Мир многогранников
методическая разработка по геометрии (10 класс) на тему

Ягудина  Зимфира  Раисовна,  учитель  математики

 МБОУ  Новозареченская СОШ

Образовательные цели:  

-  расширить представления учащихся о многогранниках, показать  их  применение  в  различных областях науки, в природе.

Развивающие цели:

- продолжить развитие познавательного интереса учащихся к изучению геометрии;

-  продолжить развитие элементов творческой деятельности через вовлечение школьников в самостоятельную работу частично - поискового и исследовательского характера.

Воспитывающие цели:

- продолжить формирование научного мировоззрения с помощью демонстрации единства представлений о правильных много-гранниках в геометрии, живой природе и искусстве;

-  осуществление эстетического воспитания через показ красоты

правильных многогранников в окружающем нас мире;

- содействовать проявлению дисциплинированности и высокой работоспособности в процессе самостоятельной работы учащихся.

ФОРМА  ПРОВЕДЕНИЯ :

 групповая  (ученики  заранее  делятся  на  три  группы: «историки», «математики», «биологи»; все  три  группы  пишут  рефераты  по  данным  темам

-«историки»  связывают  раздел  «Многогранники»  с  историей  математики;  

-«математики»  исследуют  тему  с  математической  точки зрения;

-«биологи»  ищут  связи  многогранников  с  биологией, а  также  роль  и  место  многогранников  в природе.

ОБОРУДОВАНИЕ:

Модели  правильных  многогранников (в  том  числе  каркасные), таблицы,  рисунки, портреты ученых-математиков, компьютер, проектор, экран.

УЧИТЕЛЬ.   Ни  одни  геометрические  тела  не  обладают  таким совершенством  и  красотой, как  правильные  многогранники. «Правильных  многогранников  вызывающе  мало»,  но  этот  весьма  скромный  по  численности  отряд  сумел  пробраться  в  самые  глубины  различных  наук.

    Сегодня  мы  поговорим  о многогранниках, а  точнее  о  том, где  встречаются  многогранники  в  природе. А также  услышим  мнения  учёных  древности  об использовании  многогранников. А  теперь слово  им.                                

«МАТЕМАТИКИ»1.ppt

     МНОГОГРАННИКОМ     называется  тело, граница  которого  является объ-  единением  конечного  числа  многоугольников. Ни  одни  геометрические  тела  не  обладают  таким совершенством  и  красотой, как  правильные  многогранники. «Правильных  многогранников  вызывающе  мало»,  но  этот  весьма  скромный  по  численности  отряд  сумел  пробраться  в  самые  глубины  различных  наук.

    Сегодня  мы  поговорим  о многогранниках, а  точнее  о  том, где  встречаются  многогранники  в  природе. А также  услышим  мнения  учёных  древности  об использовании  многогранников. А  теперь слово  им.

   Правильным  называется  выпуклый  многогранник, гранями  которого  являются  правильные  многоугольники  с  одним  и  тем  же  числом  сторон  и  в  каждой  вершине  которого  сходится  одно  и  тоже  число  ребёр. Оказы-вается, что  существует  только   пять  типов  правильных  многогранников: тет-раэдр, куб, октаэдр, икосаэдр  и  додекаэдр. Изучением  правильных  много-гранников  занимались  Пифагор  и  его  ученики. Их  поражала  красота, совер-шенство, гармония  этих  фигур. Пифагорейцы  считали  правильные  много-гранники  божественными  фигурами  и использовали  в  своих  философских  сочинениях:  первоосновам  бытия  - огню, земле, воздуху, воде  придавалась  форма  соответственно  тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра. Вселенная  имела  форму  додекаэдра. Позже  учение   пифагорейцев  о  правильных  многогранниках изложил  в  своих  трудах  другой  древнегреческий  учёный, философ – идеалист  Платон. С  тех пор  многогранники  стали  называться  Платоновыми.  Названия  многогранников  связаны  с  числом  их  граней.

