Методическая разработка "Деятельностный подход как способ формирования обязательных результатов обучения на уроках математики на примере темы «Окружность"
методическая разработка по геометрии (8 класс) по теме

Урок 1

ОКРУЖНОСТЬ.

ВЗАИМНОЕ  РАСПОЛОЖЕНИЕ  ПРЯМОЙ  И  ОКРУЖНОСТИ.

Технология ТРКМ.

Главная дидактическая цель урока:

Добиться умения самостоятельно формулировать определения понятий: окружность, радиус, диаметр, хорда каждым учащимся.

Цели урока:

1. Изучить возможности взаимного расположения прямой и окружности.
2. Способствовать формированию приёмов критического мышления, анализа и синтеза
3. Воспитание коммуникативной культуры, приобретение опыта самостоятельной работы.

Ход урока

Игра “Верю - не верю”

ЛИСТ №1

“Ни 30 лет, ни 30 столетий не оказывают никакого влияния

на ясность или на красоту геометрических истин”.

 Кэрролл Л.

Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из древнейших геометрических фигур. Ещё вавилоняне и древние индийцы считали самым важным элементом окружности – радиус. Слово это латинское и означает “луч”. В древности не было этого термина: Евклид и другие учёные говорили просто “прямая из центра”, Ф. Виет писал что “радиус” - это “элегантное слово”. Общепринятым термин “радиус” становится лишь в конце XVII в. Впервые термин “радиус” встречается в “Геометрии” французского ученого Рамса, изданной в 1569 году.

В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно в каждой своей точке окружность “устроена” одинаково, что позволяет ей как бы двигаться “по себе”. На плоскости этим свойством обладает еще лишь прямая. Одно из интереснейших свойств круга состоит в том, что он при заданном периметре ограничивает максимальную площадь.

В русском языке слово “круглый” тоже стало означать высокую степень чего-либо: “круглый отличник”, “круглый сирота” и даже “круглый дурак”.

Если вы когда-либо пробовали получить информацию от бюрократической организации, вас, скорее всего “погоняли по кругу”. Фраза “ходить по кругу” обычно не ассоциируется с прогрессом. Но в период индустриальной революции, выражение “ходить по кругу” очень точно отражало прогресс. Шкивы и механизмы давали машинам возможность увеличить производительность и значит сократить рабочую неделю.

Без понятия круга и окружности было бы трудно говорить о круговращении жизни. Круги повсюду вокруг нас. Окружности и циклы идут, взявшись за руки. Циклы получаются при движении по кругу. Мы изучаем циклы земли, они помогают нам разобраться, когда надо сажать растения и когда мы должны вставать.

Представление об окружности даёт линия движения модели самолёта, прикреплённого шнуром к руке человека, также обод колеса, спицы которого соответствуют радиусам окружности.

Термин “хорда” (от греческого “струна”) был введён в современном смысле европейскими учёными в XII-XIII веках.

Определение касательной как прямой, имеющей с окружностью только одну общую точку, встречается впервые в учебнике “Элементы геометрии” французского математика Лежандра (1752-1833 гг.). В “Началах” Евклида даётся следующее определение: прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает его.

Прочитав текст, составьте в тетради таблицу вопросов по нему, так чтобы вопрос начинался с указанного слова.

ЛИСТ №2

Изучив таблицу, сформулируйте геометрические определения понятий, используя ключевые слова.

ЛИСТ №3

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. Рассмотрите прямую m, точку М вне её и отрезок МК.

Дайте определение расстояния от точки до прямой:

Расстояние от точки до прямой – это …………….

Постройте в тетради три окружности с центром в точке М:

1. Радиус окружности r < MK

2. Радиус окружности r = MK

3. Радиус окружности r >MK

Сделайте вывод о взаимном расположении прямой и окружности, в зависимости от радиуса и расстояния от центра до прямой.

Обсудите свои выводы с товарищем по парте.

Список литературы: 

1. М.Г. Ермолаева. Современный урок: тенденции, возможности, анализ. СПб. 2007.
2. Ю.Н.Кулюткина. Е.Б. Спасская. Образовательные технологии. КАРО СПб 2001.
3. О.Б. Епишева. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода. Просвещение Москва 2003.

№ 49 (8 класс)

Урок 2

КАСАТЕЛЬНАЯ  К  ОКРУЖНОСТИ.

