Открытый урок по геометрии "Правильные многогранники"
методическая разработка по геометрии (10 класс) по теме

План-конспект урока

Тема урока: « Правильные многогранники»

Класс: 10

Учитель: Реброва Надежда Михайловна

Тип урока: Усвоение новых знаний. 

Цели урока:

1. Повторить и обобщить теоретический материал по теме «Многогранники».

 2. Ввести понятие правильного многогранника, рассмотреть все пять видов правильных многогранников.

3. Способствовать развитию пространственного воображения и графической грамотности.

4. Способствовать воспитанию эстетического вкуса и интереса к предмету.

Межпредметные связи:  информатика, химия, биология, история.

Дидактический материал:  видео- презентация «Правильные многогранники», информационный материал «правильные многогранники».

Раздаточный материал: индивидуальные карточки-задания, листы с тестами, заготовки для выполнения моделей правильного многогранника

Применяемые формы и методы: работа в парах, самоконтроль, фронтальный опрос, демонстрация, творческая  работа, тест.

Оборудование:

1.     Учебник. Геометрия, 10-11 классы.  

2.     Компьютеры, мультимедийный проектор, модели многогранников.

3.     Репродукции картин Сальвадора Дали «Тайная вечеря»,  А. Дюрера «Меланхолия».

 4. Таблицы, изображение «Космический кубок» Кеплера      (модели Солнечной системы)

5. Заготовки для выполнения моделей правильного многогранника.

Правильных многогранников  вызывающе мало,

                        но этот весьма скромный по численности отряд сумел

                        пробиться в самые глубины  различных наук.

Л. Кэролл

Ход урока:

1. Организационный момент. Сообщение темы урока, сформулировать цели  урок. (Слайд №1)
2. Проверка домашнего задания. Проверить решение домашних задач из ЕГЭ, задание В9. Дать задание двум учащимся подготовить на доске краткое решение задач, ход решения заслушать.

1. Найдите площадь  полной поверхности прямой  призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4, и боковым ребром, равным 5.

2. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 6, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь поверхности пирамиды. (Слайд №2)  

3. Актуализация знаний учащихся.

Сегодня мы проводим  урок по теме «Правильные многогранники». Нам предстоит повторить и обобщить ранее изученный материал, закрепить его при решении задач и узнать что-то новое, ещё не сказанное по данной теме.

Начнём наш урок с традиционного повторения. Первое задание

1. Фронтальный опрос: ответить на вопросы по рисункам, спроектированным на экран.

Слайд № 3.

1. Дать характеристику многогранника.
2. Дайте все возможные названия этого многогранника.

Слайд № 4..

1. Дать характеристику многогранника.
2. Назовите грани, вершины и рёбра данного многогранника.

Слайд № 5.

1. Дать характеристику многогранника.
2. Можно ли в качестве высоты этой призмы принять боковое ребро?
3. Будет ли эта призма правильной, если в основании лежит равносторонний треугольник?

Слайд № 6.

1. Дайте характеристику многогранника.
2. При каких условиях эта пирамида будет правильной?
3. Как в этом случае можно назвать высоту боковой грани?

В следующем задании я предлагаю вам проверить себя на знание формул по темам «Призма» и «Пирамида». Пропущенными могут быть как компоненты формулы, так и её название.

2). Работа в тетрадях: заполнить пропуски (задание спроектировано на экран), выполнить самопроверку (эталон ответов выведен на экран)

Слайд № 7.

Заполните пропуски

S=PоH -------------------------------------------------------------

 ----------- - площадь полной поверхности пирамиды

 S=1/2Pоh - --------------------------------------------------------

 S=Sб + 2Sо - ------------------------------------------------------

S=1/2(Pо + Ро)h - -------------------------------------

Слайд № 8.

 Эталоны ответов

S = Pо H – площадь боковой поверхности призмы

 S = Sб + So – площадь полной поверхности пирамиды

 S = ½ Pо H – площадь боковой поверхности  правильной  пирамиды

 S = Sб + 2 Sо – площадь полной поверхности призмы

S=1/2(Pо + Ро)h – площадь боковой поверхности правильной

 усечённой пирамиды (Слайд № 9 критерии оценки)

1. Изучение нового материала.

 1). Вступительное слово учителя.

 Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках.

В геометрии10класса мы с вами изучили разные виды многогранников: тетраэдр, параллелепипед, пирамиды, призмы. Но ни одно геометрическое тело не обладает такой красотой, как правильные многогранники, с которыми мы познакомимся на сегодняшнем уроке.
«Правильных многогранников вызывающе мало, но весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук»
(Л.Кэрролл.)(Слайд № 10).

Существует всего пять правильных многогранников: тетраэдр, куб,     октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.(Слайд № 11).

2. Исторические сведения.  (Слайд № 12, 13, 14).

      С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

      История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Изучением правильных многогранников занимались  Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях.

      Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "неземным" элементом - небом (додекаэдр).  Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.

3).  Ввод понятия правильного многогранника. (Слайд № 15,16,17).

     Нами уже использовались словосочетания “правильные призмы” и “правильные пирамиды”. Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение.

1. Многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число граней
2. правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.

Вывод. Многогранник  называется  правильным , если:

1. он выпуклый
2. все его грани являются равными правильными многоугольниками
3. в каждой его вершине сходится одинаковое число граней
4. все его двугранные углы равны

4). Знакомство с видами правильных многогранников. (Слайд № 18-27).

ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников. (Слайд № 18-19).
ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов). (Слайд № 20-21).
ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников. (Слайд № 22-23).

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников. (Слайд № 24-25).

ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников. (Слайд № 26-27).
     Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
«эдра» - грань
«тетра» - 4
«гекса» - 6
«окта» - 8
«икоса» - 20
«додека» - 12

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще
n-угольники при n≥ 6.(Слайд № 28).

5). Математические свойства правильных многогранников.

(Слайд №29-30)

Характеристика Эйлера :

Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.

Г + В - Р = 2

    Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал).Работа на карточках . Проверим результаты заполнения таблицы (слайд № 31).

(Слайд № 32). Задача . Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте  выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Решение :    Г=12,    В=10,    Р=20,    Г+В-Р=12+10-20=2

6).  Правильные многогранники в философской картине мира Платона.

(Слайд № 33,34).

       Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

       Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

       Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.

       Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду.

       Куб – самая устойчивая из фигур – землю.

       Октаэдр – воздух.

       В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.

       Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

       Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

7).  Правильные многогранники и природа .  (Слайд № 35).

Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр .

       Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

       Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры.  И  природа этим широко пользуется. Подтверждением  тому  служит  форма  некоторых кристаллов.

       Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы  не  можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

       При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами  (K[Al(SO4)2] ⋅ 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

       Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

       В разных химических реакциях применяется сурьменистый  сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

       Последний правильный многогранник  –  икосаэдр  передаёт  форму  кристаллов  бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

8). Правильные многогранники в искусстве. (Слайд № 36-37)

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471-1528) в известной гравюре “Меланхолия”, на переднем плане также изобразил додекаэдр.

9).Подведение итогов урока.(Слайд № 38-44).

Подходит к концу урок, подведём итоги.

1. Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Дома: Домашнее задание будет сегодня творческим на ваш выбор

№ 2 71 – 275 склеить модели правильных многогранников на выбор.