Теоремы необходимо доказывать
статья по геометрии (7 класс) на тему

Теоремы необходимо доказывать

1сентября учителя нашей школы проводят анкетирование учащихся 11 класса. Цель - выяснить,  насколько они понимают теорию, изученную в школе ранее, могут ли использовать свои знания для решения новой задачи; кроме того, в анкету включено несколько вопросов для проверки умения решать типовые задачи. Учащимся сообщается, что по результатам анкеты оценки не выставляются. По окончании работы учитель объясняет, как следовало отвечать по каждому  вопросу и даёт обоснование. Более подробно останавливается на тех вопросах, которые вызвали затруднения у большинства. При этом тех, чья подготовка оказалась недостаточной, необходимо морально поддержать, убедить, что они смогут преодолеть отставание, если приложат серьёзные усилия.

Ниже приведен полностью один из вариантов анкеты, а затем рассмотрены результаты. Приходят новые ученики, а процент верных ответов не меняется. Учителя разные, а процент верных ответов не меняется. Предлагаю коллегам попробовать провести анкету в своих классах.

Анкета

К некоторым вопросам предложено несколько ответов. Если Вы не найдете среди предлагаемых правильного ответа - можете написать свой.

1. Решите уравнение х2 +5х +4 =0.

2.Как Вы оцениваете справедливость следующего утверждения: «Если верна прямая теорема, то верна и обратная ей?»

а) Верное;     б) неверное;      в) не знаю.

3.Будем доказывать методом от противного теорему: «Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны». Вам нужно написать только одну фразу: что именно допускается. Итак. допустим, что…

4. То. что дано в теореме, называют её условием, то, что требуется доказать- заключением. Чтобы применить известную теорему при решении задачи надо проверить:

а) выполнено ли условие теоремы,

б) выполнено ли заключение теоремы,

в) выполнены ли условие  и заключение теоремы.

5. Два тракториста вспахали поле в 168 га. Первый вспахал вдвое больше второго. Сколько вспахал первый?

6. дана формула: s = v0 t + 0,5 аt2 . Выразите а.

7. Как Вы оцениваете справедливость следующего утверждения: « Если число делится нацело на 3. то оно делится нацело и на 12?»

а) Верное;     б) неверное;      в) иногда верное.

8.Дана система уравнений: х + 3 у = 5,  х – у = 1. Если в левую часть каждого  из данных уравнений вместо х и у подставить два фиксированных числа, то будут ли левые части равны правым?

9. Найдите а , если lg a = 2 lg m

10. Решите уравнение  кх = с. если к = 0

11. «Если плоскость Р  проходит  через перпендикуляр  m, проведенный к другой плоскости Q, то плоскости  Р  и Q перпендикулярны».

Напишите. что в этой теореме  дано и что требуется доказать.

12.Решите систему уравнений :2х – у = 4, 6х – 3у = 12

13. Дано уравнение : х – 4 = 0. Всегда ли его левая часть равна правой?

14. Даны два предложения:

а) Величиной двугранного угла называется величина  его линейного угла;

б) Два перпендикуляра к плоскости параллельны.

Какое из них является определением?

15.Как. имея два сосуда емкостью 8 л. и 5 л. набрать из водоема ровно 4 л. воды?

16.Когда можно доказывать теорему, не  используя её условие?

а) Всегда;     б) никогда;      в)при доказательстве  от противного

17. Когда при доказательстве теоремы можно опираться на то, что  требуется доказать?.

а) Всегда;     б) никогда;      в)при доказательстве  от противного

18. Как доказать, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны является медианой?

а) от противного;

б) используя свойство медианы

в) это не доказывают

Результаты анкетирования

В таблице, приведенной ниже, указан номер вопроса, процент верных ответов к общему числу участников анкетирования, полученный в 2001г. и 2013 г.

Анкета дает возможность определить уровень подготовки. Опыт показывает, что учащиеся, которые набрали 10 и более баллов( число правильных ответов из 15), имеют достаточную подготовку для того, чтобы  хорошо учиться. Им можно сразу предлагать нестандартные задачи. (С1 – С6). Если этого не сделать, они могут потерять интерес к учебе.

Учащиеся. Набравшие 6 и менее баллов, испытывают, как правило, значительные трудности в освоении программ по математике. Это «группа риска». Они нуждаются в помощи, дополнительных  занятиях во внеурочное время. Они решают задачи только по шаблону.

Почему в анкету 2013 года были добавлены три вопроса?

 Примерно 40% ребят  не смогли выделить из формулировки теоремы что дано и что доказать(вопрос 11); свыше 40%- допускали при доказательстве от противного, что не выполнено условие теоремы; при решении задачи пытаются иногда опираться на то. Что требуется получить, «доказывают» определение. Ясно. Что они не понимают сущности доказательства теоремы.

Ответы на новые вопросы дали интересную информацию. На вопрос 16 верно ответили 40% участников, а 22% ответили: «при доказательстве от противного»

На вопрос 17 правильно ответили 28% , а 59% выбрали ответ

«от противного», а 38%  выбрали ответ «используя свойство медианы»

Одна из причин недостаточной подготовки выпускников школы

Малое число участников анкетирования не дает оснований делать  общие выводы, однако, нет сомнения, что имеется большой процент выпускников школы,  которые не понимают ни формулировки теоремы. ни смысла её доказательства.

В 1863 году в работе «Наша университетская наука» Д.И. Писарев отмечал: «Доказывая геометрическую теорему. Гимназист только притворяется. Будто он выводит доказательства одного из другого; он просто отвечает заученный урок; вся работа лежит на памяти… А вы попробуйте изменить фигуру: предложите, например, вместо остроугольника тупоугольник или устройте так , чтобы заинтересованный в доказательстве угол глядел не в стену, как ему велено глядеть  по учебнику геометрии. А хотя бы в пол…и я вам ручаюсь, что из десяти бойких геометров…девять погрузятся в бесплодную и мрачную задумчивость…»

И далее  Д.И.Писарев заключает: «От других предметов и требовать нечего, но математика- наука великая. Замечательный продукт человеческого разума. Профанирование математики есть преступление перед разумом…»

Под руководством учителя (с помощью наводящих вопросов, решая подготавливающие задачи) ученики  могли бы принимать участие в доказательстве  большинства теорем школьного курса. Но результаты анкет показывают, что многие учителя не привлекают учеников к совместному поиску доказательства. Не учат доказывать. Еще Сократ с помощью наводящих вопросов добивался, чтобы его собеседник самостоятельно пришел к истине. Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески. Так что учащийся видит сам, как можно было прийти к ним самостоятельно.

Не беда, если ученик забыл какое-то свойство. Плохо, что он не знает, как происходит доказательство.

Доказательство от противного (приведение к нелепости)

Остановимся на важных деталях, которым не уделяется достаточное внимание. С чего начать? Многие люди пользуются в быту доказательством от противного, иногда даже не замечая этого. Желательно использовать этот опыт прежде, чем формально вводить новый метод.

Начать с доступных, понятных примеров.

1) Ребенок прибежал домой.

- Мама дома?

- Наверное.

- Нет! Если бы она была дома , её пальто висело бы на вешалке.

Формализуем его рассуждения: « Я утверждаю, что мамы нет. Но предположим, что мама дома. Тогда её пальто висело бы на вешалке. Но его нет. Мы пришли к противоречию с тем, что есть в действительности. Значит, мамы дома нет».

2) Миша спрашивает маму:

- Зачем люди едят?

- Чтобы вырасти.

-А зачем же взрослые едят?

3) Мама дочке:

 -Ты никогда не умываешься!

Дочка: « Неправда, в субботу я умывалась. Ты сама меня похвалила»

4)Адвокат говорит: «Я утверждаю, что обвиняемый невиновен. Но допустим, что он убийца. Тогда во время убийства он должен быть на месте преступления. Но у него алиби : он в это время был в другом городе.

5) Врач объясняет: «У вас нет гайморита. Если бы у вас был гайморит, на рентгеновском снимке было бы затемнение. А его нет»

Рассмотрение этих примеров облегчит понимание доказательства методом от противного и покажет, что умение рассуждать полезно не только в геометрии.

Привлекать учеников к доказательству теоремы.

Начиная доказательство, учитель сам выдвигает «противное» предположение, а ученики затем повторяют доказательство за учителем. Пересказывают учебник. Итог такого обучения проявился в анкете. Результат будут иным. Если привлечь учеников. После того как сказаны слова: «Будем доказывать методом от противного. Допустим, что…»- учитель предлагает ученикам самим сформулировать и записать в тетради, что именно допускается. Тогда ученики будут сами делать предположение, а не наблюдать, как это делает учитель.

Труднее приходится, когда в результате «противного»  допущения, возникает несколько возможных случаев. Например, нужно доказать, что угол А острый. Допустив, что он не острый( это значит , что он может быть прямым или тупым), мы должны доказать, что он не может быть ни прямым, ни тупым. Упражнения потребуют от них умения выделить заключение из формулировки теоремы. Это необходимо для понимания теоремы.

Помочь учащимся освоить идею доказательства.

 Пусть требуется доказать теорему: «Из  а = в следует  с ≠ к» Пока это утверждение не доказано. Из условия  может вытекать  либо с ≠ к, либо с = к. Предположив, что с = к, мы приходим к противоречию, и тогда остается лишь одно: с ≠ к. После рассмотрения нескольких конкретных примеров ученики усваивают « Мы пришли к противоречию .Значит , наше противоречие было        неверным, и остаётся только…»

Было бы очень  полезно нарисовать на доске схемы двух  доказательств (обычного и от противного), например:

СХЕМА ОБЫЧНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

СХЕМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА МЕТОДОМ ОТ ПРОТИВНОГО

 Вторая схема позволяет не только услышать, но и увидеть, что при этом способе доказательства мы опираемся и на условие теоремы (а = в) и на предположение (с = к). Схема еще показывает, что видоизменяется цель: сначала надо прийти к противоречию, и лишь из него следует требуемый результат: с ≠ к.

 Учитель требует от ученика, доказавшего теорему, чтобы рядом с каждым выводом обязательно была подтверждающая ссылка ( по условию, по такой-то теореме, по определению, по построению.)При доказательстве методом от противного появляется новая ссылка: согласно нашего предположения.

Познакомить с возможными ситуациями.

Эти ситуации можно изобразить на схеме и показать, каким образом, допустив «противное», мы приходим к правильному выводу.

        Эти ситуации  учитель может перечислить сразу. Но без применения они забудутся. Список ситуаций должен быть у каждого ученика, чтобы он точно знал их и стремился попасть в одну из них. Рассматривая схему, возможные ситуации ученики легче поймут идею доказательства. Безусловно,  усвоение состоится  лишь тогда. Когда ученики будут сами во всем принимать участие.

Обратная теорема.

Почему 32-42% участников анкетирования отвечали  «Если верна прямая теорема, то верна и обратная ей»? Главная причина в том, что не ставится  вопрос «А справедливо ли обратное утверждение?», не рассматриваются контрпримеры, нет упражнений на составление обратных утверждений. Между тем, составляя обратные утверждения, ученики должны разобраться в условии и заключении теоремы, и конечно, они увидят, что существуют неверные обратные утверждения. При доказательстве теоремы  ученик должен каждый вывод сопровождать обоснованием, и не забывать точно указывать где, в каком именно месте было использовано условие теоремы.  Чтобы опровергнуть неверное утверждение. Достаточно привести один пример, отвечающий его условию не отвечающий его заключению.