Цель:

• ввести определение касательной к окружности;
• рассмотреть свойство касательной и свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки.

Ход урока:

I. Актуализация знаний.

Выполнить устно.

По данным рисунка укажите взаимное расположение:

II. Новый материал.

1. Определение касательной к окружности.

Опр. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

Их общая точка называется точкой касания.

Рисунок в тетрадь.

2. Свойство и признак касательной к окружности.

Теорема (свойство касательной): Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Рисунок в тетрадь.

Доказательство: видео И.Жаборовский

Теорема (признак касательной): Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство: видео И.Жаборовский

3. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки.

Теорема: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Рисунок в тетрадь.

Доказательство: видео И.Жаборовский

III. Закрепление изученного материала.

Решить № 635, 636, 639.

IV. Итоги урока.

1) Прямая а – касательная к окружности.

2) r  a.

V. Задание на самоподготовку.

• вопросы 3–7,  с. 187;  
• № 634, 638, 640.

№ 50 (8 класс)

Урок 3

КАСАТЕЛЬНАЯ  К  ОКРУЖНОСТИ. РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ.

Цель:

• формировать умение решать задачи на определение, свойства и признак касательной к окружности.

Ход урока:

I. Проверка самоподготовки.

3 суворовца - по желанию на доске доказать свойство и признак касательной и свойство отрезков касательных. 

II. Актуализация знаний.

Выполнить устно.

1. Укажите взаимное расположение окружности и прямой:

d = 3 см, r = 5 см      (прямая - секущая)

d = 5 см, r = 3 см      (нет точек пересечения)

d = 30 см, r = 3 дм      (прямая - касательная)

2. Сформулируйте:

• определение касательной;
• свойство касательной;
• признак касательной;
• свойство отрезков касательных.

II. Решение задач.

№ 1. Прямые АВ и ВС – касательные, проведенные через точку В к окружности с центром О. Отрезок АВ = 24 см, угол АВС равен 60°. Чему равен радиус окружности, отрезок ОВ и углы треугольника ВОС?

№ 2. Прямые АВ и ВС – касательные, проведенные через точку В к окружности с центром О. Радиус окружности равен 26 см, угол АВО равен 60°. Найдите стороны и углы треугольника ВОС.

№ 3. Прямые АВ и ВС – касательные, проведенные через точку В к окружности с центром О. Отрезок ВО = 24 см, угол АВС равен 90°. Чему равен радиус окружности, отрезок ВС и углы треугольника ВОС?

№ 4. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках M, K и P соответственно так, что ВМ = 4 см, КС = 6 см, АР = 8 см. Найдите периметр треугольника АВС.

№ 5. АВ и ВС – отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О радиуса 10 см. Найдите периметр четырехугольника АВСО, если угол АОС равен 120°?

№ 6. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке К. Найдите радиус окружности, если СК = 4 см.

IV. Итоги урока.

V. Задание на самоподготовку.

№ 1. Отрезки касательных АВ и ВС, проведенных из точки В к окружности с центром О, образуют угол, равный 60°, ОВ = 28 см.  Чему равен отрезок ОА?

№ 2. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 2 см в точке А так, что ОА = АВ. Чему равен отрезок ОВ?

№ 3. АВ и ВС – отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. АВ = 6 см, ВО = 12 см. Чему равен угол АВС?

№ 4. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 5 см. Известно, что АО = ОВ = 13 см. Чему равна длина АВ?

№ 5. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках M, K и P соответственно так, что ВМ = 5 см, РС = 7 см, а периметр треугольника равен 32 см. Найдите длину стороны АС.

Урок 4

ГРАДУСНАЯ  МЕРА  ДУГИ  ОКРУЖНОСТИ.  

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ  УГОЛ.

Цель:

• ввести понятия градусной меры дуги окружности, центрального угла;
• доказать теорему об измерении вписанных углов и следствия из неё;
• формировать умение решать задачи на нахождение вписанного угла.

Цели ученика:

• освоить понятия: градусная меры дуги окружности, центральный угол;
• овладеть умением решать задачи на нахождение градусной меры дуги окружности, центрального угла.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено и того, что неизвестно;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Проверочная работа.

В.И.Панарина Геометрия 8 класс Экспресс – диагностика.

Работа 33 (см. Приложение).

II. Новый материал^[1]. 

1. Видео-лекция (Жаборовский).

2. Суворовцы самостоятельно делают записи в конспект, используя опорный конспект^[2] .

