Принцип Кавальери
методическая разработка по геометрии (10 класс) по теме

Вычисление объемов тел с помощью принципа Кавальери

Сайфутдинова Фирдауса Файзутдиновна, учитель математики МБОУ "Лицей №2  г. Мамадыш"

       В отличие  от учебника «Геометрия, 10-11» авторов Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др., где формулы объёмов пространственных тел выводятся с помощью определённого интеграла, в учебнике А.Г. Мордковича, И.М. Смирнова и др. «Математика,11» формулы для объёмов тел выводятся с помощью принципа Кавальери. Понятно, что интеграл является более тонким инструментом для исследования объёмов, чем принцип Кавальери. Тем не менее, использование принципа Кавальери обеспечивает изложение объёмов более упрощенным и легко воспринимаемым учащимися. Кроме того, технология укрупнения дидактических единиц позволяет с помощью данного принципа сразу вывести формулы объёмов для тел цилиндрической, конической конструкций и объёма шара.                                                                   Исходя из опыта апробации учебника   А.Г. Мордковича, И.М. Смирнова и др. «Математика,11» , хочу  поделиться с некоторыми методическими находками при изучении главы   " Объёмы тел". На этапе актуализации опорных знаний, предлагаю к четырём аксиомам    объёма добавить принцип Кавальери,  предложенный итальянским   математиком  Бонавентурой  Кавальери (1598-1647) и названный впоследствии его именем. Он заключается в следующем:

 Если при пересечении двух тел  F  и  F1,  плоскостями, параллельными одной и той же плос кости α, в сечении всегда получаются фигуры,  площади которых находятся

в постоянном отношении  λ (λ > 0):  S = λS1 ,то   объемы  этих   тел   находятся   в том же соотношении: V(F) = λV1 ( F1);  или  если при пересечении двух тел F и  F1 плоскостями, параллельными  одной и той же плоскости, в сечениях  получаются фигуры одинаковой площади,  то объёмы исходных тел равны.

 С помощью этого принципа вывести формулу для вычисления объема тел любой цилиндрической конструкции.                                                                 Для этого разместим куб так, чтобы нижнее основание куба лежало        в плоскости нижнего основания цилиндрической конструкции, а верхнее основание куба лежало в плоскости верхнего основания цилиндрической конструкции. Высота цилиндрической конструкции равна H – длине ребра куба. Любая плоскость, параллельная основанию куба, пересекает куб по квадрату площадью H², а цилиндрическую  конструкцию по фигуре, равной основанию, площадью S.  отношение этих площадей для любого сечения равно  H2S, поэтому VкубаVцил.конст. = H2S или H3Vцил.конст. = H2S, откуда следует, что Vцил.конст. = HS.

Итак, Vцил. = R²H

Для получения объема конической конструкции, разобьем куб с ребром H на три равные пирамиды. Объем каждой из них равен  H33. 

В параллельных плоскостях  разместим пирамиду с ребром основания H и произвольную коническую поверхность. Пусть плоскость α пересекает два тела на высоте h  от вершин. Обозначим сечения конуса и пирамиды через S∝1, S∝2 соответственно.  Так как отношения площадей подобных фигур относятся, как квадраты соответствующих сторон, то S∝2H2 =(hH)² и

  S∝2 = (hH)²· H2,  S∝1S = (hH)² и  S∝1 = (hH)²·S. Мы видим, что отношение площадей двух сечений есть величина постоянная и не зависящая от выбора высоты секущей плоскости :  S∝1S∝2 = H2S. Согласно принципу Кавальери 13VкубаVкон.конст. = H2S.

Выразим из последнего соотношения  Vкон.конст. = 13HS.

Итак, Vкон. =  13R²H

Для получения объема шара, рассмотрим полушар с центром в О и радиусом R. Продолжим плоскость α ограничивающего этот полушар большого круга и поместим на эту плоскость основанием куб с ребрами, равными R. Если мы отделим от этого куба четырехугольную пирамиду BA1B1C1D1, имеющую вершиной вершину B куба, а основанием – верхнее основание последнего, то получим некоторое тело, которое будем обозначать через  F1. Пересечем оба тела некоторой плоскостью ∝', параллельной плоскости α и отстоящей от α на расстоянии x (xR2 - x2). В сечении же тела  F1 той же плоскостью получается фигура, площадь которой равна R2 - x2. Откуда ясно, что условия принципа Кавальера выполнены. Следовательно:  Vполушара= V( F1) = (Vкуба - Vпир.) = (R3 - 13R3) = 23R3. Объём шара в 2 раза больше.

Итак, Vшара =  43R3.

        Для закрепления выведенных формул в конце урока можно предложить  практическую работу на вычисление объёмов тел цилиндрической, конической конструкций и объёма шара. Результаты вычислений можно оформить в виде следующей таблицы.