Решение задач С4 на ЕГЭ по математике
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

Примеры решения задач С4  на ЕГЭ по математике.

В последние годы в экзаменационную работу была включена планиметрическая задача С4. Она  более сложная, чем С2, и при проверке ее выполнения предполагалось более тщательное отношение к доказательной составляющей решения. Полное правильное решение  задачи  С4 оценивается  3 баллами. Оценка выполнения задач второй части проводится экспертами на основе специально разработанной системы критериев, базирующейся на следующих требованиях. Метод и форма записи решения могут быть произвольными, но решение должно быть математически грамотным, полным и  обоснованным. При этом оцениваются продвижения выпускника в решении задачи. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ.

Рекомендации при решении задач по геометрии:

- внимательно прочитать условие задачи,

- построить чертеж, соответствующий условию (по возможности, наиболее наглядный),

- дать характеристику фигуре, вспомнить определение, свойства, признаки,

- определить зависимости между элементами,

- рассуждать от вопроса задачи, постепенно используя данные условия.

1. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке О. Отрезки, проведенные из точки Р – середины основания АD, пересекают диагонали в точках М и Т. Найти площадь четырехугольника ОМРТ, если площадь трапеции  равна 72.

А

Р

D

С

В

О

Т

М

Дано: трап. АВСD,  АD = 2ВС,      АС ∩ ВТ = О,   Р = ½ АD,  ВР ∩АС=М,  РС∩ВD=Т,  Sтр=72.  

Найти: S чет ОМРТ.

Решение.

 У трапеции основания параллельны, значит, ∟САD = ∟ВСО, ∟ВDА = ∟СВD как внутренние накрест лежащие при АD║ВС и секущих АС и ВD. Тогда Δ АОD ∞ Δ СОВ по двум углам.

Четырехугольники АВСР и РВСD – параллелограммы, М и Т  - точки пeресечения их диагоналей, значит, М и Т середины сторон ВР и СР Δ ВРС,  МТ – средняя линия        Δ ВРС,   МТ = ½ ВС.

Пусть ВС = х,  тогда АD = 2х,  МТ = ½ х.

Из подобия  Δ ВОС и Δ DОА имеем:

  тогда  h Δ AOD = 2/3 h трапеции.

S чет ОМРТ =

,            

S чет ОМРТ =

                                                                               Ответ: 8.

1. В параллелограмме АВСD биссектрисы углов при стороне АD делят сторону ВС точками М и Т так, что ВМ : МТ = 1 : 4.  Найти ВС, если АВ = 9.

А

В

М

Т

С

D

Дано:  пар АВСD,   АТ, DМ – биссектрисы ,  ВМ : МТ = 1 : 4,   АВ = 9.

Найти :  ВС.

Решение.  АВСD параллелограмм, значит, АВ = СD,  АВ║СD,  АD = ВС,  АD║ВС.

АТ и DМ – биссектрисы, значит, делят углы при стороне АD пополам, ∟ВАС = ∟ТАD,  ∟АDМ = ∟МDС.

∟ТАD = ∟АТВ ( как внутренние накрест лежащие при АD║ВС и секущей АТ) = ∟ВАС, т.е. Δ АВТ равнобедренный с основанием АТ.  АВ = ВТ = 9 = 5 частей (ВМ + МТ), 1 часть  = 9: 5 = 1,8.

Аналогично, Δ МСD равнобедренный с основанием МD (∟СDМ = ∟СМD = ∟АDМ), МС = DС = 9.

ВС = ВМ + МС = 1,8 + 9 = 10,8.

                                                     Ответ:  ВС = 10,8.

2. Дан параллелограмм АВСD,  АВ = 3,  ВС = 5,  ∟А = 60º.  Окружность с центром  в точке О касается биссектрисы ∟D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найти площадь четырехугольника АВОD.

К

А

В

С

D

О

.

Дано: пар АВСD,  АВ = 3,   АD = 5,  окр(О,r)  касается биссектрисы ∟D,

          сторон АВ и АD.

Найти:  S четырехугольника АВОD.

Решение.    

АВСD параллелограмм, ∟А = 60º, ∟D = 120º.

Окружность касается  АВ,  АD,  DК,  значит, она вписана в Δ АКD.  

Δ АКD равносторонний, т.к.

 ∟А = 60º, ∟АDК = ½ · 120º = 60º,  сторона  Δ АКD равна 5.

             Найдем радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, по формуле

Т.к. окружность вписана в Δ АКD, ее радиусы перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, значит, в Δ АВО и   Δ АОD высоты, проведенные к сторонам АВ и АD, равны r.

