Материал по подготовке ГИА ( раздел геометрия)
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) на тему

ТИП 1

1. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=40 и BC=BM. Найдите AH. Образец: Так как BM - медиана, значит AM=MC =  =  = 20
Рассмотрим треугольник MBC.
Т.к. BC=BM (по условию задачи), значит этот треугольник равнобедренный, BH - высота этого треугольника. По третьему свойству равнобедренного треугольника MH=HC===10
Искомая AH =AC – HC=40 – 10 = 30
Ответ: AH= 30

2. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=53 и BC=BM. Найдите AH.

3. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=25 и BC=BM. Найдите AH.

4. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=73 и BC=BM. Найдите AH.

5. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=56 и BC=BM. Найдите AH.

6. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=59 и BC=BM. Найдите AH.

7. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=8 и BC=BM. Найдите AH.

8. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=96 и BC=BM. Найдите AH.

9. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=15 и BC=BM. Найдите AH.

10. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=79и BC=BM. Найдите AH.

11. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=2 и BC=BM. Найдите AH.

12. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=13 и BC=BM. Найдите AH.

13. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=17 и BC=BM. Найдите AH.

14. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=27 и BC=BM. Найдите AH.

15. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=77 и BC=BM. Найдите AH.

16. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=45 и BC=BM. Найдите AH.

17. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=78 и BC=BM. Найдите AH.

18. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=88 и BC=BM. Найдите AH.

19. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=97 и BC=BM. Найдите AH.

20. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=84 и BC=BM. Найдите AH.

ТИП 2

1. В треугольнике ABC  AB=BC=95, AC=114. Найдите длину медианы BM.

Образец : т.к АВ = ВС ( по условию задачи) , то треугольник АВС равнобедренный. По третьему свойству равнобедренного треугольника ВМ является медианой  ( АМ = МС =  и высотой. То треугольник АВМ является прямоугольным, то по Т. Пифагора , ,  = 76

Ответ: ВМ = 76

2. В треугольнике ABC  AB=BC=80, AC=128. Найдите длину медианы BM.

3. В треугольнике ABC  AB=BC=65, AC=50. Найдите длину медианы BM.

4. В треугольнике ABC  AB=BC=26, AC=20. Найдите длину медианы BM.

5. В треугольнике ABC  AB=BC=15, AC=24. Найдите длину медианы BM.

6. В треугольнике ABC  AB=BC=75, AC=120. Найдите длину медианы BM.

7. В треугольнике ABC  AB=BC=85, AC=168. Найдите длину медианы BM.

8. В треугольнике ABC  AB=BC=91, AC=168. Найдите длину медианы BM.

9. В треугольнике ABC  AB=BC=5, AC=8. Найдите длину медианы BM.

10. В треугольнике ABC  AB=BC=82, AC=36. Найдите длину медианы BM.

11. В треугольнике ABC  AB=BC=80, AC=96. Найдите длину медианы BM.

12. В треугольнике ABC  AB=BC=25, AC=14. Найдите длину медианы BM.

13. В треугольнике ABC  AB=BC=50, AC=96. Найдите длину медианы BM.

14. В треугольнике ABC  AB=BC=50, AC=96. Найдите длину медианы BM.

15. В треугольнике ABC  AB=BC=50, AC=96. Найдите длину медианы BM.

16. В треугольнике ABC  AB=BC=65, AC=104. Найдите длину медианы BM.

17. В треугольнике ABC  AB=BC=25, AC=40. Найдите длину медианы BM.

18. В треугольнике ABC  AB=BC=85, AC=102. Найдите длину медианы BM.

19. В треугольнике ABC  AB=BC=37, AC=24. Найдите длину медианы BM.

20. В треугольнике ABC  AB=BC=53, AC=56. Найдите длину медианы BM.

А                          

С                         В   В        

ТИП 3

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA=0,28, AC=24. Найдите AB.

Образец: Применим основное тригонометрическое тождество , ,==0,96.

Косинус острого угла  в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе т. е.    Ответ: АВ =25

2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A=, AC=. Найдите AB.

3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

6. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

8. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A=  AC=. Найдите AB.

9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

12. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

13. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A=  AC=. Найдите AB.

14. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC= .Найдите AB.

16. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

17. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

18. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

19. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

20. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= , AC=. Найдите AB.

ТИП 1

1. У треугольника со сторонами 4 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Образец: S∆АВС= аh1 =  1= 2. С другой стороны S∆АВС= b h 2 , следовательно  = =2

Ответ: 2

2. У треугольника со сторонами 4 и 12 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 3. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

3. У треугольника со сторонами 14 и 7 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

4. У треугольника со сторонами 10 и 5 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

5. У треугольника со сторонами 8 и 16 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 2. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

6. У треугольника со сторонами 12 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

7. У треугольника со сторонами 6 и 12 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 2. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

8. У треугольника со сторонами 2 и 12 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 6. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

9. У треугольника со сторонами 4 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 3. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

10. У треугольника со сторонами 12 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

11. У треугольника со сторонами 5 и 10 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 2. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

12. У треугольника со сторонами 6 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

13. У треугольника со сторонами 15 и 5 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

14. У треугольника со сторонами 2 и 10 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 5. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

15. У треугольника со сторонами 8 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

16. У треугольника со сторонами 18 и 9 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

17. У треугольника со сторонами 4 и 16 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

18. У треугольника со сторонами 2 и 4 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 2. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

19. У треугольника со сторонами 15 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

20. У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

ТИП 5

1. Высота равностороннего треугольника равна 15. Найдите его периметр.