ВАС = 360° – ВОС; АВС = 360° – АОС;

АС + АВС = АОС + (360° – АОС) = 360°.

III. Итоги урока.

IV. Задание на самоподготовку.

• п.70 выучить, уметь рассказывать;  
• № 650, 652.

Урок 5

ВПИСАННЫЙ  УГОЛ.

Цель:

• ввести понятие вписанного угла;
• доказать теорему об измерении вписанных углов и следствия из неё;
• формировать умение решать задачи на нахождение вписанного угла.

Цели ученика:

• освоить понятие: вписанного угла;
• изучить теорему об измерении вписанных углов и следствия из неё;
• овладеть умением решать задачи на нахождение вписанного угла.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено и того, что неизвестно;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Актуализация знаний^[1].

II. Новый материал.

1. Опорный конспект^[2].

Опр. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

• АВС – вписанный угол

• АМС расположена внутри АВС

Говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу АМС.

№ 1. По рисунку определить вписанный угол.

2. Практическая работа:

1. Построить окружность с центром в точке О.
2. Построить центральный угол АОС и вписанный угол АВС, опирающиеся на одну дугу АС.
3. Измерить величину центрального и вписанного угла.
4. Сделать вывод.

3. Записать Теорема (свойство вписанных углов): Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство: видео И.Жаборовский

4. Практическая работа:

1. Построить окружность с центром в точке О.
2. Построить три вписанных угла, опирающиеся на одну общую дугу.
3. Измерить их величину.
4. Сделать вывод.

5. Записать Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

6. Практическая работа:

1. Построить окружность с центром в точке О.
2. Построить три вписанных угла, опирающиеся на диаметр.
3. Измерить их величину.
4. Сделать вывод.

7. Записать Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр) - прямой.

III. Решение задач.

№ 1. Центральный угол АОВ равен 110°. Найти вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

№ 2. Найти угол AMD, если угол ADM равен 38°, угол ВСМ равен 32°.

Доп. № 3 (опорный конспект).

IV. Итог урока.

V. Задание на самоподготовку.

• п.71 выучить с доказательством.
• № 655, 656, 660.

Урок 6

ОТРЕЗКИ  ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ  ХОРД.

Цель:

• рассмотреть теорему об отрезках пересекающихся хорд;
• формировать умение решать задачи на применение изученного материала.

Цели ученика:

• изучить теорему об отрезках пересекающихся хорд;
• овладеть умением решать задачи на применение изученного материала.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено и того, что неизвестно;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Проверка самоподготовки.

II. Актуализация знаний^[1].

1. найти градусную меру угла АВС (устно):

Ответы: 1) 120°, 2) 90°, 3) 30°, 4) 40°, 5) 130°, 6) 120°, 7) 45°, 8) 60°.

III. Новый материал.

Практическая работа:

1. Построить окружность с центром в точке О.
2. Построить пересекающиеся хорды АВ и CD. Обозначить точку их пересечения.
3. Измерить длины отрезков, на которые данная точка разделила эти хорды.
4. Вычислить произведения отрезков каждой хорды.
5. Сделать вывод.

Теорема об отрезках пересекающихся хорд: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство: видео И.Жаборовский

IV. Решение задач.

№ 1. Хорды АВ и CD пересекаются в точке М. найдите длину хорды АВ, если АМ = 6 см, СМ = 8 см, МН = 9 см.

№ 2. Хорды КМ и РТ пересекаются в точке С. Найдите длину отрезков РС и СТ, если КС = 7 см, СМ = 4 см, РТ = 16 см.

V. Рефлексия.

Решить № 666(а), проверить устно.

VI. Итог урока.

VII. Задание на самоподготовку.

С.173 выучить с доказательством.

№ 666(б, в), 667.

Урок 7

ВПИСАННЫЙ  УГОЛ.  РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ.

Цель:

• отрабатывать решение задач на центральные и вписанные углы, на свойство пересекающихся хорд;
• проверить умение решать задачи на центральные и вписанные углы, на свойство пересекающихся хорд.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: составление плана и последовательности действий при решении задач на центральные и вписанные углы, на свойство пересекающихся хорд;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: самостоятельное выделение и формулирование учебной цели;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Проверка самоподготовки.

На доске показать решение № 667.

1 суворовец (по желанию) доказательство теоремы об отрезках пересекающихся хорд.

