Координатный метод решения стереометрических задач
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (10 класс) по теме

МБОУ Гимназия №7

Элективный курс

«КООРДИНАТНЫЙ

МЕТОД РЕШЕНИЯ

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»

для учащихся 10-11 классов

Количество часов – 17.

Погородняя Ирина Юрьевна,

учитель математики высшей категории

с. Донское, Труновский р-н,

2013

Координатный метод решения стереометрических задач

                                            Пояснительная записка

Геометрия –  раздел математики, являющийся носителем собственного метода познания мира, с помощью которого рассматриваются формы и  взаимное расположение предметов, развивающих  пространственные представления, образное мышление учащихся, изобразительно - графические умения, приемы конструктивной деятельности, формируют геометрическое мышление. Несмотря  на цели и задачи, сформулированные в  учебных программах по математике и геометрии 5-9 классов, согласно которым у учеников на протяжении пяти лет должны быть сформированы пространственное мышление и воображение, умение выделять плоскостные объекты в составе пространственных объектов, на практике дело обстоит иначе.  Анализ современных учебников геометрии  показывает, что школьный курс стереометрии  страдает  в  своей практической  части недостаточной преемственностью курса планиметрии, слабой взаимосвязью с другими учебными предметами и не является в полной мере составной частью базы знаний, необходимых учащимся для продолжения образования в высших учебных заведениях. Недостаточное количество часов данное на изучение геометрии в 10-11 классах  повлекло за собой уменьшение практической направленности курса и тем самым в результате – неумение решения стереометрических задач. 

Данный элективный курс представлен в виде практикума, который позволит, расширить  и систематизировать знания учащихся в  использовании решения стереометрических  задач. Не секрет, что многие старшеклассники при решении таких задач сталкиваются с трудностями, связанными с построением чертежа. При выполнении ЕГЭ по математике многие выпускники либо не справляются с решением задания С2, либо вообще не приступают к его решению, так как не умеют выделять в составе пространственных фигур объекты на плоскости.   Программа курса предусматривает изучение координатного метода для решения задач различного уровня сложности. Он позволяет с помощью формул и введения координатного пространства решать различные стереометрические задачи. Этот метод упрощает работу, связанную с чертежом, тем самым облегчает решение задачи.

Цели курса:

• Расширение и углубление знаний учащихся о методах и приемах решения стереометрических задач.
• Развитие интереса к предмету и возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы применения полученных знаний в своей будущей профессии.
• Развитие умений самостоятельно приобретать знания, дать возможность ученикам проявить себя и добиться успеха.
• Подготовка к ЕГЭ - выполнение заданий уровня  С2.

 Задачи курса:

• Развивать пространственные представления и воображения учащихся;
• Систематизировать теоретические знания учащихся по стереометрии;
• Познакомить учащихся с координатным методом решения стереометрических задач и развивать навыки использования его.
• Познакомить учеников с разными типами геометрических задач, с особенностями методики и способами их решения.
• Готовить выпускников к успешной сдаче ЕГЭ и конкурсных экзаменов в вузы.

Программа  данного элективного курса содержит лекционные занятия, уроки - практикумы, дидактические материалы, темы творческих работ. На уроках-практикумах старшеклассники решают большое количество различных задач, в том числе и из ЕГЭ, развивая навыки работы по нахождению углов и расстояний в пространстве. Работа над проектами дает возможность ученикам совершать пусть небольшие, но свои открытия и окрыляет их для следующих побед. Содержание материала, уровневая индивидуализация учебной и дифференциация обучающей деятельности на фоне благоприятного психологического климата помогут ученику сформировать учебные  умения и навыки, повысить его образовательный уровень, что  связано с дальнейшим успешным самообразованием и профессиональным самоопределением

Успешность освоения курса  оценивается на итоговом зачете. Итоговая работа оценивается  оценкой «зачтено», если учащийся выполнил три задания контрольной работы.

