Лобачевский и его геометрия
материал по геометрии по теме

"Я беру на себя смелость утверждать, что легче было двинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение".

        В Каган 

Люди занимались геометрией с глубокой древности, но в виде стройной логической системы она впервые была изложена только в III в. до Рождества Христова замечательным греческим математиком Евклидом. В основе всей геометрии Евклида лежало несколько простых первоначальных утверждений, которые принимались за истинные без доказательств. Эти утверждения, так называемые аксиомы, описывали свойства основных понятий и казались поначалу настолько очевидными, что не вызывали сомнений. Из этих аксиом путем доказательств выводились более сложные утверждения, из тех, при необходимости, выводились еще более сложные и таким образом строилось все здание геометрии. Когда в последующих веках математика обрела вид строгой науки, были сделаны многочисленные попытки доказать евклидовы аксиомы. Особый интерес математиков всегда вызывала пятая аксиома о параллельных прямых, которая гласит: в данной плоскости к данной прямой можно через данную, не лежащую на этой прямой, точку провести только одну параллельную прямую. На всем протяжении истории геометрии — от древности до первой четверти XIX в. — имели место попытки доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии.

С таких попыток начал и Лобачевский. Чтобы доказать пятую аксиому, он принял противоположное этой аксиоме допущение, что к данной прямой через данную точку можно провести бесконечное множество параллельных прямых. Лобачевский пытался привести это допущение к противоречию с другими аксиомами Евклида, однако, по мере того как он развертывал из сделанного им допущения все более и более длинную цепь следствий, ему становилось ясным, что никакого противоречия не только не получается, но и не может получиться. Действительно, пусть дана некая прямая и точка, лежащая вне ее. Предположим, что из точки к этой прямой опущен перпендикуляр. В каком же случае прямая, проведенная через конец данного перпендикуляра, будет параллельна данной прямой? Если следовать евклидовой геометрии, это возможно только в том случае, если:
а) она лежит в той же плоскости,
б) угол между ней и перпендикуляром равен 90°.
Предположим теперь, что этот угол не равен 90°, а отличается от него на какую-то величину?
В этом случае с точки зрения евклидовой геометрии данные прямые не будут параллельны и должны пересечься. Причем точка пересечения будет тем ближе от перпендикуляра, чем больше и чем короче его длина. Если же бесконечно мало (то есть величина ее стремится к нулю), а длина перпендикуляра, наоборот, бесконечно велика, то точка пересечения переместится в бесконечность. Другими словами, бесконечно сближаясь, рассматриваемые нами прямые все же никогда не пересекутся. Очевидно, что таких прямых (каждой из которых соответствует свое значение) через данную точку можно провести сколь угодно много. 
Итак, вместо противоречия Лобачевский получил хоть и своеобразную, но логически совершенно стройную и безупречную систему положений, обладающую тем же логическим совершенством, что и обычная евклидова геометрия. Эта система положений и составила так называемую неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского. 

Как показали позднейшие исследования, геометрия Лобачевского совершенно истинна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло). Гиперболический параболоид играет в геометрии Лобачевского ту же роль, что плоскость в геометрии Евклида. (Например, отрезком здесь называется дуга, длина которой определяет кратчайшее расстояние между двумя точками поверхности.) 

Выясним, что же изменилось  в результате в геометрии,

Привычные геометрические представления, законы обычной геометрии здесь заменены новыми.

Сам Лобачевский совершенно верно утверждал, что различия между его геометрией и геометрией Евклида кроются в понимании самой природы пространства. В евклидовой геометрии пространству отводится роль беспредельной и нейтральной протяженности, вместилища, в которое погружены тела. Однако Лобачевский был уверен, что наше представление о «плоском» пространстве — не более чем дань традиции, никогда не проверявшаяся опытным путем. На самом деле физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в бесконечно малых областях его можно считать плоским, евклидовым. Мерой отличия любого пространства от евклидова является его кривизна. В наших земных пределах этой кривизной можно пренебречь и пользоваться положениями и теоремами евклидовой геометрии. Однако при измерении беспредельных космических расстояний пренебрежение кривизной пространства может привести к серьезным ошибкам.

Идеи Лобачевского были настолько революционными и до того опередили свой век, что не могли быть понятыми даже крупными математиками того времени. Поэтому новая геометрия не была признана современниками, была встречена с полным равнодушием и даже с иронией. Ее многие считали сплошной фантазией, а ее автора чудаком или даже невеждой. Одинокий Лобачевский не отказался от своих идей. Он твердо был убежден в логической правильности неевклидовой геометрии. Чтобы можно было это доказать, Лобачевский предпринимал астрологические наблюдения, и производил измерения углов космических треугольников, стороны которых измерялись расстояниями от Земли до небесных тел, в надежде установить, равна ли сумма углов треугольника 2d или она меньше двух прямых углов.

Геометрии Евклида, Лобачевского и Римана являются в свою очередь частными случаями общей геометрии Римана для многомерных искривлённых пространств.

Современники Лобачевского, потом и Римана отказывались принимать новую геометрию. Но в начале 20 века, как гром среди ясного неба Эйнштейн создаёт теорию относительности, частным случаем которой является теория тяготения Ньютона. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, описываемая в теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.

Следствием теории относительности явился в частности тот факт, что  как мы думали трёхмерное евклидово пространство на самом деле таковым не является. А живём мы в четырёхмерном искривлённом пространстве-времени, которое описывается общей геометрией Римана. Тяготение на самом деле результат искривления пространства вблизи  массивных тел. Следствием этого является замедление времени вблизи тяжелых тел, кратчайшее расстояние между точками не прямая, а некоторая кривая и др.

Известен такой случай: во время полного солнечного затмения ученые смогли зафиксировать искривление луча света от далекой звезды, лежащей на одной прямой Земля – Луна – Солнце, хотя видеть эту звезду были не должны по классической физике Ньютона и геометрии Евклида.

Установлено достоверно замедление времени при скоростях, близких к скорости света. Параметры орбиты Меркурия, самой близкой к Солнцу планеты не укладывались в теорию тяготения Ньютона, а теория относительности смогла это объяснить искривлением пространства вблизи Солнца.

Кривизна пространства проявляется в больших масштабах и вблизи массивных космических тел, а в повседневной жизни на нашей планете мы можем с успехом пользоваться геометрией Евклида и механикой Ньютона с большой точностью, так как нелинейные поправки на кривизну пространства ничтожно малы.

Ученые Земли уже полвека пытаются разрешить загадку, в каком мире мы живем? Какой геометрией он описывается? От этого знания зависит судьба всей вселенной. Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится сжатием, то есть пространство будет искривлено таким образом, что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского

История последовательного расширения геометрии, идущая от пятого постулата Эвклида до геометрии Лобачевского и дальше к Риману и Эйнштейну, является серьезным предостережением тем, кто, занимаясь вопросами космологии, слишком легко экстраполирует то, что он знает о «здесь» и «сейчас», на то, что лежит и происходит «там» и «тогда». Вряд ли стоит, изучив геометрию собственной комнаты, переносить  ее выводы на всю вселенную  вообще.

Сравнение различных этапов развития геометрии:

Практическое применение геометрии Лобачевского.

В окружающей нас среде свойства физического пространства приблизительно таковы, какими мы их знаем из евклидовой геометрии, но для всего пространства, для мира звёзд, для вселенной в целом, они иные, неевклидовы. Геометрия Лобачевского описывает искривленное пространство. Геометрия Лобачевского нашла свою реализацию в теории относительности Альберта Эйнштейна. Например, Земля создает вокруг себя искривленное пространство – время, которое называют полем тяготения. Геометрия искривленных пространств задается не аксиома как у Евклида, а способом определения расстояния между близкими точками, линейным элементом ds. Изменяются метрические коэффициенты – изменяется ds. Лобачевский проводил астрономические эксперименты. Он измерял сумму углов треугольника, вершинами которого были астрономическая обсерватория и две далёкие звезды. Но только учитывая эффекты теории относительности можно было правильно поставить эксперименты. В 1910 году хорватский математик Владимир Варичак (1856 - 1942) указал на аналогию между сложением релятивистских скоростей и сложением отрезков на плоскости Лобачевского. Более глубокое исследование выполнил российский геометр и механик А.П.Котельников (1865 – 1944). В 1923 году он ввел понятие пространство скоростей релятивистской механики, оказавшееся точнейшей реализацией геометрии Лобачевского. Пока скорости малы по сравнению со скоростью света, векторы скоростей складываются как обычные векторы в евклидовом пространстве. Но в области больших скоростей начинается странная арифметика: «любая скорость» + «скорость света» = «скорость света». Реализуется такая арифметика именно в геометрии Лобачевского. Следующий шаг сделал российский физик Н.А. Черников (родился в 1928г.), который применил геометрию Лобачевского в физике высоких энергий. Он показал, что формулы длины окружности, площади круга, дефекта углов треугольника в геометрии Лобачевского точно соответствуют выражениям для импульса, кинетической энергии релятивистской частицы и формула E = mc2 для дефекта массы в частной теории относительности. Особенно эффективно пространство скоростей работает при решении задач о столкновениях частиц.

В расчетах современных синхрофазотронов используется формулы геометрии Лобачевского. Синхрофазотрон – это ускоритель заряженных частиц. Простейший ускоритель электронов есть в каждом доме. Это телевизор, вернее его основная деталь – электронно-лучевая трубка или кинескоп. В телевизионной трубке электроны ускоряются до энергии 20 кэВ 9 (килоэлектронвольт). Для решения исследовательских задач такой энергии не хватит, поэтому строят большие ускорители. Современный ускоритель – это трубка, из которой выкачан воздух. В неё «выбрасывают» частицы и под воздействием магнитного поля они направляются к объекту исследования (это, как правило, атомы выбранного для опыта вещества). Крупнейший российский ускоритель У-70 построенный в институте физики высоких энергий (Московской область, г. Протвино) работает с 1967 года и ускоряет в 1,5 километров кольце протоны до энергии 76 ГэВ. Сегодня удалось «поймать» самые мелкие частицы, из которых состоит материя – кварки. Таким образом, «воображаемая геометрия», открытая в 19 веке замечательным русским учёным Н.И Лобачевским до сих пор сохраняет своё значение для науки и практики.

Заключение:  Заканчивая свою работу , я пришла к выводу, что жизнь Николая Ивановича Лобачевского может служить примером того, как добиваться поставленной цели. Современники не поняли и не приняли его идей. Оставшись в одиночестве он не отступил, продолжал свои исследования. Впоследствии его геометрия затронула умы многих учёных, было совершено много открытий. Геометрия Лобачевского способствовала и способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира. Изучение космического пространства, исследования в области высоких энергий и многое другое было бы невозможно без применения геометрии Лобачевского.

Заключение

Часто Лобачевского сравнивают с Коперником. Это сравнение действительно очень удачно:

1. гений обоих заключался в том, что они освобождали научную мысль от господства установившихся мнений.
2. современники  не  понимали и не принимали идеи ученых
3. в последствии новые открытия доказали справедливость  выдвинутых теорий
4. после такого рода открытий  горизонт человека расширился
5. это был переворот в науке

Жизнь Николая Ивановича Лобачевского может служить примером того, как добиваться поставленной цели. Оставшись в одиночестве он не отступил, продолжал свои исследования. Впоследствии его геометрия затронула умы многих учёных, было совершено много открытий. Геометрия Лобачевского способствовала и способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира. Изучение космического пространства, исследования в области высоких энергий и многое другое было бы невозможно без применения геометрии Лобачевского.

Содержание:

1. Введение-------------------------------------------------------------------------2-3
2. Достижения Колмогорова  в   математике---------------------------------4-6
3. Ученики Колмогорова А Н и его влияние на школьное математическое образование------------- ------------------------------------------------------  6-7                                          
4. Заключение---------------------------------------------------------------------8-9
5. Список литературы------------------------------------------------------------10