Многогранники и фигуры вращения
методическая разработка по геометрии (6 класс) на тему

МКОУ «Октябрьская основная общеобразовательная школа №30»

Методическая разработка темы

 «Первоначальное знакомство со стереометрией»

 для изучения в курсе математики 6 класса

учителя Шаталовой Светланы Николаевны

2013 – 2014 учебный год

Пояснительная записка

                 Первоначальное знакомство с предметом  стереометрия начинается в 6 классе. В учебнике М.Я. Виленкина  знакомство с фигурами предложено эпизодически, не в связи с изучаемым материалом. На уроке не всегда удаётся найти время на то, чтобы акцентировать на нём внимание учащихся, способствовать его усвоению. Поэтому я решила обобщить разрозненный материал в отдельную тему и рассмотреть его более  системно за счёт уроков повторения и ИГЗ. Думаю, что суммарное время, затраченное на поверхостное знакомство со  стереометрическими фигурами и решение предлагаемых задач в течение года, намного больше затраченного мной на обобщённое изучение, а качество знаний – выше, тем более  что такое изучение предполагает самостоятельную работу учащихся с моделями геометрических фигур и их развёртками.

                В данной разработке материал представлен тремя темами: «Многогранники», «Фигуры вращения», «Объёмы многогранников и фигур вращения». Тема «Объёмы многогранников и фигур вращения» используется с целью более углубленного изучения, подобраны задачи для закрепления тем.

Предмет стереометрии

До сих пор мы изучали свойства плоских фигур, т.е. фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Такие фигуры, как треугольник, квадрат, окружность, прямоугольник, являются плоскими. Но окружающие нас предметы в большинстве своём не являются плоскими, они расположены в пространстве и не умещаются в какой-то одной плоскости. Раздел математики, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией. В стереометрии наряду с простейшими фигурами – точками, прямыми и плоскостями рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Познакомимся с некоторыми многогранниками и фигурами вращения.

Тема 1. Многогранники

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое пространство. Напомним, что многоугольник – это геометрическая плоская замкнутая фигура, состоящая из точек и соединяющих их отрезков, в которой более трёх  углов. Прямоугольник и квадрат – простейшие знакомые нам многоугольники. Одни из самых простых многогранников – прямоугольный параллелепипед и куб. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер – вершинами многогранника. Кроме прямоугольного параллелепипеда и куба есть и другие многогранники. Познакомимся с призмой и пирамидой.

Призма – геометрическая фигура, состоящая из двух одинаковых многоугольников – оснований,  и прямоугольников, составляющих боковую поверхность.                

                                                                                         Призмы бывают прямые и

                                                                               наклонные. Форму призмы

                                                                                         имеет шляпка столярного

                                                                                           болта, некоторые соеди –

                                                                                          тельные части мотора авто –

мобиля.

Пирамида – многогранник, составленный из многоугольника, который является основанием и треугольников, составляющих боковую поверхность.

                           Своё название пирамида наших дней получила от древне –

                           египедских пирамид, которые владели лишь азами геометрии,

                          и, тем не менее, смогли сотворить шедевры, часть которых

                          сохранилась до наших дней. А что вам напоминает пирамида?

                          Какие предметы повторяют её форму?

 Параллелепипед – многогранник, основания и боковые стороны которого состоят из прямоугольников.            

                                                                 Куб – это многогранник, у которого

                                                                 основания и боковые стороны представ-

                                                                ляют собой равные квадраты. Вокруг нас

                                                                великое множество предметов, имеющих

                                                                  форму куба и параллелепипеда. Приведите примеры самостоятельно.

Тема 2. Тела и поверхности вращения.

Возьмём прямоугольник и будем вращать его вокруг одной из сторон. В результате получится тело, которое называют цилиндром.

                            При вращении сторон прямоугольника образуются два круга –

                          они называются основаниями цилиндра, а отрезок ОА -

                           радиусом цилиндра. Какие предметы напоминает вам

                           цилиндр?

                   Возьмём прямоугольный треугольник и будем вращать его вокруг                                                                                                                           одной из боковых сторон.    Такое вращение описывает фигуру, называемую      конусом. Конусовидную форму имеют колпаки гнома и Деда Мороза.                                        Шпили на куполах церквей тоже конусовидные.                                                

                             Вращением полукруга вокруг диаметра можно получить шар.

                            Поверхность шара называют сферой. Отрезок, соединяющий

м                           центр сферы с любой точкой её поверхности, называют ради-

                             усом сферы. Сферическую форму имеют многие предметы.

                            Среди них футбольный мяч, воздушный шарик и школьный глобус – макет Земного шара.

Вопросы и задачи

1. Сколько рёбер, граней и вершин имеет: а) прямоугольный параллелепипед ;  б) куб;   в) пирамида;  в) призма?
2. Существует ли параллелепипед, у которого: а)только одна грань – прямоугольник; б)все углы граней – острые;  в)все углы граней – прямые?
3. Задача №771 (м-6)
4. Задача №1009

Тема 3.  Объёмы многогранников и фигур вращения

Введём обозначения:  объём фигуры,    площадь основания фигуры,   радиус окружности или сферы,  

Объёмы многогранников и фигур вращения рассчитываются по следующим формулам:

      где   длина и ширина  основания;

                     где    – длина ребра куба;

.

Задачи

1. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина 15 см, ширина 10 см, а высота 20 см.
2. Найдите объём куба с ребром  0,3 м.
3. Найдите объём цилиндра, если известно, что его высота равна 12 см, а в основание – окружность с радиусом, равным  4 см.
4. Найдите объём четырёхугольной пирамиды высотой  16 см, основанием которой является квадрат со стороной 4 см.
5. Чему равен объём конуса, если его высота 25 см, а основание – окружность, радиус которой  6 см?
6. Найдите объём  треугольной призмы, если известно, что её высота равна 12,6 см, а площадь основания – 17,5 см2.
7. Чему равен объём шара, радиус которого равен  3 см?