Тетраэдр  имеет 4 грани, в  переводе  с  греческого  «тетра» - четыре, «эдрон» - грань

Гексаэдр (куб)  имеет  6  граней , «гекса» - шесть

Октаэдр – восьмигранник, «окто» - восемь

Додекаэдр – двенадцатигранник, «додека» - двенадцать

Икосаэдр  имеет  20  граней, «икоси»  - двадцать.

Не существует правильного  многогранника, гранями  которого  являются  пра-вильные  шестиугольники, семиугольники  и  вообще,  n - угольники при n ≥6.

 ТЕТРАЭДР составлен  из  четырех    правильных треугольников, каждая  вершина  является  вершиной   трёх  треугольников, а  сумма  плоских  углов при  каждой  вершине  равна   1800; таким  образом,  тетраэдр  имеет  4  грани, 4  вершины  и  6  ребёр.

 ОКТАЭДР  составлен  из  восьми  правильных треугольников, каждая  вершина  является  вершиной   четырёх  треугольников, а  сумма  плоских  углов при  каждой  вершине  равна   2400; таким  образом, октаэдр  имеет  8  граней, 6  вершин  и  12  ребёр.

 ИКОСАЭДР составлен  из  двадцати  правильных треугольников, каждая  вершина  является  вершиной   пяти  треугольников, а  сумма  плоских  углов при  каждой  вершине  равна   3000; таким  образом,  икосаэдр  имеет  20  граней, 12  вершин  и  30  ребёр.

 КУБ  составлен  из  шести  квадратов, каждая  вершина  является  вершиной   трёх  квадратов, а  сумма  плоских  углов при  каждой  вершине  равна   2700; таким  образом, куб  имеет  6 граней, 8  вершин  и  12  ребёр    

 ДОДЕКАЭДР  составлен  из  двенадцати  правильных  пятиугольников, каждая  его  вершина  является  вершиной   трёх  пятиугольников, а  сумма  плоских  углов при  каждой  вершине  равна   3240; таким  образом,  додекаэдр  имеет  12  граней, 20  вершин  и  30  ребёр.

«ИСТОРИКИ» 

  2.ppt Интерес к многогранникам человек проявляет на протяжении всей своей сознательной жизни - и малым ребенком, играющим деревянными кубиками, и зрелым математиком. Пчёлы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) уходит вглубь веков. Пять правильных тел изучал Театет, Платон, Евклид, Гипсикл, Папп. Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. (Стихиями натурфилософы называли вещества, из которых путем сгущения и разряжения, охлаждения и нагревания образуются все тела). Платон считал,  что  мир  строится  из  четырёх  «стихий» - огня, земли, воздуха  и  воды, а  атомы  этих «стихий»   имеют  форму  четырёх  правильных  многогранников. Тетраэдр  олицетворял  ОГОНЬ, поскольку  его  вершина  устремлена  вверх, как  у  разгоревшегося  пламени; икосаэдр  - как  самый  обтекаемый  - ВОДУ; куб – самая  устойчивая  из  фигур – ЗЕМЛЮ, а  октаэдр – ВОЗДУХ. В  наше  время  эту  систему  можно  сравнивать  с  четырьмя  состояниями  вещества – твёрдым, жидким, газообразным  и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр – воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал весь мир и считался главной геометрической фигурой мироздания.

3.ppt Пифагорейцы считали, что огонь состоит из мельчайших (а потому невидимых) частиц, имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что поскольку среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее «острыми» многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью. Правильный тетраэдр представляет собой простейшее из пяти Платоновых тел. Он настолько прост, что был известен еще древним египтянам, а математики изучали геометрические свойства тетраэдра одновременно с изучением свойств куба. Тетраэдр обладает рациональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе. Наиболее неподвижной из стихий – земле – пифагорейцы ставили в соответствие самый устойчивый многогранник – куб. Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630) написал этюд «О снежинке», в котором высказывал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его, если позволительно так сказать, супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней». Он предположил, что существует связь между пятью правильными много-гранниками и шестью известными планетами Солнечной системы: Меркурием, Венерой, Землей, Марсом, Юпитером и Сатурном.

Кеплер считал, что расстояния между планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой небесных сфер, по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел.

Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы – додекаэдр.

Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.

Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера.

   Другим  выдающимся  вкладом  Кеплера  в  геометрию  многогранников  является  открытие  им двух звездных правильных тел: малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Всего их четыре; два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум нашел французский математик Луи Пуансон в 1809. Они назы-ваются телами Кеплера-Пуансо.

«МАТЕМАТИКИ»4.ppt

     По  поводу  замечания  И.Кеплера  в  математике   это  свойство  называется  двойственностью  (или  сопряжённостью). Если  центры  граней  куба  соединить  отрезками, то  получится  октаэдр, то  есть  вершины  октаэдра  станут  центрами  граней  куба.  И  обратно:  центры  граней  октаэдра  являются  вершинами  вписанного  куба. Двойственными  являются  также  икосаэдр  и  додекаэдр  Тетраэдр  двойственен  сам  себе.

«ИСТОРИКИ»5.ppt

С помощью простых и сложных  атомов  Платон попытался даже отразить взаимоотношения между стихиями:

                                                                  1 вода = 2 воздух + 1 огонь.

Это  «уравнение»  надо  понимать так: в  элементе  воды – икосаэдре – 20 граней, образованных  равносторонними треугольниками, которые, в свою очередь, составлены шестью прямоугольными треугольниками. Платон представлял атомы как плоские тела – прямоугольные треугольники двух видов: одни равнобедренные, другие с катетом, равным половине гипотенузы.

Следовательно, сложный атом икосаэдр состоит из 6 · 20 = 120 простых атомов – треугольников. В   элементе   воздуха   восемь  граней, а  значит,

 6 · 8 = 48 треугольников. Но по уравнению взято два элемента воздуха, поэтому общее число треугольников  48 · 2 = 96.  В  элементе  огня  четыре  грани, а   значит, 6 · 4 = 24 треугольника. Итак, равенство соблюдено – 20 граней и 120 треугольников: (8 · 2 + 4) граней и  (48 · 2 + 24) треугольников.

«МАТЕМАТИКИ» 6.ppt

    В  дополнение  к  известным  ещё  «Платоновым  телам», Архимед  ис-следовал  13  так  называемых  полуправильных  многогранников «архимедовы  тела». У  правильных  многогранников  все  грани  -  равные  правильные  мно-гоугольники, и  все  многогранные  углы  равны. У  полуправильных  много-гранников  многогранные  углы  тоже  равны, грани  же  являются  пра-вильными, но  не  равными  многоугольниками. Полуправильными  многогран-никами  являются:

усечённый   тетраэдр,  усечённый   октаэдр, усечённый   икосаэдр,  усечённый  куб, усечённый    додекаэдр,   кубооктаэдр,   икосододекаэдр,   усечённый  кубооктаэдр, усечённый  икосододекаэдр,  ромбокубооктаэдр,  ромбоикосаэдр, «курносый  куб»,   «курносый  додекаэдр».

«БИОЛОГИ»7.ppt

   Математики  говорили, пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека. Мы сейчас попытаемся  пояснить, почему пчелы строят соты именно так. Пчелы – удивительные создания. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников. Из правильных  многоугольников  с одинаковой  площадью наименьший периметр именно  у правильных  шестиугольников. Стало быть, мудрые пчелы экономят воск и время для постройки сот. На рисунке 1 изображена пчелиная ячейка в общем виде. На рисунке  2 можно увидеть, как соприкасаются ячейки в улье: их общая часть  является  ромбом.

                Рис. 1                          Рис. 2                                                    

   Какая   же  здесь  выгода для пчел? А  дело вот в чем. Площадь поверхности многогранника - ячейки  меньше  площади  поверхности правильной шестиугольной призмы. При такой «математической» работе  пчелы экономят 2%  воска. Количество воска, сэкономленного при постройке  54  ячеек, может  быть использовано   для  постройки  одной  такой же   ячейки. Пчелиные  соты  представляют собой пространственный  паркет  и  заполняют пространство  так, что  не остается просветов. Как не согласиться с мнением  Пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой структуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот». А где еще возможно увидеть удивительные тела?  