 Для получения эффективных результатов  обучения имеет смысл использовать на занятиях компьютер и интерактивную доску, которые помогут как в визуализации результатов работы с данными, так и при решении задач. Это позволит учащимся на практике использовать компьютер при оперировании пространственными объектами в 11 классе.

Тематическое планирование построено так,  что ученики на элективном курсе углубляют  знания, полученные на уроках геометрии, и получают умения решать задачи повышенной сложности. Элективный курс рассчитан на учащихся  10-11 класса, изучающих математику, как на профильном уровне, так и при универсальном обучении.

«Координатный метод решения стереометрических задач» рассчитан на 17ч.

                       Тематическое планирование курса

Содержание программы

Методические рекомендации 

Знакомство учащихся с целями и задачами курса.  На первом занятии учащимся предлагается ряд задач повышенной сложности, решение которых потребует от них знания многих тем элективного курса. Класс делится на группы, каждая группа получает задачу. Защита задач проходит на последнем занятии. По желанию учащиеся могут приготовить реферат, проект, провести исследовательскую работу. Дидактический материал  дается ученикам после изучения каждой темы.

Представленный курс содержит 10 основных тем

             1. Декартовы  координаты  в пространстве. Нахождение координат точек и длин векторов в пространстве – 1ч.

Проводится этот урок сначала в форме лекции – повторение основных ключевых моментов: декартовы координаты в пространстве и понятия, связанные с ними (координаты вектора, длина вектора, расстояние между точками, середина отрезка, параллельный перенос). На этом уроке учитель знакомит учеников  с планом, задачами и целями работы. Даются задачи, решение которых будет рассмотрено на последнем занятии, а также список литературы и электронных адресов информации по теме.

            2 .Составление матрицы и нахождение определителей -  2ч.

Данный теоретический материал является частью высшей алгебры. На занятиях рассматриваются основные формулы и решаются задания по нахождению определителей.

            3. Уравнение плоскости и векторы нормали – 2ч.

Эта тема является основой для решения задач по стереометрии координатным методом. Задачи, решаемые здесь, ставят вопросы, которые будут рассмотрены в следующих темах.

   4. Нахождение угла между  прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями – 6ч.

На этих занятиях ребята не только используют изученные формулы для  нахождения углов в многогранниках, но и готовятся к ЕГЭ, выполняя задания С2. Необходимо использовать презентации, т. к. они помогут в выборе координатного пространства и правильного нахождения координат точек.

   5. Нахождение расстояния между точкой и плоскостью, между прямыми,  плоскостями в пространстве - 3ч.

Немаловажное значение на этих уроках отводится нахождению расстояний от середины ребер, от вершин, от центра окружности, что значительно облегчит в дальнейшем решение более сложных задач. Благодаря работе с интерактивной доской и компьютером, ученики наглядно увидят расположение элементов фигур в пространстве.

6. Подведение итогов -  2ч.

Заключительные уроки содержат достаточное количество геометрических задач, часть из которых имеет сложность уровня С2.

После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:

а)  уметь составлять уравнение плоскости;

б)  уметь применять формулы для нахождения углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями;

в)  уметь находить расстояния между прямыми, между прямой и плоскостью  в многогранниках;

г)   уметь решать задачи с использованием изученных формул;

д) уметь находить дополнительный материал по изучаемой теме во всех допустимых средствах информации; уметь предоставлять результаты своих находок по окончании курса.

Данный элективный курс рассчитан на выпускников, которые желают углубить свои знания по математике, качественно подготовиться к сдаче ЕГЭ. Но он также и полезен ребятам, которые будут в дальнейшем работать по специальности, связанной с математикой.

                              Список литературы

1. Погорелов А. В.     « Геометрия  10-11» -  Просвещение   2005 г.

1. Гельфанд  И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А.  « Метод координат», МЦНМО   2009 г.

1. Мельникова Н. Б., Литвиненко В. Н., Безрукова Г. К. «Геометрия:  векторы и координаты в пространстве» - Просвещение  2007 г.