S чет АВОD = SΔABO  + S ΔAOD = ½ AB·r + ½ AD·r = ½ ·r ·(AB + AD) = ½· ·8 =                                              Ответ:

3. Прямая, проведенная через середину N стороны АВ квадрата АВСD, пересекает прямые СD и АD в точках М и Т соответственно, и образует с прямой АВ угол, тангенс которого равен 4. Найти площадь Δ ВМТ, если сторона квадрата АВСD равна 8.  

Дано: квадрат АВСD,   FD = 8,  N = ½ АВ,  прямая NM ∩ СD =M,  и  NM ∩ АD = T,

          tg ∟АNT = 4.

Найти :  S  ΔВМТ.

М

С

В

К

Т

D

А

N

Решение.

В квадрате все стороны равны, все углы прямые.

S  ΔВМТ = ½ МТ ·h,  h = ВК.

Из  ΔА NТ,  ∟А = 90º,  АN = 4,  tg ∟АNT = 4 найдем АТ.  

АТ = АN· tg ∟АNT = 16,   тогда DТ = АТ – АD = 16 – 8 = 8.

Из  Δ МDТ,  ∟D = 90º, DТ = 8, МD = 2 (средняя линия  Δ АКТ,  D = ½ АТ, МD║АК), найдем МТ.

Из  Δ ВКN,  ∟К = 90º,  ВN = 4,  tg ∟ВNК = tg ∟АNТ = 4 ( ∟ВNК =  ∟АNТ  как вертикальные)   найдем ВК.    ВК = BN·sin∟BNK.

Найдем   sin∟BNK  из тождества 1 + ctg 2α = 1/sin2α .     sin α =  

 ВК = 4· =

                                                           Ответ:  S  ΔВМТ = 16.

4. В  ΔАВС  АВ = ВС = , АС = 8см.  Точка М делит высоту ВH в отношении 3:2,  считая от вершины. Через точки  А,  М,  С  проведена окружность. Найдите радиус окружности, проходящей через точку В и касающейся данной окружности.

М

В

H

С

А

М

H

А

В

С

М

H

К

Дано: ΔАВС  АВ = ВС = , АС = 8см, ВH – высота, ВМ:МH = 3:2,  точки А, М, С лежат на одной окружности,  другая окружность проходит через В, окр. касающиеся.

Найти: радиус второй окружности.

Решение.

1. Касание окружностей внешним образом.

ΔАВС равнобедренный,  АВ = ВС = , АС = 8см.  

Тогда высота ВH =

Точка М делит высоту ВH в отношении 3:2, т.е. в одной части содержится 1см.  ВМ – диаметр  окружности, проходящей через точку В, равен 3см, тогда радиус окружности равен 1,5 см.

2. Касание внутренним образом.

По свойствам хорд AH·HC = MH·HK,    4·4 = 2· HK,   HK = 8см.

D = MH + HK = 10см,     r = 5см.

                                                             Ответ:  1,5 см или 5 см.

6. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 24, а синус угла при основании равен 4/5 .

С

М

N

В

D

А

О

С

М

D

А

N

Решение.

1) (По рисунку 1)

Δ АВС равнобедренный с основанием АВ, пусть АС = СВ = х,  ∟А = ∟В ,

sin∟A = 4/5,  тогда cos∟A = 3/5.

Т.К. окружность вписана в четырехугольник AMNB,то она вписана и в Δ АВС. Значит, О – центр окружности – точка пересечения биссектрис Δ АВС.  Радиус окружности

r = ОD.

Из Δ АСD, ∟D = 90º    АD = АС· cos∟A = 3/5·х,

СD = АС· sin∟A = 4/5 ·х.

Из формул приведения   cos∟ACD = sin∟CAD = 4/5,  sin ∟ACD= cos∟CAD = 3/5.

Т.к. АО – биссектриса Δ АСD, то по свойствам биссектрисы угла треугольника                    

5 · ОD = 12/5 · х – 3 · ОD,    8 ·ОD = 12/5 ·х,  ОD = 3/10 · х .

Рассмотрим Δ СМN  ∟М = 90º,  MN = 24,  ∟МСN = 2· ∟АСD.

cos∟ACB = cos∟MCN = cos2∟ACD – sin2∟ACD = 16/25 – 9/25 = 7/25.

sin ∟MCN =     Тогда   CM = 7,  CN = 25.

Окружность можно вписать в четырехугольник, если у него суммы противоположных сторон равны.

АМ + NB = MN + AB,  

(х – 7) + (х – 25) = 24 + 6/5  ·х,   х = 70.   Тогда r = OD = 3/10 ·70 = 21.

2)( по рисунку 2)

Sin  ∟A = sin ∟B = 4/5,   cos ∟B = 3/5,   MN = 24,     тогда  NB = MN: sin ∟B = 30,  MB = 18.

AC + MN = AN + CM

X + 24 = 6/5·x – 30 + x – 18,   x = 60.  

 Значит, ОD =   R = 3/10·60 = 18.

                                                  Ответ:  21  или  18.