   Создания  природы красивы и  симметричны. Это  неотделимое   свойство природной  гармонии. Здесь мы видим и одноклеточные организмы – феодарии, форма   которых   точно   передает  икосаэдр.  Из    всех  многогранников   с  тем  же  числом  граней  именно  икосаэдр  имеет   наибольший  объём  при  наименьшей  площади  поверхности.  Это  свойство  помогает  морскому  организму  преодолевать  давление  водной  толщи. Интересно  и то, что именно  икосаэдр  оказался  в центре  внимания  биологов  в  их спорах относительно  формы  вирусов. Геометрические   свойства   икосаэдра   позволяют   экономить  генетическую  информацию.

   Водоросль  вольвокс — один   из  простейших многоклеточных   организмов —  представляет собой   сферическую  оболочку,  сложенную  в основном  семиугольными,  шестиугольными и пятиугольными   клетками  (то  есть  клетками, имеющими  семь,  шесть  или  пять  соседних; в каждой «вершине»  сходятся  три  клетки).  Бывают  экземпляры,  у  которых  есть и  четырехугольные,  и  восьмиугольные  клетки,  но  биологи  заметили, что   если   таких  «нестандартных»   клеток   (менее,  чем   с  пятью  и  более, чем  с  семью)  сторонами нет, то пятиугольных клеток всегда ровно на двенадцать больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Это утверждение следует из известной формулы Эйлера.

Вирусы, построенные только из нуклеиновой кислоты и белка, могут походить на жесткую палочкообразную  или   гибкую  нитевидную  спираль,  точнее  на  правильный   двадцатигранник,  или икосаэдр. Есть  вирусы,  размножающиеся   в  клетках  животных  (позвоночных   и   беспозвоночных),   другие   облюбова-ли  растения,  третьи  (их называют   бактериофагами   или просто  фагами) паразитируют в  микробах, но  икосаэдрическая  форма  вирусов сохраняется  во  всех трех типах вирусов.

  На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются  относи-тельными параметрами  ДНК, по которым построена  вся жизнь. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой   вращающийся  куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру. Таким образом,  двойная нить  спирали  ДНК  построена по принципу двухстороннего соответствия : за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК.

  Кристаллы  некоторых  знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл в алюминиево - калиевых  квасцов (KALSO4)212H2O  имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS  имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдр, бор – икосаэдр. В кристаллографии  (науке о кристаллах)  существует раздел, который называется «геометрическая кристаллография». Одним из основных фактов, которые в ней изучаются, является закон постоянства углов. Он гласит: углы между соответственными гранями (и ребрами) во всех кристаллах одного и того же вещества постоянны. Этот закон был открыт датским врачом и геологом Николаем Стено (1638-1687). Он провел измерения на ряде кристаллов, в частности на ромбододекаэдрах граната, которые считаются одной из самых простых кристаллических  форм, наряду с кубами и правильными октаэдрами.

  Простая форма характеризуется тем, что многогранник состоит из граней одного типа. Интересно заметить, все двугранные углы ромбододекаэдра равны. Это замечательное свойство ставит его в один ряд с правильными выпуклыми многогранниками. Причем многогранные углы ромбододекаэдра, в отличие от углов правильных многогранников, не равны (у него имеются вершины двух типов, в которых сходится по три и четыре ребра).

   Таким образом, ромбододекаэдр подтверждает, что из равенства всех двугранных углов многогранника вовсе не следует равенство всех многогранных углов этого многогранника. Идеи  Платона  и  Кеплера  о  связи  правильных  многогранников  с  гармоничным  устройством  мира  и  в наше  время  нашли  своё  продолжение  в  интересной  научной  гипотезе, по  которой  считается, что  ядро   Земли имеет  форму  и  свойства  растущего  кристалла, оказывающего  воздействие  на  развитие  всех  природных процессов, идущих  на  планете. «Лучи»  этого кристалла, а  точнее,  его  силовое  поле, обуславливают  икосаэдро-додекаэдровую  структуру Земли. Она  проявляется  в  том, что  в  земной  коре как бы  проступают  проекции  вписанных  в земной  шар  правильных  многогранников: икосаэдра  и  додекаэдра. 62  вершины  и  середины  ребер  многогранников, называемых  авторами  узлами, обладают  рядом  специфических  свойств, позволяющих  объяснить  некоторые  непонятные  явления. Если нанести на глобус очаги наиболее  крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие  залежи  полезных  ископаемых  тянутся  вдоль икосаэдро-додекаэдровой  сетки. Еще более  удивительные вещи происходят в местах пересечения  этих ребер: тут   располагаются  очаги  древнейших  культур  и  цивилизаций: Перу, Северная  Монголия, Гаити, Обская  культура  и другие. В  этих  точках  наблюдаются  максимумы  и  минимумы  атмосферного  давления, гигантские  завихрения  Мирового  океана. В  этих  узлах  находятся  озеро  Лох-Несс, Бермудский  треугольник. Московские  инженеры  В.Макаров  и  В.Морозов  потратили  десятилетия  на  исследование данного  вопроса. Их теория утверждает, что ядро Земли представляет собой растущий кристалл железа, который наводит во всех оболочках планеты симметрию двух правильных платоновых многогранников - икосаэдра и додекаэдра, а также иерархию подсистем основного деления, - поэтому такая система получила название икосаэдро-додекаэдрической структуры Земли, то есть ИДСЗ, а за рубежом получило название «русская сетка».

«ИСТОРИКИ»  8.ppt                         

   Большой интерес к формам правильных многогранников  проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо  да  Винчи (1552-1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он любил изготовлять из дерева каркасы правильных  многогранников и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям. Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре   «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр.

 Сальвадор Дали на картине «Тайная  вечеря» изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии М.К. Эшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене. На гравюре "Четыре тела" Эшер  изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

   Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением  много-гранника  в звезду.  Изящный  пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок  и  хаос". В  данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.

Применения икосаэдров:

     Титульный  лист книги   Ж. Кузена  «Книга о перспективе».

     Надгробный памятник в кафедральном соборе Солсбери.

 Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте.

  В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет.

«МАТЕМАТИКИ» 9.ppt

  Мы  увидели  и  услышали  многое  о  многогранниках  и  правильных  много-гранниках. Интересное  выступление  было  о  ромбододекаэдре. Поскольку  многие  его  относят  к  правильным  многогранникам, чтобы  не  повторять  ошибки, нужно  знать  определение  правильного  многогранника:  много-гранник  называется  правильным, если  все  его  грани – равные  правильные  многоугольники  и  в  каждой  вершине  сходится  одно  и  то  же  число  рёбер. Было  выяснено, что  существует  всего  пять  правильных  многогранников. И наверное, у  многих  возник  вопрос: а  существует  ли  связь  между  числом  вершин  (В), граней  (Г), рёбер  (Р)  многогранника?  Ответ  на  этот  вопрос  дала  теорема  Эйлера:  для  всякого  выпуклого  многогранника   между  числами  В,  Г,  Р   выполняется   соотношение  В – Р + Г  = 2

ТЕОРЕМА    ЭЙЛЕРА :

ЧИСЛО  ВЕРШИН  - ЧИСЛО  РЁБЕР + ЧИСЛО  ГРАНЕЙ  = 2

УЧИТЕЛЬ

 Мы  с  вами  рассмотрели:  где  встречаются  многогранники, для чего  мы  их  изучаем  в  школе, что  называют  правильными  многогранниками  и  сколько  их  существует. А  также  рассказали  исторические  предположения  на  применения  правильных  многогранников, некоторые  из них  в  какой – то  степени  оказались  пророческими. Я  думаю, каждый  для  себя  сделает  выводы  в  области  математики, насколько  близка  с  нами  математика, как  важно  её  изучать.