Презентации и ссылки, полезные к урокам геометрии в 10 классе
презентация к уроку по геометрии (10 класс) по теме

Слайд 1

Предмет стереометрия. Аксиомы стереометрии.

Слайд 3

Стерео метрия- это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Геометрия Планиметрия Простейшие фигуры: точка прямая Стереометрия Простейшие фигуры точка прямая плоскость

Слайд 4

Геометрия возникла из практических нужд человека

Слайд 6

Тела

Слайд 9

Аксиомы стереометрии. 1)Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей и точки, не принадлежащие ей.

Слайд 10

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна

Слайд 11

Аксиома 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Слайд 12

Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. М

Слайд 13

Теорема 1 (следствие 1) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна

Слайд 14

Теорема 2 (Следствие 2) Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна

Слайд 15

1) две пересекающиеся прямые; 2)прямая и не лежащая на ней точка; 3) три точки, не лежащие на одной прямой; 4)параллельные прямые. Способы задания плоскости:

Слайд 1

Аксиомы стереометрии и их следствия (продолжение0

Слайд 2

Самостоятельная работа 1 вариант 2 вариант Изобразите точку М, принадлежащую прямой b , и точки К, L , не принадлежащие прямой b . Сделайте соответствующие записи. Изобразите точку С, принадлежащую плоскости  , и точку D , ей не принадлежащую. Сделайте соответствующие записи.

Слайд 3

- Изобразите прямую k , лежащую в плоскости  . Сделайте соответствующую запись. - Изобразите прямую а, пересекающую плоскость  . Сделайте соответствующую запись.

Слайд 4

Математический диктант 1). Сформулируйте аксиомы стереометрии: Аксиома 1. __________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Аксиома 2. __________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Аксиома 3. __________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2). Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение: а). Для любой прямой существуют точки, принадлежащие ей, и ______________ ____________________________________________________________________ б). Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом ____________________________________________________________________ в). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом _________ ____________________________________________________________________ г). Если А  а, а   , то А …  . д). Если А   , В   , С  АВ, то С …  .

Слайд 5

Задача 1. Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы куба? Заштрихуйте соответствующие плоскостям грани куба. ● ● ●

Слайд 6

Задача 2 . Верно ли выполнено на рисунке следующее задание: «Изобразите плоскость  , проходящую через точку С, не принадлежащую плоскости  и пересекающую плоскость  в точках А и В, и линию пересечения этих плоскостей». При необходимости исправьте рисунок.   • С А • • В

Слайд 7

Задача 3 . Укажите ошибки на рисунках.      А В С А В С D

Слайд 8

Задача 4. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D ? Решение: ● ● ● ● А В С D  

Слайд 9

Кроссворд 1 2 2 3 3 4 4 5 7 5 6 6 7 8

Слайд 1

a с Три случая взаимного расположения прямой и плоскости II b К Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Слайд 2

Параллельность прямой и плоскости Геометрия 10

Слайд 3

а a II Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода – они параллельны плоскости земли.

Слайд 4

а

Слайд 5

а b

Слайд 6

А В С D D 1 С 1 В 1 А 1 Назовите прямые, параллельные данной плоскости

Слайд 7

Дано: a II b , b Доказать: a II a b Теорема Если прямая не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости. Применим способ от противного Предположим, что прямая а пересекает плоскость . Тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает . Это противоречит условию теоремы: Значит, наше предположение не верно, II

Слайд 8

A В С D Плоскость проходит через основание А D трапеции АВС D . Точки Е и F - середины отрезков АВ и С D соответственно. Докажите, что EF II Е F

Слайд 9

A В С Плоскость проходит через сторону АС треугольника АВС. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE II D E

Слайд 10

A В D А DNP – трапеция, А DB – треугольник. Докажите, что Р N II (ABD) Р N

Слайд 11

Р DB – треугольник. А и N – середины сторон В D и ВР соответственно. Докажите, что Р D II D Р В A N

Слайд 12

Плоскость проходит через середины боковых сторон АВ и С D трапеции АВС D – точки М и N . A D С M N Докажите, что А D II . Найдите ВС, если А D= 10 см, MN= 8 см. B