II. Актуализация знаний.

1. Устный счет - Упр.13 (см. Приложение)
2. Сформулируйте утверждения, которые отражены на рисунках^[1].

III. Самостоятельная работа.

IV. Решение задач.

Суворовцы решают задачи и самостоятельно формулируют выводы.

№ 1. Найдите острый угол между секущими АС и АН, если дуги, заключенные между ними, равны 128° и 52°.

Ответ: 38°

Вывод: Острый угол с вершиной вне круга, образованный двумя секущими, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

№ 2. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке М. Найдите острый угол между хордами, если градусная мера дуги АВ равна 80°, а дуги CD - 20°.

Вывод: Угол с вершиной внутри круга равен полусумме двух дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями. 

№ 3. Прямая АМ, касательная к окружности, АВ – хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги МАВ.

Вывод: Угол, образованный касательной и хордой, равен половине дуги, заключённой между его сторонами.

№ 4 (670). Через точку А проведены касательная АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что АВ²=AP·AQ.

V. Итог урока.

VI. Задание на самоподготовку.

• Выводы учить
• № 660, 662, 672.
• Повторить определение биссектрисы угла и перпендикулярных прямых.

Урок 8

ЧЕТЫРЕ  ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ  ТОЧКИ  ТРЕУГОЛЬНИКА.  

СВОЙСТВО  БИССЕКТРИСЫ УГЛА.

Цель:

• рассмотреть теорему о свойстве биссектрисы угла и её следствие;
• формировать умение решать задачи на свойство биссектрисы угла.

Цели ученика:

• изучить теорему о свойстве биссектрисы угла и её следствие;
• овладеть умением решать задачи на свойство биссектрисы угла.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения задачи на основе соотнесения того, что уже усвоено и того, что неизвестно;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Проверка самоподготовки.

На доске показать решение № 660, 662.

II. Актуализация знаний^[1].

1) Докажите, что SАОС = SВОС.

2) Прямая m пересекает отрезок АВ в его середине. Докажите, что концы отрезка АВ равноудалены от прямой m.

III. Новый материал.

Практическая работа:

1. Постройте неразвёрнутый угол.
2. Постройте его биссектрису.
3. Отметьте на биссектрисе три произвольных точки.
4. Опустите из построенных точек перпендикуляры к сторонам угла.
5. Измерьте расстояния от каждой точки до сторон угла.
6. Сделайте вывод.

Теорема – свойство биссектрисы угла:

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Доказательство: видео И.Жаборовский.

Обратная теорема:

Каждая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство: видео И.Жаборовский.

Задача 1. Докажите, что точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от его сторон.

Следствие: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Задача 2. В треугольнике АВС угол А равен 80°, угол В равен 60°, а их биссектрисы пересекаются в точке Н. Найдите угол АСН.

IV. Итог урока.

V. Задание на самоподготовку.

• 2 теоремы и следствие выучить.
• № 671, 678(а), 674.
• Повторить определение перпендикулярных прямых.

Урок 9

ЧЕТЫРЕ  ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ  ТОЧКИ  ТРЕУГОЛЬНИКА.  

СВОЙСТВО  СЕРЕДИННОГО  ПЕРПЕНДИКУЛЯРА  К  ОТРЕЗКУ.

Цель:

• ввести понятие серединного перпендикуляра к отрезку;
• рассмотреть теорему о серединном перпендикуляре к отрезку и следствие;
• формировать умение решать задачи на серединный перпендикуляр к отрезку.

Цели ученика:

• освоить понятие серединного перпендикуляра к отрезку;
• изучить теорему о серединном перпендикуляре к отрезку и следствие;
• овладеть умением решать задачи на серединный перпендикуляр к отрезку.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения задачи на основе соотнесения того, что уже усвоено и того, что неизвестно;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Проверка самоподготовки.

На доске показать решение № 670, 674, 678.

По желанию – доказательство свойство биссектрисы угла и обратной теоремы.

II. Актуализация знаний.

Устный счёт упр.13 (см. Приложение)

III. Новый материал^[1].

Работа с учебником: с.177 найти и записать определение серединного перпендикуляра к отрезку.

Практическая работа:

1. Постройте отрезок произвольной длины.
2. Отметьте середину данного отрезка.
3. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку.
4. Отметьте на серединном перпендикуляре три различных точки.
5. Измерьте расстояние от этих точек до концов отрезка.
6. Сделайте вывод.

