном Кеплером.

Большой додекаэдр.

Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Многогранник, который называется "большой додекаэдр" - построил французский геометр Луи Пуансон спустя двести лет после кеплеровских звездчатых фигур.

Большой звездчатый додекаэдр.

Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звёздчатая форма правильного додекаэдра.

Большой икосаэдр.

Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансон в 1809 году. И опять Кеплер, "увидев" большой звездчатый додекаэдр, честь открытия второй фигуры оставил Луи Пуансону. Из рассмотренных до сих пор многогранников, пожалуй, самым красивым и декоративным является большой икосаэдр - последний из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера – Пуансона.

Мы рассмотрели только небольшую часть удивительного мира земных звезд - правильные звездчатые многогранники. Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа в виде кристаллов. Снежинки - это тоже звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

То же самое относится и к многогранникам: они использовались не только в точных науках, но и в искусстве.

Долгое время интерес к многогранным фигурам был потерян, однако он возродился в эпоху Ренессанса, в частности, в кругах архитекторов и художников. Лука Пачоли под влиянием своего друга Леонардо да Винчи написал сочинение «О божественной пропорции» (1509), в котором рассматривает «золотое сечение» и «архимедовы тела».

Множество правильных и полуправильных многогранников мы можем найти на картинах Маурица Корнелиса Эшера ( 1898 - 1972 ) – нидерландского художник-графика, прославившегося картинами в формате 3D, самый яркий представитель имп-арта – художественно течения XX века, нацеленное на изображение невозможных фигур и оптических иллюзий.  Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе Эшера "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.

Наиболее интересная работа Маурица Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.

Полуправильные многогранники можно обнаружить и в работах пожалуй самого известного и эпатажного художника 20 века, уроженца Испании, самого эксцентричного представителя сюрреализма – Сальвадора Дали. На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела  ВСЕЛЕННАЯ , т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра.