Правильные многогранники
проект по геометрии (10 класс) по теме

Проект изучения темы «Правильные многогранники».

Разработка урока-семинара по теме

«Правильные и полуправильные многогранники»

Выполнили студенты очной формы обучения 5 курса 355 группы Бывшева В.В., Щербинин Д.Н.

Нижний Новгород

2012 г.

Оглавление

1. Обзор математической литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Общая характеристика темы:

2.1. роль темы в математике и в школьном курсе математики; . . . .4

2.2. программа по математике для профильных классов: инвариантное содержание темы; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. сравнительный анализ содержания темы в общеобразовательных и профильных классах; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3. Обзор методической литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

4.Логико-дедактический анализ теоретического и

задачного материала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Тематическое планирование

6. Подробный конспект урока.

1.Обзор математической литературы

1. Гончар В.В. «Модели многогранников».- М.:, «Аким», 1997

В нем представлен схемы развертки всех 5 платоновых и 13 архимедовых тел (правильных и полуправильных многогранников).

Приведены номограммы для построения моделей разной величины, выкройки-развертки звездчатых форм многогранников

2. БоллУ., Коксетер Г. «Математические эссе и развлечения».-М.:Мир, 1986.

В книге рассматриваются правильные многогранники,  их история возникновения, их взаимное расположение со сферами. Рассмотрены различные способы представления правильных многогранников, .а также их различные разбиения, говорится о симметрии в правильных многогранниках.

3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. «Правильные, полуправильные и звездчатые многогранники».-М.:МЦМНО,2010

В книге представлены правильные, полупра­вильные и звёздчатые многогранники, рассмот­рены их свойства и предложены задачи для са­мостоятельного решения. Она предназначена для учителей математики и учащихся старших классов и может быть использована для проведения элективного курса, а также для самостоятельных занятий по геометрии.

4. Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. Геометрия.-М, 1963

В энциклопедии представлена основная информация о правильных многогранниках определения, теоремы, свойства. Представлены изображения правильных многогранников. Рассказывается о возможных случаях взаимного расположения правильных многогранников, правильных многогранников и сфер. Представлена подробная информация о полуправильных многогранниках.

5. Ж.Адамар Элементарная геометрия, часть 2 Стереометрия. Пособие для учителей средней школы.

В данном пособии в теме правильные многогранники рассматривается понятие правильного многогранника, приведены свойства правильных многогранников (без доказательства), виды правильных многогранников.

2. Характеристика темы:

1. роль темы в математике и в школьном курсе математики.

Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже использование перспективы. Однако есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Несколько значительных фигур в изобразительном искусстве проложили дорогу этим индивидуумам.

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование. Одной из частых тем математического искусства является использование многогранников, которые были изучены достаточно давно. Платон (427-348 до н.е.) описал пять правильных многогранников, которые также иногда называются телами Платона. Однако открыты они были раньше Платона, и детали открытия правильных многогранников остаются загадкой. Платон соотносил эти тела: огонь - тетраэдр, воздух - октаэдр, вода - икосаэдр, земля – куб.

Далее, он писал, что существует пятая комбинация, которой Бог ограничил Мир, это додекаэдр. Архимед (290/280-212/211 до н. э) описал 13 полуправильных многогранников. Так же как правильные многогранники называют Платоновыми, полуправильные многогранники называют архимедовыми. Записи Архимеда об этих многогранниках были утеряны вместе с фигурами многогранников.

Изучение темы «Многогранники» в школьном курсе позволяет расширить и систематизировать сведения о пространственных фигурах – многогранниках. На протяжении всего курса математики учащиеся сталкиваются с различными примерами многогранников и отдельными их свойствами. Например, при изучении параллельности в курсе планиметрии находили примеры на натуральной модели куба, параллелепипеда. В процессе изучения данной темы ребята учатся проводить аналогии между плоскими и пространственными фигурами. Например, можно провести аналогию между треугольником и тетраэдром, прямоугольником и параллелепипедом, различными видами четырехугольников и соответствующих им видам призм.

        Неоценимая роль темы «Многогранники» состоит в том, что показать учащимся их разнообразие и многочисленное присутствие в окружающей нас действительности. На уроках изучения призмы, пирамиды и правильных многогранников учащиеся получают яркое представление о их применение в различных областях человеческой деятельности: строительстве, архитектуре, кристаллографии (Е.С. Федоров) и др.

        Однако, в курсе геометрии учащимся предлагаются только выпуклые многогранники — выпуклые призмы и пирамиды, выпуклые правильные многогранники. При этом само понятие выпуклости не объясняется, хотя оно является одним из фундаментальных понятий математики. С учащимися учебных заведений естественно-научного и прикладного профиля можно рассмотреть это понятие. Появилось оно относительно недавно. Основы теории выпуклых многогранников были заложены в конце XIX в. в работах математиков Г. Бруна и Г. Минковского. Глубокие результаты в данной области получены нашими отечественными современными математиками А. Д. Александровым и А. В. Погореловым. Теория выпуклых многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для широкого практического приложения: в других разделах математики, например в алгебре, теории чисел, в бурно развивающихся в последние десятилетия областях прикладной математики, например линейном программировании, теории оптимального управления, математических методах в экономике.

2. Программа по математике для профильных классов: инвариантное содержание темы.

Геометрия. Программы общеобразовательных учреждений 10-11 классы.:-М. Просвещение, 2010

Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Программа по геометрии (базовый и профильный уровни) 10 класс.

2 часа в неделю, всего 68 часов.

Многогранники 14 часов..

Понятие многогранника. Призма.                                                3ч.

Пирамида.                                                                                4ч.

Правильные многогранники.                                                        5ч.

Контрольная работа.                                                                1ч.

Зачет.                                                                                1ч.

Основная цель – познакомить учащихся с основными видами многогранников (призма, пирамида, усеченная пирамида), с формулой Эйлера для выпуклых многогранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.

С двумя видами многогранников – тетраэдром и параллелепипедом – учащиеся уже знакомы. Теперь эти представления расширяются. Многогранник определяется как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. В связи с этим уточняется само понятие геометрического тела, для чего вводится еще ряд новых понятий. Усвоение их не является обязательным для всех учащихся, можно ограничиться наглядным представлением о многогранниках.

Наряду с формулой Эйлера в этом разделе содержится также один из вариантов пространственной теоремы Пифагора, связанной с тетраэдром, у которого все плоские углы при одной вершине – прямые. Доказательство основано на формуле площади прямоугольной проекции многоугольника, которая предварительно выводится.

3. сравнительный анализ содержания темы в общеобразовательных и профильных классах.

Учебники Атанасяна Л.С, Погорелова А.В., Александрова А.Л..

В учебнике Атанасяна Л.С,  в главе «Многогранники» рассмотрены следующие дидактические единицы: многогранники, правильные многогранники, геометрическое тело, пирамида, призма, правильная пирамида, усеченная пирамида, элементы многогранников, симметрия в пространстве, элементы симметрии правильных многогранников, теоремы о площади боковой поверхности призмы, пирамиды, усеченной пирамиды. Задачи на нахождение площади боковой и полной поверхности выше перечисленных видов многогранников. Из них не доказывается только теорема о площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

В учебнике Погорелова А.В. помимо дидактических единиц, рассмотренных в учебнике «Геометрия, 10 – 11» Атанасяна Л.С. в главе «Многогранники», рассмотрены следующие дидактические единицы: двухгранный угол, трехгранный угол, многогранный угол, параллелепипед, сечение многогранников. В учебнике Атанасяна Л.С. эти дидактические единицы рассмотрены ранее.

В учебнике Александрова А.Л. тема «Многогранники» разбита на несколько параграфов. Так же есть и параграф «Многогранники». В нем рассмотрены следующие дидактические единицы: тело, поверхность тела, граница тела, внутренность фигуры, многогранники, элементы многогранника (вершина, ребро, грань), правильные многогранники и их построение. Различные виды многогранников, такие как призма, пирамида, усеченная пирамида рассмотрены раньше в отдельных параграфах. Теоремы о площади боковой поверхности пирамиды, и призмы рассмотрены в соответствующих параграфах. При этом призма и пирамида рассматриваются как частные случаи соответственно конуса и цилиндра. Причем, основаниями конуса и цилиндра является любая плоская фигура F (то есть любая плоская замкнутая кривая или ломаная). Симметрия в пространстве также выделена одним параграфом и рассмотрена после параграфа «Многогранники».

Вывод. Во всех учебниках тема имеет место, поскольку тема «Многогранники» является одной из ключевых тем не только школьной математики, но и математики вообще. В учебнике Л.С. Атанасяна два частных вида многогранников (тетраэдр и параллелепипед) рассматриваются до изучения темы «Многогранники» в главе I «Параллельность прямых и плоскостей». В двух других учебниках все многогранники рассматриваются в одной главе. У А.Л. Александрова многогранники рассматриваются совместно с другими телами – конус, цилиндр, шар. Такой способ изложения позволяет увидеть взаимосвязи между многогранниками и телами вращения телами.

3. Обзор методической литературы

1. Правильные многогранники. Методические рекомендации. – Н.Новгород: НГПИ им. М.Горького, 1991, 48с.

В данных методических рекомендациях содержится один из методических подходов к изложению темы «Выпуклые фигуры и многогранники». Рассматривается симметрия выпуклых многогранников через движение пространства Е2, правильные многоугольники, правильные многогранники (здесь небольшая, но интересная историческая справка). Большое внимание уделено подбору задач и вопросов.

2. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие. Т. А, Иванова, Е. Н. Перевощикова, Т. П. Григорьева, Л. И. Кузнецова; Под. ред.  проф. Т. А. Ивановой. – Н. Новгород: НГПУ, 2003, 320с.

В пособии проектируется современная методическая система обучения математике, методологическую основу которой составляют концепции гуманитаризации образования, личностно ориентированного, деятельностного и технологического подходов к обучению.  С этих позиций анализируются цели общего математического образования, их конкретизация на уровне учебной темы конкретного урока; выявляется структура гуманитарно-ориентированного содержания математического образования; излагается технология обучения основным дидактическим единицам и построение уроков различных типов, где ученик выступает как субъект учебной деятельности; описывается диагностика процесса обучения на всех его этапах. Так же рассмотрены различные типы уроков и дана характеристика каждому типу.

3. Журнал «Математика в школе». № 3, 1995 год. Статья Смирнова И.М. «Об определении понятия правильного многогранника»

В этой статье дается определение выпуклого многогранника, рассматриваются и доказываются некоторые свойства выпуклых многогранников, формулируется и доказывается теорема Эйлера, далее рассматривается понятие полуправильные многогранники. Статья снабжена большим количеством иллюстраций, для многих видов многогранников приведены специальные названия.

4. Логико-дидактический анализ теоретического и задачного материала.

Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов, С.В. Кадонцев и др. – М.: Просвещение, 2001

Анализ теоретического материала.

Основным понятием данного параграфа является определение правильного многогранника. Определение дается через род и видовые отличия, которые описываются конструктивно. Структура данного определения для учащихся не нова. Вспомогательными, являются понятия связанные с симметрией пространства: точки симметричные относительно точки, прямой, плоскости, центр, ось, плоскость симметрии. Все определения даны через род и видовые отличия. С подобными понятиями учащиеся уже встречались при изучении курса планиметрии, поэтому в данной теме  рационально использовать прием аналогии при изучении точек симметричных относительно точки, прямой, плоскости, центра, оси и плоскости симметрии. Данные понятия необходимы для исследования, впоследствии, правильных многогранников, их свойств.

В теме впервые в процессе изучения курса геометрии встречается теорема на доказательство «не существования». Она представлена в виде: «Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные  n-угольники при n≥6.» Метод доказательства от противного. Данная теорема фактически показывает существование только пяти видов правильных многогранников, что в учебнике показывается с помощью метода исчерпывающих проб.

В этом параграфе рассматриваются частные виды правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный октаэдр, правильный икосаэдр, куб, правильный додекаэдр. Каждый из перечисленных многогранников исследуется на количество граней, ребер, вершин, а также выделяются элементы симметрии: центр, ось, плоскость симметрии. Целесообразно при изучении правильных многогранников использовать семинарское занятие. На нем необходимо активно использовать учебно-наглядные средства, которые могут быть изготовлены самими учащимися. Данные модели позволяют развить у учащихся наглядное представление изучаемого материала. Так же следует обратить внимание на связь изучаемого материала с реальной действительностью.

Анализ задачного материала.

Можно выделить пять групп задач:

1. Задачи на центральную симметрию (№276 она же является ключевой);

Сколько центров симметрии имеет: а) параллелепипед; б) правильная треугольная призма; в) двугранный угол; г) отрезок?

Решение: а) Один; б) не имеет; в) не имеет; г) один.

2. Задачи на осевую симметрию (№277 она же является ключевой);

Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) правильный треугольник; в) куб?

Решение: а) бесконечное множество; б) три; в) девять.

3. Задачи на симметрию относительно плоскости(№278, 319);

Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильная четырехугольная призма, отличная от куба; б) правильная четырехугольная пирамида; в) правильная треугольная пирамида?

Решение: а) пять; б) четыре; в) три или шесть.

4. Задачи на вычисление элементов

1. Куба (№279, 280, 281);

Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.

Решение

1).Найдем площадь ΔA1DC1. AD=a. Тогда SA1DC1= это площадь сечения проведенного через диагональ соседних граней.

2). Найдем площадь AB1C1D - прямоугольник. SAB1C1D= AB1 * B1C1=

Ответ ,  

2. Правильного тетраэдра (№283, 286);

В правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC параллельно грани BDC.

Решение:

Линия пересечения плоскости сечения и плоскости ABC параллельна ИС, поэтому проведем через центр О грани ABC линию MK, параллельно BC. Аналогично проведем MN ||CD. Тогда MNK – искомое сечение. Заметим, что ∆MNK подобен ∆CDB, причем коэффициент подобия равен AO/AH=2/3, где AH медиана ∆ABC, т.к. точка O – точка пересечения медиан правильного треугольника ABC.

SMNK=(2/3)2*SABC=4/9*a2*=

Ответ:

3. Правильного октаэдра (№282, 287);

Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

Решение:

Найдем угол между АВ и CD. Т.к. АВ=ВС=CD=AD, то ABCD – ромб. Но так как в пирамиде MABCD боковые ребра равны, то основание высоты падает в центр описанной вокруг основания ABCD окружности. А раз вокруг ромба можно описать окружность, то этот ромб – квадрат. Т.о. ےBAD=900.

Ответ 900

5. Задачи на доказательство и определение видов фигур (№284, 285, 315-318).

Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.

Доказательство:

В плоскости ADH треугольники ADH и О2О1H подобны, т.к. AH/O1H=DH/O1H=3/1 и ےDHA общий. Тогда O2O1=1/3AD, аналогично рассматриваются все остальные отрезки, т.к. тетраэдр правильный, то все его ребра равны, а значит и отрезки соединяющие середины граней равны. Ч.т.д.

Данных задач достаточно для закрепления теоретического материала данного параграфа.