Слайд 13

ABCD – параллелограмм. ВМ= NC . Через точки М и N ВМ= NC . Через точки М и N проходит плоскость. A D С C Докажите, что А D II B M N

Слайд 14

A В С D E Плоскость проходит через сторону АС треугольника АВС. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE II  A В С D Е F Плоскость проходит через основание А D трапеции АВС D . Точки Е и F - середины отрезков АВ и С D соответственно. Докажите, что EF II 

Слайд 15

Отрезок АВ пересекает плоскость , точка С – середина АВ. Через точки А, В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А 1 , В 1 и С 1 . Найдите СС 1 , если АА 1 = ВВ 1 = А С Проверка А 1 С 1 В 1 В О

Слайд 1

Урок 2 Некоторые следствия из аксиом

Слайд 2

А В С Д Р Е К М А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 Q P R К М 2) №1 (в,г); 2(б,д). Назовите по рисунку: в) точки, лежащие в плоскостях АДВ и ДВС; г) прямые по которым пересекаются плоскости АВС и ДСВ, АВД и СДА, РДС и АВС. б) плоскости, в которых лежит прямая АА 1 ; д) точки пересечения прямых МК и ДС, В 1 С 1 и ВР, С 1 М и ДС. Проверка домашнего задания: 1) Сформулируйте аксиомы стереометрии и оформите рисунки на доске.

Слайд 3

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна. Дано: а, М ¢ а Доказать: (а, М) с α α - единственная а М α Доказательство : 1 . Р, О с а; { Р,О,М } ¢ а Р О По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость . По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α 2 . Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная. Ч.т.д. Некоторые следствия из аксиом:

Слайд 4

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Дано: а ∩ b Доказать: 1. ( а∩ b ) с α 2. α - единственная а b М Н α Доказательство: 1.Через а и Н а, Н b проходит плоскость α . (М , Н) α , (М,Н) b , значит по А2 все точки b принадлежат плоскости. 2. Плоскость проходит через а и b и она единственная, т.к. любая плоскость, проходящая через прямые а и b , проходит и через Н, значит α – единственная.

Слайд 5

Решить задачу № 6 А В С α Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости. Доказательство: 1. (А,В,С) α , значит по А1 через А,В,С проходит единственная плоскость. 2. Две точки каждого отрезка лежат в плоскости, значит по А2 все точки каждого из отрезков лежат в плоскости α . 3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в плоскости α 1 случай. А В С α 2 случай. Доказательство: Так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 все точки этой прямой лежат в плоскости.

Слайд 6

Задача. А В С Д М О АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, Д, О лежат в плоскости α . Определить и обосновать: Лежат ли в плоскости α точки В и С? Лежит ли в плоскости МОВ точка Д? Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АДО. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60 º . Предложите различные способы вычисления площади ромба.

Слайд 7

А В С Д 60 º 4 4 4 4 S АВСД = АВ · АД · sinA S АВСД = (ВД · АС):2 Формулы для вычисления площади ромба: ∆ АВД = ∆ВСД (по трем сторонам), значит S АВД = S ВСД .

Слайд 8

Домашнее задание: 1. Прочитать пункты 2; 3 на стр. 4 – 7 2. Выучить теоремы 1, 2 ( с доказательством); повторить аксиомы А1 – А3 3. Решить задачу №8 ( с объяснением ответов)

Слайд 1

Правильные Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11" Савченко Е.М., учитель математики, МОУ гимназия № , г. Полярные Зори, Мурманской обл. многогранники

Слайд 2

Симметрия относительно точки Симметрия относительно прямой А А 1 О Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА 1 . Точка О считается симметричной самой себе. А А 1 a Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе. a a a

Слайд 3

Симметрия относительно плоскости А Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если плоскость проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе. А 1 О

Слайд 4

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей симметрии, плоскостей симметрии). О А Центр симметрии О А Плоскость симметрии О А a А 1 Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Центр, ось, плоскость симметрии фигуры. А 1 Ось симметрии А 1

Слайд 5

С симметрией мы часто встречаемся в архитектуре.