Теорема – свойство серединного перпендикуляра к отрезку:

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство: видео И.Жаборовский.

Обратная теорема:

Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство: видео И.Жаборовский.

Следствие: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

IV. Решение задач.

№ 679(б), 680.

V. Итог урока.

IV. Задание на самоподготовку.

• 2 теоремы и следствие выучить
• № 679(а), 681, 686(решена в учебнике)
• Повторить определение высоты и медианы треугольника.

Урок 10

ЧЕТЫРЕ  ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ  ТОЧКИ  ТРЕУГОЛЬНИКА.  

ТОЧКА  ПЕРЕСЕЧЕНИЯ  ВЫСОТ  ТРЕУГОЛЬНИКА.

Цель:

• проверить знание свойств биссектрисы треугольника и серединного перпендикуляра к отрезку;
• рассмотреть теорему о точке пересечения высот треугольника;
• формировать умение решать задачи на четыре замечательные точки треугольника.

Цели ученика:

• показать знания свойств биссектрисы треугольника и серединного перпендикуляра к отрезку;
• изучить теорему о точке пересечения высот треугольника;
• овладеть умением решать задачи на четыре замечательные точки треугольника.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения задачи на основе соотнесения того, что уже усвоено и того, что неизвестно;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Проверка самоподготовки.

На доске показать решение № 679(а), 681.

По желанию – доказательство свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

II. Проверочная работа.

1 вариант

1. Сформулировать и доказать теорему о свойстве биссектрисы треугольника и обратную теорему.
2. Сформулировать следствие из данных теорем. Сделать рисунок.

2 вариант

1. Сформулировать и доказать теорему о свойстве серединного перпендикуляра к отрезку и обратную теорему.
2. Сформулировать следствие из данных теорем. Сделать рисунок.

III. Новый материал^[1].

Работа с учебником: с.44 найти и записать определение высоты треугольника.

Практическая работа: 

двое учащихся выполняют построение на доске, остальные в тетради.

1. Постройте остроугольный и тупоугольный (для «сильных» учащихся) треугольник.
2. Постройте в нём высоты.
3. Сделайте вывод.

Теорема – свойство высот треугольника:

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Ранее была доказана теорема - свойство медиан треугольника:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

IV. Решение задач.

№ 1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы АЕ и СК пересекаются в точке М. ВМ = 8 см, АС = 10 см. Чему равна площадь треугольника АВС?

№ 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высота ВК равна 6 см, а периметр треугольника АВК равен 20 см. Чему равен периметр треугольника АВС?

V. Итог урока.

IV. Задание на самоподготовку.

• 2 теоремы выучить
• № 676, 684, 685
• Повторить определение окружности и её элементов.

Урок 11

ВПИСАННАЯ  ОКРУЖНОСТЬ.  

СВОЙСТВО  ОПИСАННОГО  ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА.

Цель:

• ввести понятие вписанной окружности и описанного многоугольника;
• рассмотреть теорему о том, что в любой треугольник можно вписать окружность;
• рассмотреть свойство описанного четырёхугольника.

Цели ученика:

• освоить: понятия вписанной окружности и описанного многоугольника;
• изучить теорему о том, что в любой треугольник можно вписать окружность;
• изучить свойство описанного четырёхугольника.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения задачи на основе соотнесения того, что уже усвоено и того, что неизвестно;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Актуализация знаний^[1].

1. Решить устно:

Дуга АD – полуокружность.

Доказать MN  АD.

2. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от его сторон.

II. Новый материал.

Работа с учебником: с.181 найти и записать определение окружности, вписанной в многоугольник и многоугольника, описанного около окружности.

Сделать рисунок на доске и в тетрадях: изобразить окружность и описать около неё многоугольник. Провести радиусы в точки касания. Сделать вывод.

Центр вписанной окружности  - точка пересечения биссектрис многоугольника. 

Для какой геометрической фигуры всегда можно найти точку пересечения всех биссектрис?

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Можно ли сказать то же о любом четырёхугольнике?

Практическая работа: 

трое учащихся выполняют построение на доске, остальные в тетради.

1. Постройте окружность произвольного радиуса.
2. Опишите около окружности: параллелограмм; прямоугольник; трапецию.
3. Измерьте стороны четырёхугольника.
4. Найдите сумму противоположных сторон.
5. Сделайте вывод.

Теорема – свойство описанного четырёхугольника:

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство самостоятельно.

Обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Можно ли вписать окружность в квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапецию? Объяснить, почему.

 Ввести формулу для нахождения  радиуса вписанной окружности:

IV. Решение задач.

№ 698.

V. Итог урока.

IV. Задание на самоподготовку.

• Выучить теорему и свойство
• № 691, 693, 695
• Доп.задание: с помощью циркуля и линейки вписать окружность в остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольник.

Урок 12

ОПИСАННАЯ  ОКРУЖНОСТЬ.  

СВОЙСТВО  ВПИСАННОГО  ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА.

Цель:

• ввести понятие описанной окружности и вписанного многоугольника;
• рассмотреть теорему о том, что около любого треугольника можно описать окружность;
• рассмотреть свойство вписанного четырёхугольника.

Цели ученика:

• освоить: понятия описанной окружности и вписанного многоугольника;
• изучить теорему о том, что около любого треугольника можно описать окружность;
• изучить свойство вписанного четырёхугольника.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения задачи на основе соотнесения того, что уже усвоено и того, что неизвестно;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Проверка самоподготовки.

На доске 3 суворовца (по желанию): с помощью циркуля и линейки вписать окружность в остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольник.

II. Актуализация знаний^[1].

1. Назовите четыре замечательные точки треугольника. Какая из них является центром вписанной в многоугольник окружности?

2. Докажите, что точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин. 

III. Новый материал.

Работа с учебником: с.183 найти и записать определение окружности, описанной в многоугольник и многоугольника, вписанного в окружность.

Сделать рисунок на доске и в тетрадях: изобразить окружность и вписать в неё многоугольник. Провести радиусы к вершинам многоугольника. Сделать вывод.

Центр описанной окружности  - точка пересечения серединных перпендикуляров. 

Для какой геометрической фигуры всегда можно найти точку пересечения всех серединных перпендикуляров?

Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Можно ли сказать то же о любом четырёхугольнике?

Практическая работа: 

трое учащихся выполняют построение на доске, остальные в тетради.

1. Постройте окружность произвольного радиуса.
2. Впишите в эту окружность: параллелограмм; прямоугольник; трапецию.
3. Измерьте углы четырёхугольника.
4. Найдите сумму противоположных углов.
5. Сделайте вывод.

Теорема – свойство вписанного четырёхугольника:

В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Доказательство самостоятельно.

Обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Можно ли описать окружность около квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, произвольной трапеции, равнобедренной трапеции? Объяснить, почему.

 Ввести формулу для нахождения  радиуса описанной окружности для любого треугольника:

IV. Решение задач.

Найдите радиус описанной окружности для треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

(три способа)

V. Итог урока.

IV. Задание на самоподготовку.

• Выучить теорему и свойство
• № 705(б), 702(б)
• Доп.задание: с помощью циркуля и линейки описать окружность около остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.

Урок 13

РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ  НА  ВПИСАННУЮ  И  ОПИСАННУЮ  ОКРУЖНОСТЬ.  

Цель:

• формировать умение решать задачи на вписанную и описанную окружность.

Цели ученика:

• овладеть умением решать задачи на вписанную и описанную окружность.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: составление плана и последовательности действий;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: выделение существенного, формирование обобщённых знаний;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Проверка самоподготовки.

На доске 3 суворовца (по желанию): с помощью циркуля и линейки описать окружность около остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.

II. Устная работа.

Устный счёт упр.14 (см. Приложение)

IV. Решение задач.

№ 1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

№ 2. В треугольнике АВС: АС = 8, ВС = 15, угол С равен 90°. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для этого треугольника.

№ 3. Сторона равностороннего треугольника равна 36. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для этого треугольника.

№ 4. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами 15 и 5.

№ 5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100. Её большая боковая сторона равна 35. Найдите радиус окружности.

№ 6. Точки А, В, С и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:12:19. Найдите угол А четырехугольника АВСD.

V. Итог урока.

IV. Задание на самоподготовку.

№ 1. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника равен . Найдите сторону этого треугольника.

№ 2. В треугольнике АВС: ВС = , угол С равен 90°. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 8,5. Найдите АС.

№ 3. В четырехугольник вписана окружность, АВ = 26, СD = 121. Найдите периметр четырехугольника.

№ 4. Точки А, В, С и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:15:16. Найдите угол А четырехугольника АВСD.

Урок 14

РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ  НА  ВПИСАННУЮ  И  ОПИСАННУЮ  ОКРУЖНОСТЬ.  

Цель:

• отрабатывать решение задач на вписанную и описанную окружность.

Цели ученика:

• овладеть умением решения задач на вписанную и описанную окружность.

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: составление плана и последовательности действий;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: построение логической цепи рассуждений;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Проверка самоподготовки.

На доске 6 суворовцев (по желанию): с помощью циркуля и линейки вписать и описать окружность около остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.

II. Устная работа.

Устный счёт «Окружность» (см.Приложение)

IV. Решение задач.

№ 1. В равносторонний треугольник АВС вписана окружность с центром О и радиусом 6. Найдите длину отрезка АО.(12)

№ 2. В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Найдите радиус окружности, если длина отрезка АО равна 6, а угол ВАС равен 120°.(3)

№ 3. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 18 см. Боковая сторона равна 15 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для данного  треугольника.(9)

№ 4. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 24 см. Высота ВН равна 9 м. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для данного  треугольника.(12,5; 4)

№ 693(б).

V. Итог урока.

IV. Задание на самоподготовку.

№ 693(а), 698, 706.

Урок 15

РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ  ПО  ТЕМЕ  «ОКРУЖНОСТЬ».  

Цель:

• отрабатывать решение задач по теме «Окружность».

Цели ученика:

• отрабатывать решение задач по теме «Окружность».

Универсальные учебные действия (УУД):

• регулятивные: составление плана и последовательности действий;
• коммуникативные: построение речевых высказываний;
• познавательные: построение логической цепи рассуждений;
• личностные: самооценка.

Ход урока:

I. Самостоятельная работа.

В.И.Панарина ГЕОМЕТРИЯ Экспресс – диагностика 8 класс

Работа 35 (см. Приложение)

II. Решение задач.

№ 1. Из точки М данной окружности проведены диаметр МА и хорда МВ, равная   радиусу. Найдите угол между ними.

№ 2. Хорда РК стягивает дугу, равную 105о, а хорда РС – дугу в 44о. Найдите угол КРС.

№ 3. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 8 см. Высота ВН равна 3 см. Найдите радиус вписанной и описанной окружности для данного треугольника.

№ 4. Постройте окружность, описанную около:

а)  остроугольного треугольника;

б)  тупоугольного треугольника.

№ 5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100. Её большая боковая сторона равна 35. Найдите радиус окружности.

№ 6. Точки А, В, С и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:12:19. Найдите угол А четырехугольника АВСD.

III. Итог урока.

IV. Задание на самоподготовку.

№ 1. Через точку Н данной окружности проведены касательная НВ и хорда НК, равная радиусу. Найдите угол ВНК между ними.

№ 2. Хорда АВ стягивает дугу, равную 64о, а хорда АС – дугу в 123о. Найдите угол ВАС

№ 3. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 8 см, боковая сторона равна 10 см. Найдите радиус вписанной и описанной окружности для данного треугольника.

№ 4. Постройте окружность, вписанную:

а)   в остроугольный треугольник;

б)  в тупоугольный треугольник.

Урок 16

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  №5.  

Цель:

• проверить знания, умения и навыки суворовцев по теме «Окружность».

Ход урока:

I. Контрольная работа.

Текст контрольной работы № 5 (см. Приложение).

Вариант 1

№ 1. Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная   радиусу. Найдите угол между ними.

№ 2. Хорда АВ стягивает дугу, равную 125о, а хорда АС – дугу в 52о. Найдите угол ВАС

№ 3. Точки А, В, С и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:12:19. Найдите угол А четырехугольника АВСD.

№ 4. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

№ 5*. Постройте окружность, описанную около тупоугольного треугольника.

Вариант 2

№ 1. Через точку данной окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.

№ 2. Хорда АВ стягивает дугу, равную 65о, а хорда АС – дугу в 122о. Найдите угол ВАС

№ 3. Точки А, В, С и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:15:16. Найдите угол B четырехугольника АВСD.

№ 4. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 12 см, а само основание равно 10 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

№ 5*. Постройте окружность, вписанную в остроугольный треугольник.

II. Итог урока.

III. Задание на самоподготовку.

Повторить главу 5 «Четырёхугольники».

1. Взаимное расположение прямой и окружности

2. Касательная к окружности