Задачи Теорема косинусов
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

Задачи по теме: «Теорема косинусов»

1.  В АВС АВ=3, ВС=5, АС=6. На стороне АВ взята точка М так, что ВМ=2АМ, а на стороне ВС точка К так, что 3ВК=2КС. Найдите длину отрезка МК.

        В                                                Решение:

                          К                1) Из АВС по теореме косинусов найдём cosB:

М                                cosB=  , cosB= = -

А                              С    2) Из МВК по теореме косинусов находим МК:

МК2= МВ2+ВК2-2МВВКcosB.  МВ= АВ=2,  ВК= ВС=2, тогда  МК2=22+22-2

МК2= 8+,  МК2= 8= 8,   МК== .  

Ответ:.

2. В окружности проведены хорды АВ= и АС=2, ВАС=60. Хорда АD- биссектриса ВАС. Найдите длину хорды AD.

                          С                        Решение:

   А                                Четырёхугольник АВDC- вписанный в окружность. По

                            D          условию AD- биссектриса ∠ВАС, тогда =  и тогда

               B                         хорды, стягивающие равные дуги, равны, т.е. CD=BD, следовательно, ΔBCD- равнобедренный, отсюда следует, что ∠BDC=120 (сумма противоположных углов 180). Пусть ВD=CD=x, тогда ВС= 2хcos30= х. Из ΔАВС по теореме косинусов найдём ВС: ВС2= АВ2+АС2-2АВcos60

                                               3x2= 3+12-2 2

                                                x= и, наконец, AD= 2АВcos30=3.

Ответ: 3.

3. В параллелограмме ABCD диагональ АС=16. Площадь параллелограмма 80. ∠CAD=60. Найдите длину стороны АВ.

            D                                C                           Решение:

                                     Пусть AD=х, SΔADC=40, SΔADC=ADACsin∠DAC,

A                            B            тогда х16 = 40, отсюда х=10. Из того же ΔADC                                                                                 найдём DC по теореме косинусов:

DC2= AD2+AC2-2ADACcos∠DAC,  

DC2= 100+256-21016,  

DC2=196,  DC=14

DC= AB= 14

Ответ: 14.

4. Две стороны треугольника равны 2 и 3, а площадь рана 3. Найдите третью сторону.

                             В                                        Решение:

                                        Площадь треугольника равна половине произведения

                                                 С        двух сторон на синус угла между ними:

А                                        SΔАВС=23sin∠BAC, получим

 23sin∠BAC= 3, ∠BAC= , следовательно    ∠BAC=45 или ∠BAC=135.

И третью сторону найдём по теореме косинусов:

ВС2= 9+8-23          или         ВС2= 9+8-23

ВС2= 17-12                                    ВС2= 17+

ВС=                                    ВС=

Ответ:  или .

5. В трапеции ABCD основание AD равно 16, а боковая сторона CD=. Окружность проходящая через точки А, В и С пересекает прямую AD в точке М, ∠АМВ=60. Найдите длину ВМ.

             В                         С

            А                          М                                D

                                        Решение:

 Трапеция ABCM- вписанная в окружность, поэтому она равнобедренная, следовательно, ∠ВАМ= ∠СМА и ∠САМ= ∠АМВ= 60. Пусть АС=х, применяя теорему косинусов к ΔACD, получим: = х2+162-216хcos60,  

192= х2+256-16х,

х2-16х+64=0

=0

х= 8, АС=ВМ= 8

Ответ: 8.

6.  Из точки А, лежащей на окружности, проведены две хорды, равные 7 и 15. Найдите диаметр окружности, если расстояние между серединами хорд равно 10.

                                        Решение:

               А                        В ΔАВС отрезок DE средняя линия, тогда ВС=20, т.к. DE=10

         D                        по условию. Применим к ΔАВС теорему косинусов:

                     E                        ВС2= АВ2+АС2-2АВАСcos∠ВАС.

B                                400= 49+225-2715∠ВАС

                         C                210cos∠BAC= 274-400

                                cos∠BAC= , тогда ∠ВАС- тупой. По теореме синусов:

= 2R, sin∠BAC= = =

= 2R => 2R=25, диаметр 25.

Ответ: 25.

7. В окружность вписан правильный АВС. Радиус окружности . Хорда ВD пересекает сторону АС в точке Е. АЕ:ЕС= 3:5. Найти длину ВЕ.

              В                                                Решение:

                            С        По теореме синусов = 2R, =  отсюда

     А            Е                          АВ=  АВС- равносторонний по условию,  

         D                следовательно, АС=8, АЕ=3, ЕС=5. Применим к СВЕ

                        теорему косинусов: ВЕ2=82+52-2.8.5cos60. ВЕ2=49, ВЕ=7.

 Ответ: 7.    

8.  Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1. Косинус среднего по величине угла этого треугольника равен . Найдите периметр треугольника.

        В                                        Решение:

                                Пусть средняя по величине сторона имеет длину х, тогда две

С          другие х-1 и х+1, АВ=х-1, ВС= х+1. В треугольнике против          

А        большей стороны лежит больший угол, тогда данный угол      противолежит стороне АС=х и по теореме косинусов получим:

АС2= АВ2+ВС2-2.АВ.ВС.cosB
х2= (х-1)2+(х+1)2 -2. (х-1)(х+1)  ,  решая уравнение получим х= и

Р=   + -1+ +1= 3 

Ответ: 3.