материалы по подготовке к егэ
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) на тему

С1

1.  а) 4sin3x = 3cos;  б) .        2. а) 3sin2x4cosх + 3sinx 2= 0;     б) .

3.  а) 2sin2xcosх + 4sinx + 1= 0;  б) .         4.  а) 3sin2xcosх + 2sinx - 1= 0;  б) .

5. а) 2sin2x4cosх + 3sinx 3 = 0;  б) .      6. а) 5sin2x5cosх  8sinx  4= 0;  б) .   

7. а) 2cos2 xsinx  1= 0;  б) .         8. а) 2sin2 xcosх  1= 0;  б) .     

9. а) ;  б) .             10. а) 2sin2 xcosх  1= 0;  б) . 

11. а) ;  б) .           12. а) ;  б) .            

13. а) ;  б) .     14. а) sin2 x2sinx cosх  3 cos2 x = 0;  б) .           

15. а) 2sin2 x3cosх  3 = 0;  б) .             16. а) ;  б) .                 

17.                                    18. а) 6cos2x14 cos2х 7 sin2x = 0; б) .

19. .                                        20. а) ;  б) .            

21. а) 3cos sinx.  б) .  22. а) 2cos2 xsinx  = 0;  б).         

23. а) 3sin2 x5 sin х  2= 0;  б) .        24. а) 2sin2 x cos х   = 0;  б) . 

25. а) sin x 7cos х sin х  = 0;  б) .           26. ;  б) .        

27. .                          28. а); б) .     

29. а) 1  sin 2х = ( sin х + cos х);  б) .     30. а) 8 sinх cos3 x 2 cos2х + 1 = ;  б) .     

31. а) 2 sinх   1 = ;  б) .        32. а) sinх = ;     б) .     

33. а) sin2х = ;     б) .          34. а) 4sin2 x12 sin х  5 = 0;  б) .

35. а) 6 2 x7 х  5 = 0;  б) .    36. а)   2x= 1 ;  б) .

37. а) 2sin2=  ;  б) .  38. а)  2sin2=  ;  б) .

39. а) 4sin2 x4sin х  3= 0;  б) .        40. а) 4 2 x7sin х  7= 0;  б) .       

41. ( 6 х + 5 х – 4)=0.          42. а) ;  б) .          

43. а)   х = 0; б).     44.

Ответы.

1.  а) ;         б).

2.  а) ;         б).

3.  а) ;         б).

4.  а) ;      б).

5.  а) ;      б).

6.  а) ;    

 б).          7.  а) ;         б).    

8.  а) ;         б).

9.  а) ;         б).    

10.  а) ;         б).  

11.  а) ;      б).    

12.  а) ;         б).    

13.  а) ;         б).    

14. а) ;         б).    

15. а) ;         б).    

16. а) ;         б).    17.

18. а) ;      б).    

19. а) .    20. а) ;      б).    

21. а) ;         б).

22. а) ;         б).    

23. а) ;      б).    

24.  а) ;         б).    

25. а) ;         б).

26. а) ;         б).   27.  .

28. а) ;         б).    29. а) ;         б).    

30.  а) ;    б).    

31. а) ;         б).

32. а) ; б)  33.а) ;  б)     

34. а) ;  б)  35. а) ;б)     

36. а) ;         б).

37.  а) ;         б) 

38.  а) ;         б) 

39. а) ;  б).  

40. а) ;         б).

41. ;    

42. а) ;  б).  

43. а)  ;   б)  44. (

С2

1. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 5, боковые   ребра равны 2, точка D – середина ребра СС1. Найдите угол между плоскостями АВС и

А D В1.

2. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1 D1E1F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой E1F1.

3. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1 D1E1F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой А1D 1.

4. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1 D1E1F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой С1 D.

5. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1 D1E1F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки F1 до прямой АС.

6. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1 D1E1F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой С1F.

7. Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Площадь сечения равна . Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

8. В кубе АВСDА1В1С1 D1 найдите угол между плоскостями АВ1С1  и ВА1D1.

9. Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии 8 друг от друга, пересекают шар. Получившиеся сечения одинаковы, и площадь каждого из них равна 9. Найдите площадь поверхности шара.

10. В кубе АВСDА1В1С1 D1 найдите угол между плоскостью А1ВD  и плоскостью, проходящей через середины его ребер АВ, ВВ1, В1С1,  С1 D1, DD1, АD.

11. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1 D1E1F1 , все ребра которой равны 2, найдите площадь сечения, проходящего через вершины А, D и С1.

12. В кубе АВСDА1В1С1 D1 найдите угол между плоскостями ВА1С1 и  ВА1D1.

13. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1 .

14. В правильной треугольной пирамиде SАВС с основанием АВС известны ребра:

АВ = , SС = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания  и прямой, проходящей через середины ребер АS и ВС.

15. В кубе АВСDА1В1С1 D1 найдите угол между прямой  АВ1 и  плоскостью АВС1.

16. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SАD.

17. Основание прямой четырехугольной призмы АВСDА1В1С1 D1 – прямоугольник АВСD, в котором АВ = 5, АD = . Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой

ВD1, если расстояние между прямыми АС и В1D1 равно 12.

18. Радиус основания конуса равен 24, а высота конуса равна 10. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Площадь сечения равна . Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

19. Высота цилиндра равна 5, а радиус основания равен 26. Площадь сечения цилиндра плоскостью, походящей параллельно оси цилиндра, равна 100. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.

20. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1 D1  известны ребра:

АВ = , АD= 12, СС1= 21. Найдите угол между плоскостями АВС и А1DВ.

21. Основание пирамиды DАВС – равнобедренный треугольник АВС, в котором

АВ = ВС =13, АС = 24. Ребро DВ перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найдите тангенс двугранного угла при ребре АС.

22. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SСD.

23. Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1  является равнобедренный треугольник, в котором АВ = ВС =20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1, причем ВР:Р В1= 1:3. Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.

24. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

25.  Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1  является равнобедренный треугольник, в котором АВ = ВС =10, АС = 16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р –середина  ребра  ВВ1. Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.

26.  Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии друг от друга на расстоянии 12 друг от друга, пересекают шар. Получившиеся сечения одинаковы. Площадь каждого из них равна 64. Найдите площадь поверхности шара.

27.  Основание прямой четырехугольной призмы АВСDА1В1С1 D1 – прямоугольник АВСD, в котором АВ = 5, АD = . Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой

ВD1, если расстояние между прямыми АС и В1D1 равно 12.

28.  В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС. Середина D гипотенузы АВ этого треугольника  является основанием высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD = 2, АС = 4, ВС =3. Через середину высоты SD проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной ребрам АС и SВ. Найти площадь этого сечения.

29. В усеченный конус, образующая которого наклонена под углом 45 к нижнему основанию, вписан шар. Найти отношение величины боковой поверхности усеченного конуса к величине поверхности шара.

30. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1 D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ АС1, так, что сечение – ромб. Найдите площадь сечения, если

АВ = 3, ВС = 2 и А А1 = 5.

31. На ребрах АА1 и СС1 куба АВСDА1В1С1 D1 отмечены соответственно точки Е и F такие, что АЕ = 2А1Е, СF = 2 С1F. Через точки В, Е и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношение объема части, содержащей точку В1, к объему всего куба.

32. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка S – вершина. Точка М –середина ребра SA, точка К – середина ребра SС. Найдите угол между плоскостями ВМК и АВС, если АВ = 10, SС = 8.

33. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка S – вершина. Точка М –середина ребра SA, точка К – середина ребра SС. Найдите угол между плоскостями ВМК и АВС, если АВ = 8, SС = 10.

34. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1 D1E1F1 , все ребра которой равны 10, найдите расстояние от точки Е до прямой В1С 1.

35. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1 D1E1F1 , все ребра которой равны 4, найдите расстояние от точки А до прямой В1С 1.

36. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1 D1  известны ребра:

АВ = , АD= 2, АА1= 5. Точка О принадлежит ребру ВВ1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, О и С1.

37. В правильной треугольной  призме АВСА1В1С1 боковое ребро равно 8, а ребро основания равно 1. Точка D – середина ребра ВВ1. Найдите объем пятигранника АВСА1D.

38. В правильной треугольной  призме АВСА1В1С1 боковое ребро равно , а ребро основания равно 4. Точка D – середина ребра ВВ1. Найдите объем пятигранника А1В1С1СD.

39. В кубе АВСDА1В1С1 D1  все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой В D1.

40. В кубе АВСDА1В1С1 D1  все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой А D1.

41. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 1, а боковое ребро равно . Найдите расстояние от точки С до прямой SA.

42. В правильной треугольной  призме АВСА1В1С1 высота равна 1, а ребро основания равно 2. Найдите расстояние от точки А1 до прямой ВС1.

43. В правильной треугольной  призме АВСА1В1С1 высота равна 2, а сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки В1 до прямой АС1.

44. В тетраэдре АВСD, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и середину ребра СD.

Ответы.

1.  arctg.      2. 2.    3. .   4. .   5. .   6. .  7.  arccos.      8. .    9. 20.

10.  arctg.      11. .      12.  arccos.      13. .    14. arctg.      15. .    16. .      17. 0,5.  18. arcsin.      19. 24.  20. arctg.      21. 4. 22. .  23. 0,5.

24. arctg или arctg.    25.  2.   26. 400     27. 0,5.  28. .  29. 2.  30. .   31. .      32. arctg         33.   arctg.        34. 20   

35. 2        36.        37. 3    38. 6  

39. .   40. .   41..  42. .  43. .  44.  

С3

1.                    2.

3.                  4.

5.             6.

7.                  8.           9.

10.           11.    12.

13. .                 14.  

15.  

16.

17.    18.

19.                     20.

21.    

22.                   23.    

24.         

25.                 26.

27.                        28.  

29.  30.  

 31.

32.            33.    .

34.    .               35.    

36.                   37.

38.   39.

40.   41. .

42.  

43.    44.  .

Ответы.

1.           2. (0,4; 0,5); (1; 2].        3. ; (1; 2].     4. ; (1; 2].

5. ; (1; 3].       6. ; (1; 2].    7. [-2; 0); (0; 3].        8. [-2; 0); (0; 1].    9. [-2; 0); (0; 1].            

10. [-3; 0); (0; 1].       11.               12.  [-1; 0); (0; 2].  

13. .     14. .     15. .  16.  [5; ).  

17. 3.            18.  .      19. .             20. (0; 7].              21.   (-2; 1].    

 22. .     23.        24.    2.       25. (0; 0,5); 1.

26. 0; .        27.  .    28.       29. – 6; - 1; (1;  ).

30. .       31. .       32.  

33.    [-49; -3); (-3; -1);        34.  [0; 3); (3; 4);      

35.    ; (-5; )        36. – 3; 0; [1; 2)    37.;8 

38.;11     39. ; .     40. 2.

41. .   42. 4.   43. (6,25; 7).  44. .