1. Вольфсон  Б. И., Резницкий Л. И. «Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9: учимся решать задачи» - Легион  2011 г.

1. Малкова  А. Г. «Подготовка к ЕГЭ по математике» - Материалы сайта EGE – Study. ru.

1. Семенов А. Л., Ященко И. В. «ЕГЭ. Математика – 2013 г. Типовые экзаменационные варианты».

1. Смоляков А. Н., Сидельников В. И. «ЕГЭ по математике: задания группы С» - Москва -2013 г.

Практическая часть учебного курса

Угол между прямыми а и b

Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 1800).  

1) Выбираем любые вектора AB  и CD, имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
2) Определяем координаты векторов AB(x1;y1;z1)  и CD(x2;y2;z2)  по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
3) Подставляем найденные координаты в формулу:

COS(AB,CD)=  COS(AB,CD)   =     

 Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Угол между прямыми в многограннике – это угол между векторами п1 и п2 , которые параллельны данным прямым. Пусть на одной прямой заданы точки А ( а1 , b1, c1 ) ,                     В ( а2 , b2, c2 ),  а на другой – С ( а3 , b3, c3 ),  D( а4 , b4, c4 ).  Тогда векторы имеют координаты:

 п1 ( х1 = а2 - а1, у1 = b2 - b1 ,z1 = c2- c1),  п2( х2 = а4 - а3, у2 = b4 –b3, z2  = c4 - c3). Значение угла вычисляется по формуле, известной как скалярное произведение векторов.

Задача.  В кубе АВСDА1В1С1D1  М и N – середины ребер А1D1 и ВВ1. Найдите угол между прямой МN и диагональю ВD1. 

Решение:

Введем пространственную  систему координат.

          Находим координаты точек  В, D1, М , N : B(1;1;0) , D1(0;0;1) , M(0,5;0;1) , N(1;1;0,5).

          Координаты  векторов BD1(-1;-1;1) ,  MN (0,5;1;-0,5).

          Искомый угол находится по формуле cos a :

           Ответ:  .

Уравнение плоскости в пространстве

Точки, удовлетворяющие равенству образуют плоскость с нормалью . Коэффициент отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью . Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль, используя матрицу и определители, а затем подставить координаты найденной нормали в уравнение  

 Угол между прямой и плоскостью

Допустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора AB(x1;y1;z1)  и нормали n(x2;y2;z2).    
Угол Ψ между прямой и плоскостью вычисляется по следующей формуле:

sinΨ =  COS(n,AB)   =     

Чтобы составить уравнение плоскости, которой принадлежат данные точки, необходимо воспользоваться  определителями матрицы и следующей формулой:

    =     -      +     

Задача.  В правильной треугольной пирамиде SABC  сторона основания равна 8 и SC =17   . Найдите tgугла , образованного плоскостью основания и прямой АО , где О – точка пересечения медиан грани ABC.

Решение:

Введем пространственную  систему координат.

          Находим координаты точек  В,А,C,O : B(8;0;0) А(0;0;0) ,C(4;12;0), О(4;4;15).

                        Координаты  вектора  n = АО (;4;15)

                        Составляем уравнение плоскости  основания :

    =  -     +    

          Искомый угол находится по формуле sin a :                              

    ;    tg ;

           Ответ:  .

 Угол между плоскостями        

Пусть n1(x1;y1;z1)  и n2(x2;y2;z2)   — две любые нормали к данным плоскостям.  

Если в задаче необходимо найти угол между плоскостями , то координаты  векторов нормали  составляются  по матрицам , в которых берутся координаты соответствующих точек. После того  как составлены уравнения плоскостей , значение угла можно найти по формуле  .

Тогда косинус угла  между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:

 COS a =         COS(n1  , n2)   =     

Задача.  В кубе  АВСDА1В1С1D1 найдите угол между плоскостью А1ВD и плоскостью, проходящей через середины его ребер АВ, ВВ1 , В1С1, С1D1, D1D, DА.