Слайд 6

Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют ось или плоскость симметрии. В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника. Апатит Золото

Слайд 7

Кальцит (двойник) Поваренная соль Лед

Слайд 8

Альмандин Ставролит (двойник)

Слайд 9

Правильный тетраэдр составлен их четырех равносторонних треугольников и в каждой вершине сходятся 3 ребра. 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 0 Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится равное число ребер. В каждом правильном многограннике сумма числа и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2. грани вершины ребра Г + В = Р + 2 60  + 60  + 60  < 360  60 

Слайд 10

Мы различаем правильный тетраэдр и правильную пирамиду. В отличие от правильного тетраэдра, все ребра которого равны, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но они могут быть не равны ребрам основания пирамиды. «тетра» - 4 Названия многогранников пришли из Древней Греции и в них указывается число граней.

Слайд 11

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Осей симметрии – 3. Плоскостей симметрии – 6. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость, проходящая через ребро перпендикулярно к противоположному ребру, - ось симметрии. Элементы симметрии тетраэдра.

Слайд 12

Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 0 . 6 граней, 8 вершин и 12 ребер «гекса» - 6 Куб, гексаэдр. < 360  Куб имеет только один центр симметрии – точку пересечения его диагоналей. Осей симметрии – 9. Элементы симметрии куба.

Слайд 13

Куб имеет 9 плоскостей симметрии.

Слайд 14

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 0 . «окта» - 8 Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер < 360 

Слайд 15

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти правильных треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 0 . «икоса» - 20 Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер < 360 

Слайд 16

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных шестиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 0 . «додека» - 12 Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. < 360 

Слайд 17

Первым свойства правильных многогранников описал древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называют также телами Платона. Платон 428 – 348 г. до н.э. Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Слайд 18

огонь воздух вода земля Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.

Слайд 19

вселенная Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Слайд 20

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, художники. Их поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Слайд 21

Архимед 287 – 212 гг. до н.э. Это многогранники, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения. усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр, усечённый икосаэдр. Архимед описал полуправильные многогранники

Слайд 22

Усеченный тетраэдр Выполняя простейшие сечения, мы можем получить необычные многогранники. Усеченный тетраэдр получится, если у тетраэдра срезать его четыре вершины.

Слайд 23

Усеченный куб Срезав вершины получим новые грани – треугольники. А из граней куба получатся грани – восьмиугольники. Усеченный куб получится, если у куба срезать все его восемь вершин.

Слайд 24

Кубооктаэдр Можно срезать вершины иначе. Получим кубооктаэдр. У кубооктаэдра можно снова срезать все его вершины получим усеченный кубооктаэдр.

Слайд 25

Усеченный октаэдр Срежем у октаэдра все его восемь вершин. Срезав вершины получим новые грани – квадраты. А из граней октаэдра получатся грани – шестиугольники.

Слайд 26

Можно срезать вершины иначе и получим новый полуправильный многогранник.

Слайд 27

Икосододекаэдр Ромбоусеченный икосододекаэдр Срезав вершины икосаэдра, получим новые грани пятиугольники, а грани икосаэдра превратятся в шестиугольники. Усеченный икосаэдр (футбольный мяч) Срезав вершины иначе получим другой многогранник, грани которого – пятиугольники и треугольники.

Слайд 28

Усеченный додекаэдр С додекаэдром работы больше. Надо срезать двадцать вершин. Грани усеченного додекаэдра – треугольники и десятиугольники.

Слайд 29

Курносый куб Курносый додекаэдр Ромбоикосододекаэдр Ромбокубооктаэдр

Слайд 30

Литература. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. «Детская энциклопедия», том 2. Издательство «Просвещение», Москва 1965. Хотите узнать больше? Посетите сайты. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%BE http://sharovaeva.narod.ru/ http://pirog13.narod.ru/new_page_5.htm http://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/077/253.htm http://mathworld.wolfram.com/topics/PolyhedronNets.html