Образец: Обозначим сторону равностороннего треугольника как a.
Высота является медианой (по свойству равностороннего треугольника), следовательно, высота делит сторону треугольника пополам.
Тогда, по теореме Пифагора можем записать:
a2=(a/2)2+(15)2
a2-(a/2)2=1523                        
a2-a2/4=2253
3a2/4=675
3a2=2700
a2=900
a=30
Так как все стороны равны, то периметр P=3а=90
Ответ: P=90.

2. Высота равностороннего треугольника равна 59. Найдите его периметр.

3. Высота равностороннего треугольника равна 56. Найдите его периметр.

4. Высота равностороннего треугольника равна 40. Найдите его периметр.

5. Высота равностороннего треугольника равна 13. Найдите его периметр.

6. Высота равностороннего треугольника равна 97. Найдите его периметр.

7. Высота равностороннего треугольника равна 8. Найдите его периметр.

8. Высота равностороннего треугольника равна 84. Найдите его периметр.

9. Высота равностороннего треугольника равна 17. Найдите его периметр.

10. Высота равностороннего треугольника равна 2. Найдите его периметр.

11. Высота равностороннего треугольника равна 77. Найдите его периметр.

12. Высота равностороннего треугольника равна 27. Найдите его периметр.

13. Высота равностороннего треугольника равна 79. Найдите его периметр.

14. Высота равностороннего треугольника равна 25. Найдите его периметр.

15. Высота равностороннего треугольника равна 88. Найдите его периметр.

16. Высота равностороннего треугольника равна 53. Найдите его периметр.

17. Высота равностороннего треугольника равна 45. Найдите его периметр.

18. Высота равностороннего треугольника равна 73. Найдите его периметр.

19. Высота равностороннего треугольника равна 78. Найдите его периметр.

20. Высота равностороннего треугольника равна 96. Найдите его периметр.

ТИП 2

А

С                              В

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=1, tg A= . Найдите AB.

Образец:  ;  ;  ; BC= ;

По теореме Пифагора ,  ==   Ответ : 1,5

2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=19,2, tg A= . Найдите AB.

3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=20, tg A= . Найдите AB.

4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=3, tg A= . Найдите AB.

5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=20, tg A= . Найдите AB.

6. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tgA=0,75. Найдите AB.

7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=3, tgA=2. Найдите AB.

8. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tg A= . Найдите AB.

9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, tg A= . Найдите AB.

10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=24, tg A= . Найдите AB.

11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=20, tg A= . Найдите AB.

12. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, tg A= . Найдите AB.

13. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tg A= . Найдите AB.

14. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, tg A= . Найдите AB.

15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, tg A= . Найдите AB.

16. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=4, tg A= . Найдите AB.

17. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, tg A= . Найдите AB.

18. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, tg A= . Найдите AB.

19. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=9, tg A= . Найдите AB.

20. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=9, tg A= . Найдите AB..

ТИП 3

1. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=2 и CH=18. Найдите cos∠B.                                                                                                                                          Образец: ∆АВН, прямоугольный  =  ,

АВ=ВС= 2+18=20  Ответ: 0,1

2. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=45 и CH=30. Найдите cos∠B.

3. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=21 и CH=14. Найдите cos∠B.

4. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=18 и CH=18. Найдите cos∠B.

5. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=22 и CH=28. Найдите cos∠B.

6. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=52 и CH=28. Найдите cos∠B.

7. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=3 и CH=1. Найдите cos∠B.

8. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=40 и CH=40. Найдите cos∠B.

9. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=8 и CH=8. Найдите cos∠B.

10. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=12 и CH=3. Найдите cos∠B.

11. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=12 и CH=68. Найдите cos∠B.

12. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=8 и CH=24. Найдите cos∠B.

13. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=32 и CH=32. Найдите cos∠B.

14. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=12 и CH=48. Найдите cos∠B.

15. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=24 и CH=56. Найдите cos∠B.

16. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=52 и CH=13. Найдите cos∠B.

17. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=18 и CH=42. Найдите cos∠B.

18. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=48 и CH=2. Найдите cos∠B.

19. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=14 и CH=11. Найдите cos∠B.

20. В треугольнике ABC  AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=64 и CH=16. Найдите cos∠B.

ТИП 4

1. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 4, а сторона AB равна 40. Найдите cos∠B.

Образец: ∆АВН, прямоугольный  =  ,

По теореме Пифагора ,  ==   Ответ : 0,7

2. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 6, а сторона AB равна 40. Найдите cos∠B.

3. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 6, а сторона AB равна 50. Найдите cos∠B.

4. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 13, а сторона AB равна 52. Найдите cos∠B.

5. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 60, а сторона AB равна 75. Найдите cos∠B.

6. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 2, а сторона AB равна 8. Найдите cos∠B.

7. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 23, а сторона AB равна 46. Найдите cos∠B.

8. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 6, а сторона AB равна 50. Найдите cos∠B.

9. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 5, а сторона AB равна 50. Найдите cos∠B.

10. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 14, а сторона  АВ равна 70. Найдите cos∠B.

11. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 9, а сторона AB равна 60. Найдите cos∠B.

12. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 6, а сторона AB равна 30. Найдите cos∠B.

13. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 8, а сторона AB равна 50. Найдите cos∠B.

14. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 6, а сторона AB равна 70. Найдите cos∠B.

15. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 21, а сторона AB равна 42. Найдите cos∠B.

16. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 15, а сторона AB равна 50. Найдите cos∠B.

17. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 9, а сторона AB равна 75. Найдите cos∠B.

18. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 36, а сторона AB равна 45. Найдите cos∠B.

19. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 19, а сторона AB равна 95. Найдите cos∠B.

20. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 20, а сторона AB равна 40. Найдите cos∠B.

ТИП 5

А

С                                 В

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника. Образец: АС =3 ВС =6, меньший угол В так как по теореме против наименьшей стороны лежит наименьший угол,  , По теореме Пифагора найдем = 15,

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 15. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

4. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

5. Катеты прямоугольного треугольника равны  и 7. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

6. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

7. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 5. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

8. Катеты прямоугольного треугольника равны 4 и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

9. Катеты прямоугольного треугольника равныи 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

10. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

11. Катеты прямоугольного треугольника равны 3и 9. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

12. Катеты прямоугольного треугольника равны 2и 6. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

13. Катеты прямоугольного треугольника равны 9и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

14. Катеты прямоугольного треугольника равны 5и 10. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

15. Катеты прямоугольного треугольника равны 5и 15. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

16. Катеты прямоугольного треугольника равны 3и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

17. Катеты прямоугольного треугольника равны 3и 21. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

18. Катеты прямоугольного треугольника равны 4и 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

19. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 6. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

20. Катеты прямоугольного треугольника равны  и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

ТИП 6

1. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=52° и ∠ACB=66°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

ОБРАЗЕЦ: так как АD=AC, то ∆АDС равнобедренный, значит ∟АDC=∟ACD=(180°-52°):2 = 64°, тогда ∟ DCB= 66º- 64°=2º

Ответ: ∟ DCB = 2º

2. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=13° и ∠ACB=143°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

3. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=52° и ∠ACB=127°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

4. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=89° и ∠ACB=89°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

5. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=14° и ∠ACB=91°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

6. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=39°и ∠ACB=124°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

6. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=26° и ∠ACB=145°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

7. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=18° и ∠ACB=86°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

8. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=95° и ∠ACB=71°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

9. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=32° и ∠ACB=86°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

10. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=25° и ∠ACB=146°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

11. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=9° и ∠ACB=150°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

12. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=25° и ∠ACB=81°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

13. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=97° и ∠ACB=55°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

14. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=103° и ∠ACB=64°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

15. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=122° и ∠ACB=47°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

16. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=10° и ∠ACB=166°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

17. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=19°и ∠ACB=160°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

18. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=54° и ∠ACB=104°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

ТИП 11

В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=216, HC=54 и ∠ACB=40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Образец: Так как BM - медиана, значит AM=MC===108
Рассмотрим треугольник MBC.
MH=MC-HC=108-54=54, т.е. получается, что MC=HC. BH для этого треугольника получается не только высота, но и медиана. Это свойство равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника: ∠BMC=∠ACB=40°.
∠AMB=180°-∠BMC=180°-40°=140° (т.к. он смежный)
Ответ: ∠AMB=140°

1. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=104, HC=26 и ∠ACB=75°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

2. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=164, HC=41 и ∠ACB=74°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

3. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=136, HC=34 и ∠ACB=81°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

4. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=304, HC=76 и ∠ACB=52°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

5. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=384, HC=96 и ∠ACB=25°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

6. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=20, HC=5 и ∠ACB=22°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

7. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=76, HC=19 и ∠ACB=80. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

8.  В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=288, HC=72 и ∠ACB=15°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

9. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=392, HC=98 и ∠ACB=32°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

10. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=244, HC=61 и ∠ACB=67°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

ТИП 7

1.Проектор полностью освещает экран A высотой 140 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 360 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Образец:    обозначим расстояние от проектора до экрана В за х, треугольники ОА1 А  и ОВ1В подобны тогда составим пропорциональность сторон :  ;      ;                                                                                                    

 2.Проектор полностью освещает экран A высотой 100 см, расположенный на расстоянии 170 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах)       от проектора нужно расположить экран B высотой 230 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

3. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 360 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

4. Проектор полностью освещает экран A высотой 70 см, расположенный на расстоянии 140 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

5. Проектор полностью освещает экран A высотой 100 см, расположенный на расстоянии 130 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 390 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

6. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 100 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

7. Проектор полностью освещает экран A высотой 190 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 380 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

8. Проектор полностью освещает экран A высотой 140 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 380 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

9. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 190 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 380 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

10. Проектор полностью освещает экран A высотой 100 см, расположенный на расстоянии 230 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 320 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

11. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 140 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 260 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

12. Проектор полностью освещает экран A высотой 110 см, расположенный на расстоянии 180 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 220 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

13. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 200 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 400 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

14. Проектор полностью освещает экран A высотой 150 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 320 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

15. Проектор полностью освещает экран A высотой 60 см, расположенный на расстоянии 110 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 210 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

16. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 110 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 270 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

17. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 110 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 360 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

18. Проектор полностью освещает экран A высотой 100 см, расположенный на расстоянии 170 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 340 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

19. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 120 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 330 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

ТИП 8

1. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=114°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Образец: Так как AB=CD, значит трапеция ABCD - равнобедренная.
Тогда углы при основаниях равны ∠ABC=∠BCD=114° и ∠CDA=∠DAB.
сумма углов трапеции равна ∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°
114°+114°+∠CDA+∠DAB=360°
∠CDA+∠DAB=132°, ∠CDA=∠DAB=132°/2=66°
Рассмотрим треугольник ACD.Так как AC=AD, то данный треугольник - равнобедренный.
Следовательно ∠CDA=∠DCA=66°
∠BCA=∠BCD-∠DCA=114°-66°=48°
∠CAD=∠ВCA=48° (т.к. они накрест-лежащие для параллельных прямых AD и BC).
Ответ: 48

2. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=94°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

3. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=121°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

4. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=117°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

5. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=97°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

6. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=100°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

7. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=109°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

8. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=128°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

9. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=127°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

10. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=123°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

11. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=113°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

12. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=108°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

13. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=110°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

14. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=132°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

15. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=106°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

16. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=95°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

17. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=93°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

18. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=126. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

19. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=115°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

20. В трапеции ABCD  AB=CD, AC=AD и ∠ABC=124°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

ТИП 9

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

ОБРАЗЕЦ:  ВС= 10, АС = 24 , то по теореме Пифагора найдем АВ=  = 26

Для треугольника ABC:
sinA=  =
Для треугольника ACD:
sinA==> CD=ACsinA=24=

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 48. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

3. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 35. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

4. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 36. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

5. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

6. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

7. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

8. Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 28. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

ТИП 10

1. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 30 ступеней. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина – 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

Образец: Каждая ступенька представляет из себя прямоугольный треугольник, следовательно расстояние между точками А и В будет равняться сумме гипотенуз ступеней.
По теореме Пифагора:
Квадрат гипотенузы ступени равен 142+482=196 +2304=2500
Тогда длина гипотенузы равна =50 см. Т.к. ступеней 30 шт., то расстояние от А до В 30=1500 см, что равняется 1,5 м.
Ответ: расстояние между точками A и B составляет 1,5 метра.

2. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 50 ступеней. Высота каждой ступени равна 28 см, а длина – 45 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

3. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 28,5 см, а длина – 88 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

4. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 10,5 см, а длина – 36 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

5. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 30 см, а длина – 40 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

6. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 50 ступеней. Высота каждой ступени равна 20 см, а длина – 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

7. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 30 ступеней. Высота каждой ступени равна 13 см, а длина – 84 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

8. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 15 ступеней. Высота каждой ступени равна 30 см, а длина – 40 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

9. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 30 ступеней. Высота каждой ступени равна 21 см, а длина – 72 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

10. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 40 ступеней. Высота каждой ступени равна 10,5 см, а длина – 36 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

11. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 40 ступеней. Высота каждой ступени равна 28,5 см, а длина – 88 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

12. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 40 ступеней. Высота каждой ступени равна 24 см, а длина – 70 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

13. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 40 ступеней. Высота каждой ступени равна 19,5 см, а длина – 40 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

14. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 25 ступеней. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина – 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

15. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 15 ступеней. Высота каждой ступени равна 28 см, а длина – 96 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

16. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 17,5 см, а длина – 60 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

17. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 16,5 см, а длина – 28 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

ТИП 11

1. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=90, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 72. Найдите sin∠ABC.

Образец: Рассмотрим треугольники ABC и ACH.
∠AHC=∠ACB (т.к. это прямые углы).∠A - общий.
Следовательно, по теореме о сумме углов треугольника ∠ACH=∠ABC
Тогда sin∠ACH=sin∠ABC.Теперь рассмотрим треугольник ACH.По теореме Пифагора:
AC2=CH2+AH2
902=722+AH2
AH=54
sin∠ACH= , sin∠ACH==0,6. Как было выведено выше: sin∠ABC=sin∠ACH=0,6
Ответ: sin∠ABC=0,6

2. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 7. Найдите sin∠ABC.

3. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 10. Найдите sin∠ABC.

4. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=20, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 3. Найдите sin∠ABC.

5. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 4. Найдите sin∠ABC.

6. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=16, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 8. Найдите sin∠ABC.

7. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=65, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 13. Найдите sin∠ABC.

8. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=80, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 8. Найдите sin∠ABC.

9. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=60, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 12. Найдите sin∠ABC.

10. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=50, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 48. Найдите sin∠ABC.

11. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=24, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 6. Найдите sin∠ABC.

12. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=8, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 2. Найдите sin∠ABC.

13. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=65, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 52. Найдите sin∠ABC.

14. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=50, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 8. Найдите sin∠ABC.

15. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=5, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 2. Найдите sin∠ABC.

16. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=55, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 44. Найдите sin∠ABC.

17. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=70, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 7. Найдите sin∠ABC.

18. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=75, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 9. Найдите sin∠ABC.

19. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=52, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 26. Найдите sin∠ABC

20. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 14. Найдите sin∠ABC.

ТИП 12

1. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=288, HC=72 и ∠ACB=15°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

2. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=392, HC=98 и ∠ACB=32°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

3. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=244, HC=61 и ∠ACB=67°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

ТИП 19

1. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Образец: AB - гипотенуза, BC - катет.                                                                                                                                                    

Найдем AC по теореме Пифагора:                                          
AB2=BC2+CA2, 522=202+CA2     , CA=48    Для треугольникаABC:  sinA= =Для треугольника ACD:sinA==> CD=ACsinA=48=

2. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

3. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 16 и 34. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

4. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 51. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

5. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 15 и 25. Найдите высоту, проведенную к гипотенуз

6. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

7. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 15 и 39. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

8. Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 72. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

9. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 10 и 26. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

10. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 45. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

11. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

ТИП 12

1. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=18, AC=42, NC=40.

Образец: Рассмотрим треугольники ABC и MBN.                                
/B - общий.
/BAC=/BMN (т.к. это соответственные углы)
/BCA=/BNM (т.к. это тоже соответственные углы)
Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия.Тогда AC/MN=BC/BN
 =  ;   =     ;   42(BC-40)=18 BC ;   42BC-1680 =18BC ; 42 ВС-18ВС=1680 ; ВС = 70
BN=BC-NC=70 -40=30
Ответ: BN=30

2. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=22, AC=55, NC=36.

3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=16, AC=20, NC=15.

4. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=15, AC=25, NC=22.

5. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=11, AC=44, NC=18.

6. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=14, AC=21, NC=10.

7. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=20, AC=35, NC=39.

8. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=17, AC=51, NC=32.

9. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28.

10. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25.

ТИП 13

1. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=2:5, KM=20.

Образец:  Рассмотрим треугольники ABC и KBM.
                  /B - общий.
/BAC=/BKM (т.к. это соответственные углы)
/BCA=/BMK (т.к. это тоже соответственные углы)
Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия.Тогда
=,   =  ;  ; АС =
Ответ: AC=70                                                                              

2. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=1:3, KM=19.

3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=1:2, KM=23.

4. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=4:5, KM=16.

5. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=1:4, KM=13.

6. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=1:5, KM=17.

7. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:7, KM=12.

8. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=2:3, KM=14.

9. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:5, KM=15.

10. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:4, KM=18.

ТИП 14

1. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=120, HC=30 и ∠ACB=37°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Образец:   Так как BM - медиана, значит AM=MC=AC/2=120/2=60
Рассмотрим треугольник MBC.
MH=MC - HC=60 -30=30, т.е. получается, что MC=HC.
      BH для этого треугольника получается не только высота, но и медиана. Значит ∠BMC=∠ACB=37°.
∠AMB=180°-∠BMC=180°-37°=143° (т.к. он смежный)
Ответ: ∠AMB=143°

 2. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=348, HC=87 и ∠ACB=17°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

3. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=336, HC=84 и ∠ACB=65°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

4. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=324, HC=81 и ∠ACB=11°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

5. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=236, HC=59 и ∠ACB=41°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

6. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=236, HC=59 и ∠ACB=75°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

7. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=96, HC=24 и ∠ACB=21°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

8. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=112, HC=28 и ∠ACB=79°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

9. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=64, HC=16 и ∠ACB=37°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

10. В треугольнике ABC  BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=216, HC=54 и ∠ACB=40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

ТИП 15

1. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 62°, угол ABC равен 47°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Образец : Рассмотрим треугольник ABL.                                                                                                                                                                                                                                                                            
/BLA=180°-/ALC=180°-62°=118° (т.к. это смежные углы)
   По теореме о сумме углов треугольника 180°=/ABC+/BLA+/LAB=47°+118°+/LAB
/LAB=180°-118°-47°=15°
Рассмотрим треугольник ALC.
/LAC=/LAB=15° (т.к. AL - биссектриса)
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=/ALC+/ACB+/LAC=112°+/ACB+6°,  /ACB=180°-62°-15°=103°
Ответ: /ACB=103°

2. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 76°, угол ABC равен 47°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 58°, угол ABC равен 31°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 78°, угол ABC равен 52°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

5. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 138°, угол ABC равен 131°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах

6. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 41°, угол ABC равен 26°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

7. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 150°, угол ABC равен 127°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

8. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 90°, угол ABC равен 20°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

9. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 48°, угол ABC равен 41°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

10. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 121°, угол ABC равен 101°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

11. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 169°, угол ABC равен 160°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

12. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 163°, угол ABC равен 152°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

13. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 35°, угол ABC равен 18°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

14. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 58°, угол ABC равен 54°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

15. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 86°, угол ABC равен 73°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

16. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 52°, угол ABC равен 13°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

17. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 152°, угол ABC равен 137°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

18. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 148°, угол ABC равен 132°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

19. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 37°, угол ABC равен 25°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

20. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

ТИП 24 Разное

1. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 5 см, тангенс угла ABC равен 2,4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

2. Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 2,4 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,8 м?

3. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 40° и 35°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

4. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.

5. В треугольнике АВС углы А и С равны 30° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

6. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.

7. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит угол ВАС пополам. Найдите сторону АВ, если сторона АС равна 4.

AD для треугольника ABM является и медианой, и высотой. А это свойство медианы для равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный с основанием BM.
По определению равнобедренного треугольника AB=AM.
Т.к. BM - медиана для треугольника ABC, следовательно AM=MC (по определению медианы).
Тогда AC=AM*2. Как мы выяснили ранее AM=AB => AC=AB*2=4*2=8.
Ответ: AC=8.

8. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Рассмотрим треугольники ABC и BDE. Т.к. стороны правильного шестиугольника равны, то и CA=AB=BD=DE, /A=/D, т.к. углы правильного шестиугольника тоже равны. Следовательно, данные треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников). Тогда BC=BE.
Углы /BCA=/CBA=/EBD=/BED (по свойству равнобедренного треугольника). Следовательно внутренние углы /С=/B=/E.
Данные выкладки справедливы для любой пары треугольников,следовательно все стороны внутреннего шестиугольника равны и все внутренние углы равны. Это означает, что внутренний шестиугольник - правильный (по определению).

ч.т.д.

9. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

10. а) В треугольнике ABC угол C прямой, BC=6, cos B=0,3. Найдите AB

 б) В треугольнике ABC угол C прямой, BC=2, cosB=0,4. Найдите AB.

в) В треугольнике ABC угол C прямой, AC=9, cosA=0,3. Найдите AB.

г) В треугольнике ABC угол C прямой, BC=8, sinA=0,4. Найдите AB.

д) В треугольнике ABC угол C прямой, AC=8, cosA=0,4. Найдите AB.

е) В треугольнике ABC угол C прямой, AC=4, cosA=0,8. Найдите AB.

Ж) В треугольнике ABC угол C прямой, BC=4, sinA=0,8. Найдите AB.

з) В треугольнике ABC угол C прямой, BC=9, sinA=0,3. Найдите AB.

и) В треугольнике ABC угол C прямой, BC=3, cosB=0,6. Найдите AB.

к) В треугольнике ABC угол C прямой, AC=6, cosA=0,6. Найдите AB.

л) В треугольнике ABC угол C прямой, BC=8, cosB=0,8. Найдите AB.

м) В треугольнике ABC угол C прямой, BC=6, sinA=0,6. Найдите AB.

11. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 85° и 30°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

12. В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.

13. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

1. 2. 3.   4. 5.

6.   7.     8.

14. От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Вычислите длину провода. Ответ дайте в метрах.

15. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём BF = DM, BE = DK. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

) Рассмотрим треугольники EBF и KDM.
BF=DM (по условию задачи)
/B=/D (по свойству параллелограмма)
BE=DK (по условию задачи).
Следовательно, треугольники EBF и KDM равны (по первому признаку).
Поэтому ЕF=KM.
2) Рассмотрим треугольники AEM и FCK.
Т.к. AB=CD и AD=BC (по свойству параллелограмма), а BF=DM и BE=DK (по условию задачи), то AE=CK и AM=CF.
/A=/C (по свойству параллелограмма).
Следовательно, треугольники AEM и FCK (по первому признаку). А это значит, что EM=FK.
Из пунктов 1 и 2 (равенство сторон) следует, что EFKM — параллелограмм (по свойству параллелограмма).

16. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 12 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 5 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

Обозначим длину троса как X. Применим теорему Пифагора.
X2=122+52
X2=144+25=169,
X=13.
Ответ: длина троса равна 13 метров.

17. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 55°. Найдите величину угла OAB.

18. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP, равен 12 см, тангенс угла ABC равен 2,4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

19. От столба к дому натянут провод длиной 17 м, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 15 м. Ответ дайте в метрах.

20. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

1.      2.   3.  4.

5.    6.       7.    8.

9.    10.   11.   12.

21. Центральный угол AOB равен 60°. Найдите длину хорды AB, на которую он опирается, если радиус окружности равен 7.

22. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника ABC равен 8.

23. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит угол ВАС пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 3.

AD для треугольника ABM является и медианой, и высотой. А это свойство медианы для равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный с основанием BM.
По определению равнобедренного треугольника AB=AM.
Т.к. BM - медиана для треугольника ABC, следовательно AM=MC (по определению медианы).
Тогда AC=AM*2. Как мы выяснили ранее AM=AB => AC=AB*2=3*2=6.
Ответ: AC=6.

24. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно. Ответ дайте в градусах.

25. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 40°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

26. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 80°. Найдите величину угла OCD.

27. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что треугольники BEF и DFE равны.

28. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 80°. Найдите величину угла ODC.

29. В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 12, а меньшее основание BC равно 4.

Средняя линия трапеции Lср=(AD+BC)/2, отсюда AD=2*Lср-BC.
Проведем еще одну высоту из вершины B и рассмотрим треугольники CDH и ABN. AB=CD (по условию задачи), BN=CH, т.к. BCHN - прямоугольник, образованный параллельными сторонами трапеции и перпендикулярами к ним. Следовательно, применив теорему Пифагора, получим, что HD=NA
AD=AN+NH+HD, AD=2*HD+NH, NH=BC (т.к. BCHN - прямоугольник), тогда AD=2*HD+BC, HD=(AD-BC)/2
Ранее мы выяснили, что AD=2*Lср-BC=2*16-4=28, тогда HD=(28-4)/2=12.
Ответ: HD=12.

30. Найдите тангенс угла А( угла В) треугольника ABC, изображённого на рисунке.

1.    2.  3.   4.    5.

6.     7.    8.

31. Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 2,4 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 0,7 м?

32. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 80°. Найдите величину угла OAB.

33. Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 3,5 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

34. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.

35. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 25° и 100° соответственно. Ответ дайте в градусах.

36. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, СF = АM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

37. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

38. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

39. От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода. Ответ дайте в метрах.

40. Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.

41. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 6. Найдите площадь трапеции.

42. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 25°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

43. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём СF = АM, BE = DK. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

44. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 8 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 6 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

45. Центральный угол AOB равен 60°. Найдите длину хорды AB, на которую он опирается, если радиус окружности равен 5.

46. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.

47. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 110°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

48. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 35° и 30°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

49. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AMK.

50. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.

51. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен . Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

52. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

По условию задачи /BED=/EDB, следовательно треугольник BDE - равнобедренный (по свойству). По определению равнобедренного треугольника BE=BD. Смежные углы для углов /BED и /EDB тоже равны, /BDA=/BEC.
2) Рассмотрим треугольники ABD и CBE.
AD=EC (по условию),
BE=BD (согласно п.1),
/BDA=/BEC (из п.1),
следовательно эти треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников), а это значит, что BA=BC. Следовательно треугольник ABC - равнобедренный (по определению).

ч.т.д.

53. а) Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 130°.

б) Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°.

в) Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.

54. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

55. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

56. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 65°. Найдите величину угла OCD.

57. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что АMNK — ромб.

58. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ длиной 6. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.

59. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что отрезки ВF и DЕ равны.

1) Рассмотрим треугольники ABE и CDF.
AB=CD (по свойству параллелограмма).
/BAE=/DCF (т.к. это внутренние накрест-лежащие углы для параллельных BC и AD и секущей AC).
/BEA=/DFC (т.к. оба эти угла прямые по условию).
Если два угла у данных треугольников попарно равны, то и третьи углы равны (по теореме о сумме углов треугольника).
Следовательно треугольники ABE и CDF равны (по второму признаку равенства треугольников). Отсюда следует, что BE=FD
2) Рассмотрим треугольники BFE и DEF.
BE=FD (из пункта 1), EF-общая сторона, /BEF=/DFE (т.к. это прямые углы по условию).
Следовательно треугольники BFE и DEF равны (по первому признаку равенства треугольников).

ч.т.д.

60. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 110°.

61. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.

62. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 7.

63. Центральный угол AOB, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 3. Найдите радиус окружности.

64.Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

65. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

66. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 6.

67. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что отрезки ВF и DЕ параллельны.

68. От столба к дому натянут провод длиной 15 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 12 м. Ответ дайте в метрах.

69. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

По теореме о сумме углов треугольника: 180°=/A+/B+/C, отсюда /B=180°-/A-/C=180°-40°-60°=80°.
/ABD=/B/2=40° (т.к. BD - биссектриса).
Рассмотрим треугольник BHC, по теореме о сумме углов треугольника получаем 180°=60°+90°+/CBH => /CBH=30°.
Тогда искомый угол /DBH=/B-/ABD-/CBH=80°-40°-30°=10°.
Ответ: /DBH=10°

70. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырёхугольника KPCM.

71. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что ВMKN — ромб.

По условию задачи AB=BC=CA (т.к. треугольник ABC - равносторонний). Значит AK=KC=CN=NB=BM=MA.
Тогда, MN - средняя линия треугольника ABC. Следовательно, MN=AK и MN||AK (по теореме о средней линии).
NK - тоже средняя линия, равна AM и параллельна AM.
Получается, что AM=MN=NK=KA, т.е. AMNK - ромб (по свойству ромба).

ч.т.д.

72. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

73. Медиана BM треугольника ABC равна 3 и является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите диаметр описанной окружности треугольника ABC.

74. Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

75. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АВ, если сторона АС равна 10.

76. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 12 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 9 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

77. В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 10, а меньшее основание BC равно 4.

78. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

79. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 30°. Найдите величину угла ODC.

80. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 45° соответственно. Ответ дайте в градусах.

81. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

82. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 4. Найдите площадь трапеции.

83. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ=ВС) точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равнобедренный.

84. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой В Н и биссектрисой BD.

85. Центральный угол AOB, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите радиус окружности.

86. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно. Ответ дайте в градусах.

87. В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 6.

88. От столба к дому натянут провод длиной 13 м, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 12 м. Ответ дайте в метрах.

89. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ длиной 5. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.

90. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 75°. Найдите величину угла OAB.

91. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AMK.

92. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

93. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

96. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

97. а) Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 9 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

б) Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

98. Сторона ромба равна 22, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

99. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMD.

100. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 5 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

101. Точка О — центр окружности, ∠BOC=50° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

102. а) Сторона ромба равна 40, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

б) Сторона ромба равна 28, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

в) Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

г) Сторона ромба равна 38, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

103. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMB.

104. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 9 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

105. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CKD

106. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOD.

107. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

108. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BKC.

109. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

110. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

111. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 7 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

112. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

113. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 8. Окружность радиуса 5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

114. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 6 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

115. а) Точка О — центр окружности, ∠BAC=75° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).

б) Точка О — центр окружности, ∠BAC=70° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).

в) Точка О — центр окружности, ∠BOC=110° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

116. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

117. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

118. а)Точка О — центр окружности, ∠BOC=60° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

б) Точка О — центр окружности, ∠BAC=10° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).

в) Точка О — центр окружности, ∠BAC=20° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).

г) Точка О — центр окружности, ∠BAC=60° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).

д) Точка О — центр окружности, ∠BAC=40° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).

е) Точка О — центр окружности, ∠BOC=70° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

ж) Точка О — центр окружности, ∠BOC=100° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

119. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 4. Окружность радиуса 2,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

120. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

121. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

122. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BMC.

123. а) Сторона ромба равна 20, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков.

б) Сторона ромба равна 24, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

в) Сторона ромба равна 60, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

г) Сторона ромба равна 26, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

124. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CMD.

125. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника COD

126. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 16. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

127. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

128. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BOC.

129. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKB.

130. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 18. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

131. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны CD. Известно, что KA=KB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

132. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 1 и 7.

133. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

134. В параллелограмме KLMN точка B — середина стороны KN. Известно, что BL=BM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

135. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.

136. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

137. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AB. Известно, что MC=MD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

138. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2,  и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

139. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2,  и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

140. В параллелограмме KLMN точка A — середина стороны KN. Известно, что AL=AM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

141. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2,  и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

142. а) Точка О – центр окружности, ∠AOB=110° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

б) Точка О – центр окружности, ∠ACB=70° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).

в) Точка О – центр окружности, ∠ACB=62° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).

г) Точка О – центр окружности, ∠ACB=65° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).

д) Точка О – центр окружности, ∠AOB=128° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

е) Точка О – центр окружности, ∠AOB=130° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

143. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

144. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 3,  и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

145. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD. Известно, что MA=MB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

146. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

147. В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны LM. Известно, что EK=EN. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

148. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

149. а)Точка О – центр окружности, ∠ACB=32° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).

б) Точка О – центр окружности, ∠AOB=70° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

в) Точка О – центр окружности, ∠ACB=25° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).

г) Точка О – центр окружности, ∠ACB=24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).

д) Точка О – центр окружности, ∠AOB=72° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

150. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 3,  и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

151. Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 7.

152. В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны KN. Известно, что EL=EM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

153. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2,  и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

154. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 3,  и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

155. Прямая касается окружности в точке K.
Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 60°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

156. Прямая касается окружности в точке K. Центр окружности – точка O. Хорда KM образует с касательной угол, равный 40°. Найдите величину угла KOM. Ответ дайте в градусах.

157. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2,  и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

158. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

159. В параллелограмме KLMN точка B — середина стороны LM. Известно, что BK=BN. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

160. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

161. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны CD. Известно, что EA=EB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

162. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 3,  и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

163. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.

164.а) Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.

б) Площадь параллелограмма ABCD равна 56. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции AECB.

165. От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Вычислите длину провода. Ответ дайте в метрах.

166. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.

167. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

168. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

169. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 55°. Найдите величину угла ODC.

170. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP, равен 4, тангенс угла BAC равен 0,75. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

171. Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100° соответственно.

172. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

173. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно.

174. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

175. Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м?

176. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

177. В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD.

178. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD.

179. От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в метрах.

 180. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

181. Лестницу длиной 3,7 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

 182. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

183. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 75°. Найдите величину угла ODC.

184. Лестницу длиной 2,5 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 0,7 м?

185. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.

186. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

187. а) Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 8.

б) Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

в) Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.

188. От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 15 м. Вычислите длину провода. Ответ дайте в метрах.

189. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.

190. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.

191. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

                   Рисунок,предложенный в задаче можно условно перерисовать в виде треугольников. Рассмотрим треугольники ABO и COD.
1) /BOA=/DOC, т.к. они вертикальные.
2) /OBA=/ODC=90°
3) /BAO=/DCO, т.к. они внутренние накрест-лежащие.
Следовательно, треугольники ABO и COD подобны (по признаку подобия). Отсюда следует, что CO/AO=CD/AB. Поэтому при движении, высота концов журавля будет подчиняться этой же пропорции.
CO/AO=CD/AB=CF/AE
6/2=CF/0,5 => CF=3/2=1,5.
Ответ: конец длинного плеча опустится на 1,5 метр.

192. а) Сторона ромба равна 32, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

б) Сторона ромба равна 30, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

в) Сторона ромба равна 36, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

193. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

194. Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 5.

195. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2, и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

По условию задачи /KAC>90°, т.е. это наибольший угол в треугольнике AKC следовательно, сторона KC, противолежащая этому углу тоже наибольшая (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника). Сторона AC равная 2√3 - наибольшая сторона исходного треугольника ABC (т.к. 2√3>√7>1). Следовательно, угол ABC - наибольший угол треугольника ABC.
По условию задачи треугольник KAC подобен исходному треугольнику ABC. А значит углы этих треугольников соответственно равны (по определению подобных треугольников). Поэтому наибольшие углы двух рассматриваемых треугольников равны, т.е. /KAC=/ABC. /ACK не равен /ACB ( т.к. KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B), поэтому /ACK = /BAC. Следовательно, /AKC=/ACB => cos(/AKC)=cos(/ACB).
Применяя теорему косинусов мы можем записать AB2=AC2+BC2-2*AC*BC*cos(/ACB).
(√7)2=(2√3)2+12-2*2√3*1*cos(/ACB);
7=4*3+1-4*√3*cos(/ACB);
7-13=-4*√3*cos(/ACB);
6=4*√3*cos(/ACB);
cos(/AKC)=cos(/ACB)=3/(2*√3)
cos(/AKC)=cos(/ACB)=√3/2
Ответ: cos(/AKC)=√3/2

196. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2, и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

197. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.

198. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 6. Окружность радиуса 4,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

199. Точка О — центр окружности, ∠BOC=160° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

200. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

201. Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

202. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2,  и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

203. В параллелограмме KLMN точка A — середина стороны LM. Известно, что KA=NA. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

204. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AB. Известно, что KC=KD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

205. Точка О – центр окружности, ∠AOB=84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

206. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 6.

ТИП 25

1. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=52°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

2. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=57°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

3. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=74°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

4. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=64°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

5. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=72°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градус

6. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=65°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

7. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=67°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

8. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=81°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

9. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=78°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

10. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=48°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

11. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=60°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

ТИП 26

1. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=28°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

2. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=39. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

3. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=44°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

4. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=16°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

5. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=29°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

6. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=18°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

7. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=31°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

8. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=41°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

9. На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=24°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

ТИП 27

1. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=72 и BC=3. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Образец: Проведем отрезок AD, где D - точка касания окружности 

и касательной. AD перпендикулярен к касательной 

т.е. угол между AD и касательной DB равен 90°.
Следовательно, треугольник ABD - прямоугольный.
AD=AC=14 (т.к. это радиусы окружности и, соответственно, равны друг другу).
По теореме Пифагора: AB2=AD2+BD2
(AC+BC)2=AD2+BD2
(72+3)2=722+BD2,   5625=5184+BD2,  BD2=441,  BD=21
Ответ: длина касательной равна 21.

2. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=56 и BC=9. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

3. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=60 и BC=5. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

4. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=48 и BC=2. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

5. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=60 и BC=1. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

6. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=16 и BC=49. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

7. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=60 и BC=27. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

8. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=72 и BC=25. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

9. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=80 и BC=2. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

10. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=54 и BC=36. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

11. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=68 и BC=17. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

12. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=60 и BC=15. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

13. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=6 и BC=4. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

14. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=30 и BC=20. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

15. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=12 и BC=3. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

16. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=10 и BC=16. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

17. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=21 и BC=8. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

18. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=24 и BC=16. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

19. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=14 и BC=36. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

20. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=75 и BC=10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

ТИП 28

1. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 18∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Образец: OK перпендикулярен к касательной (по свойству касательной),                                

 т.е. угол между OK и касательной равен 90°.
Следовательно, /OKM=90°-18°=72°
Треугольник OMK - равнобедренный (т.к. OM и OK - радиусы окружности и, соответственно, равны друг другу).
Тогда /OKM=/OMK=72°
Ответ: /OMK=72°

2. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 32∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

3. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 75∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

4. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 19∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

5. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 69∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

6. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 72∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

7. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 71∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

8. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 37∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

9. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 57∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

10. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 56∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

11. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 25∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

12. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 4∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

13. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 53∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

14. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 40∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

15. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 79∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

16. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 62∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

17. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 39∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

18. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 84∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

19. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 7∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

20. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

ТИП 29

1. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=32∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

2. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=44∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

3. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=43∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

4. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=3∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

5. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=41∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

6. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=11∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

7. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=64∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

8. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=47∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

9. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=60∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

10. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=36∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

11. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=5∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

12. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=71∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

13. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=63∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

14. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=69∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

15. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=34∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

16. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=8∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

17. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=70∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

18. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=48∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

19. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=73∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

20. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=38∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

ТИП 30

1.