Решение:

Введем пространственную  систему координат.

          Находим координаты точек необходимых для составления матриц и нахождения        уравнения плоскостей: B(1;1;0) , А1(1;0;1) , D(0;0;0) ,К(0;0;0,5) , М(0,5;0;0),N(1;0,5;0)

                         Составляем уравнение плоскости  А1ВD

      =  x(-1) – y(-1) + z(1)  = - x + y + z.  

                       Составляем уравнение плоскости  KMN

     = x(-0,25) -  y(-0,25) +  z(-0,25) = -0,25x  + 0,25y - 0,25z.

Тогда  n1 (-1; 1; 1)  , n2(-0,25; 0,25;-0,25).

 Следовательно ,

COS a = =  =

 = = =,      tg ;

           Ответ: .

Расстояние от точки до плоскости

Для вычисления расстояния от точки  до плоскости , заданной уравнением  можно использовать следующую формулу:

В знаменателе стоит длина нормали, а числителе — значение выражения из левой части уравнения плоскости в точке 

Задача.  В правильной шестиугольной  пирамиде SABCEF ,  все ребра которой  равны 1,   найдите расстояние от точки Е  до плоскости SDА. 

Решение:

Введем пространственную  систему координат.

          Находим координаты точек  S,D,E,A: А(0;0;0) , S (;;) , Е(0;;0) D(1;0). Составим уравнение плоскости SDA

     = -  -   ) +   x +   

После упрощения уравнение принимает вид:   x +   = 0

         Ответ:   =  

Расстояние от точки до прямой

 Для вычисления расстояния от точки  К (x1;y1;z1)  до прямой а необходимо на ней найти координаты вектора n (А; В; С), которые составлены из координат двух точек прямой . Одна из этих точек, например N (x2;y2;z2) , используется в формуле, по которой находится искомое расстояние.

d =

Задача.  В правильной шестиугольной  призме ABCDEF A 1B 1C 1D1 E 1F 1 ,  все ребра которой  равны 1,   найдите расстояние от точки В  до прямой  А1F 1.

Решение:

Введем пространственную  систему координат. Находим координаты точек А1 ,F1,В : А 1(0;0;1)  ,F1 (;;) , В(1;;0).

Подставляя координаты в формулу можно вычислить расстояние от точки В  до прямой  А1F 1.

d  =                 Ответ:  .

 Расстояние между прямыми 

 Для вычисления расстояния между двумя прямыми а и в  необходимо иметь координаты векторов а и в , которые лежат на этих прямых. Пусть точка А (x1;y1;z1)  принадлежит прямой а , точка В (x2;y2;z2) принадлежит прямой в. Вектор а() , вектор в() .И тогда расстояние между прямыми находятся по формуле :

  d =

Задача.  В правильной четырехугольной  пирамиде SABCD ,  все ребра которой  равны 1,   найдите расстояние между прямыми ВD и АS.

Решение:

Введем пространственную  систему координат. Находим координаты точек А ,D,В, Н, S: А (0;0;0), В(1;; 0) , Н (;;  S (;; , D (0;1;0). ВD( -1; 1; 0), АS(;;

Подставляя координаты в формулу можно вычислить искомое  расстояние.

  d =  = =          Ответ:  .

Дидактические материалы

1. В правильном тетраэдре SABC точки M и N  – середины ребер AB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AS и MN.

       Ответ:    45˚

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 – M и  N середины ребер D1C1 и AA1 соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью ABCD.

 Ответ:     

1. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3 , а боковые ребра равны 4. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что AE : EA1 = 1 : 3 . Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

Ответ:     

1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер AB и BC и вершину S . Найдите расстояние от плоскости этого сечения до середины высоты пирамиды, если все ребра пирамиды равны 8.

Ответ:     2 

1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой C1F.

      Ответ:    

1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и A1C.

Ответ: