Исследовательская работа "Формула Пика"
творческая работа учащихся по геометрии (5 класс) на тему
Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.
На данном этапе, школьная система рассчитана на одиннадцатилетнее обучение.
Всем учащимся в конце одиннадцатого класса предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен, который покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда предоставляет самые рациональные способы решения каких-либо задач.
Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» на кружке по математике «Занимательная математика» встал вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебники геометрии. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Учитель показала такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, я решил обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
формула Пика | 1.95 МБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа с. Николаевка Ивантеевского района Саратовской области»
Автор работы: Братчиков Артемий
Ученик 5 класса
Руководитель: Григорьева Е.В.,
учитель математики
с. Николаевка
2014 год
СОДЕРЖАНИЕ.
I. Введение…………………………………………………………………….3
II. Формула Пика
2.1.Из истории ……………………………………………………………6
2.2.Решетки .Узлы………………………………………… ……………..7
2.3.Делениемногоугольника на треугольники и прямоугольники……8
2.4. Доказательство теоремы Пика……………………………………..9
2.5. Исследование площадей многоугольников………………11
2.6. Вывод…………………………………………………………………13
III.Нахождение площади многоугольника по формуле Пика……...14
IV. Теорема Пика на детских рисунках………………………………………...16
V. Заключение……………………………………………………………………18
VI. Список используемой литературы…………………………………………19
- Введение
Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.
На данном этапе, школьная система рассчитана на одиннадцатилетнее обучение.
Всем учащимся в конце одиннадцатого класса предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен, который покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда предоставляет самые рациональные способы решения каких-либо задач.
Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» на кружке по математике «Занимательная математика» встал вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебники геометрии. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Учитель показала такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, я решил обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.
Я приступил к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.
Поэтому, проведя исследования, я выяснил, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет мне быстрее справиться с заданием.
Мы определили:
Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге
Предмет исследования: задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.
Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.
- Цель исследования:
- Выяснение существования иной, отличной от школьной программы, формулы нахождения площади решетчатого многоугольника.
- Области применения искомой формулы.
Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:
- Подобрать необходимую литературу
- Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
- Проанализировать и систематизировать полученную информацию
- Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
- Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.
- Гипотеза:Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуламплощадей из учебника математики.
Многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении
При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.
- Формула Пика
- Из истории
Георг Алекса́ндр Пик (10 августа, 1859 - 26 июля 1942) был австрийским математиком. Он умер в концлагере Терезин. Сегодня он известен из-за формулы Пика для определения площади решетки полигонов. Он опубликовал свою формулу в статье в 1899 году, она стала популярной, когда Хьюго Штейнгауз включил её в 1969 году в издание математических снимков.
Пик учился в Венском университете и защитил кандидатскую в 1880 году. После получения докторской степени он был назначен помощником Эрнеста Маха в Шерльско-Фердинандском университете в Праге. Он стал преподавателем там в 1881 году. Взяв отпуск в университете в 1884 году, стал работать с Феликсом Клейном в Лейпцигском университете. Он оставался в Праге до своей отставки в 1927 году, а за тем вернулся в Вену.
Пик возглавлял комитет в(тогда) немецком университете Праги, который назначил Альберта Эйнштейна профессором кафедры математической физики в 1911 году.
Пик был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги.
После ухода на пенсию в 1927 году, Пик вернулся в Вену, город, где он родился. После аншлюса, когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, Пик вернулся в Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. Георг был отправлен в концентрационный лагерь Терезин 13 июля 1942. Он умер через две недели.
Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899г.
- Решетки.Узлы.
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих прямыхназывается точечной решеткой или просто решеткой , а сами точки –узлами решетки.
Внутренние узлы многоугольника - красные.
Узлы на гранях многоугольника - синие.
Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку .
Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки.
Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки,проходящим через вершины нарисованного треугольника.
- Деление многоугольника на треугольники и прямоугольники
Вы, наверное, заметили, что у многоугольных фигур, расположенных на клетчатой бумаге, вершины которых расположены в узлах клеток, нетрудно подсчитать площадь, принимая за единицу площадь одной клетки. При этом приходится разбивать фигуру на прямоугольники и прямоугольные треугольники.
Например, площадь изображённого многоугольника складывается из площадей фигур, площадь которых находится легко:
S1= (3 · 2) : 2 = 3
S2= (1 · 2) : 2 = 1
S3= (3 · 2) : 2 = 3
S4= 2 · 2= 4
S5=(1 · 2) : 2 = 1
Суммарная площадь равна: 3+1+3 + 4+1 = 12.
Площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять ещё проще: есть формула, связывающая площадь такого многоугольника с количеством узлов, лежащих внутри и на его границе. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.
Формула Пика:S = , Где S – многоугольной фигуры, В – число узлов сетки, попавших внутрь фигуры, Г – число узлов, лежащих на границе. |
В нашем примере: В = 10, Г = 6; S = 10 + 3 – 1 = 12
2.4.Доказательство теоремы Пика.
1. Докажем формулу Пика для прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки. Возьмем сначала прямоугольник 4 • 5, а затем проверьте в общем виде.
S = 4 • 5= 20
В (красные точки) = 12; Г (синие точки) = 18; S = 12 + 9 – 1 = 20
Доказательство в общем виде:
S = р · р = р2
В = (р-1)·(р-1) = р2 – 2р + 1; Г = 4р; S= р2 – 2р + 1 + 2р – 1 =р2
Докажем формулу Пика для прямоугольного треугольника с катетами, идущими по линиям сетки. Возьмите сначала треугольник с катетами 6 и 8, а затем проверьте в общем виде.
S = (6 · 8) : 2 = 24
В = 17; Г = 16; S = 17 + 8 – 1 = 24\
S =р2 : 2
В = (р-1)·(р-1) = р2 – 2р + 1; Г = 4р; S= (р2 – 2р + 1 + 2р – 1) : 2 =р2 : 2
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник . Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива для произвольного треугольника.
2.5. Исследованиеплощадеймногоугольников
Проверим, что если многоугольник разрезан на два многоугольника (все многоугольники имеют вершины в узлах сетки) и для каждой из частей формула Пика верна, то она верна и для всего многоугольника. Достаточно проверить это утверждение по рисунку.
- Фигура М1: В= 10; Г = 8; S = 10 + 4 – 1 = 13
Фигура М1: В= 6; Г = 10; S = 6 + 5 – 1 = 10
Sм1+м2=13 + 10 = 23
- В = 17; Г = 14; S = 17 + 7 -1 = 23
- Вывод
В итоге, я пришёл к выводу, что существует много различных способов решения задач на нахождение площади, не изучаемых в школьной программе, и показала их на примере формулы Пика.
III.Нахождение площади многоугольника по формуле Пика
Вычислим площадь многоугольников, данных в условиях задач из предыдущего пункта, используя формулу Пика, и проверим, всегда ли она применима при решении подобных задач.
1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Г = 12, В = 4, S = В + Г/2 – 1 = 4 + 12/2 – 1 = 9
Ответ: 9.
2.Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Г = 10, В = 5, S = В + Г/2 – 1 = 5 + 10/2 – 1 =9
Ответ: 9.
3.Найдите площадь треугольника ABC.
Г = 7, В = 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 7/2 – 1= 7,5
Ответ: 7,5.
4. Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Г = 6, В = 8, S = В + Г/2 – 1 = 8 + 6/2 – 1 = 10
Ответ: 10.
5.Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Г = 4, В = 7, S= В + Г/2 – 1 = 7+4/2-1 = 8
Ответ: 8.
6.Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Г= 10, В= 5, S= В + Г/2 – 1= 5 + 10/2 – 1= 9
Ответ: 9.
7. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Г= 4, В= 7, S = В + Г/2 – 1=7 + 4/2 – 1= 8
Ответ: 8.
8. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Г= 4, В= 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 4/2 – 1= 6
Ответ: 6.
IV.Теорема Пика на детских рисунках.
V. Заключение
В процессе исследования я изучил справочную, научно-популярную литературу. Узнал , что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.
В результате моей работы я расширил свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.
Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.
Я пришёл к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому я решил продолжить работу в этом направлении.
VI. Литература
1.Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.
2.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011
4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.
5.Мтематические этюды.etudes.ru
6.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Площадьпрямоугольника. Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге с помощью формулы Пика
формирование понятие «Площади» как величины; единицы площади -закрепление формул площади прямоугольника и квадрата - способы нахождения площади треугольника и других многоугольников, использ...
Презентация к уроку " Площадь прямоугольника. Формула Пика
формирование понятие «Площади» как величины; единицы площади -закрепление формул площади прямоугольника и квадрата - способы нахождения площади треугольника и других многоугольников, использ...
8 класс. Площади фигур. Формула Пика
Материал можно использовать для подготовки учащихся к ГИА по математике...
Площади плоских фигур. Формула Пика.
Урок закрепления и повторения формул нахождения площади плоских фигур. Знакомство с формулой Пика для нахождения площади плоских фигур на клетчатой бумаги....
Площади плоских фигур. Формула Пика.
Урок закрепления и повторения формул нахождения площади плоских фигур. Знакомство с формулой Пика для нахождения площади плоских фигур на клетчатой бумаги....
Исследовательская работа "Формула Пика"
Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека....
Площадь многоугольника. Формула Пика. Рефератно - исследовательская работа
Предмет исследования.Гипотеза. Метод исследования ¨Гипотеза. Можно предположить, что существуют различные методы нахождения площадей многоугольников, построенных на клетчатой бумаге с в...