Использование принципа симметрии при решении задач по Электростатике
методическая разработка по физике (10 класс) на тему

Симметрия в задачах электростатики

Одно из наиболее ярких проявлений пространственной симметрии в школьном курсе можно найти в разделе «электростатика». Рассмотрим это на примере конкретных задач по расчету электрических полей.

Пример 1. Определить напряженность электрического поля, создаваемого системой из трех одинаковых зарядов q., находящихся в вершинах правильного треугольника со стороной   α, в точке 0, расположенной на продолжении высоты треугольника BK (рис 4) на расстоянии   α от вершины.            

Для нахождения напряженности в точке 0 достаточно воспользоваться принципом суперпозиции и векторно сложить напряженности , создаваемые каждым из зарядов. Соображения симметрии позволяют сразу определить направление вектора напряженности. В самом деле, если повернуть плоскость, в которой располагаются заряды на 180 относительно оси ОК, то система зарядов  перейдет в себя (заряд А перейдет в С, С в А, В останется на месте) . Следовательно, не должен измениться и вектор напряженности e при такой операции. Отсюда сразу можно сделать вывод о том, что e направлена вдоль В0. Это, в свою очередь, позволяет перейти от векторного сложения к скалярному: нужно сложить проекции напряженности на ось 0К. Находя из треугольника 0КС расстояние С0 –α /2 , имеем:

Угол α равен 15°. Его косинус сразу определяется из треугольника К0С: cos α = СК/0С = 4/

Окончательно имеем:

E=k

Задача. Найти напряженность в точке 0°, расположенной на той же прямой 0К симметричной точке 0 относительно В.

Пример 2. Четыре заряда расположены в вершинах квадрата.

Величины зарядов одинаковы и равны q. Какой заряд нужно поместить в цент квадрата, чтобы вся система находилась в состоянии равновесия?

Отметим, прежде всего, что центральный заряд, независимо от его величины, всегда будет в равновесии, поскольку напряженность электрического поля, создаваемая зарядами в вершинах, в центре квадрата, то она перейдёт в себя. Это означает , что вектор напряженности также не должен изменяться, что возможно только если он перпендикулярен плоскости, в которой расположены заряды. Однако сумма векторов, лежащих в плоскости, не может быть перпендикулярна этой плоскости, откуда следует равенство нулю напряженности в центре квадрата.

Далее из симметрии картины следует, что достаточно добиться равновесия хотя бы одного из зарядов – все остальные в этом случае так же будут в равновесии. Условием равновесия является равенство нулю напряженности электрического поля, создаваемого в выделенной вершине квадрата всеми зарядами за исключением расположенного в этой вершине. Записывая проекцию напряженности направление диагонали квадрата, получаем:

 =0,

где Q- величина искомого заряда, a- длина стороны квадрата.

Для Q получаем:

Q=-q(.

А

К

С

            B                                α                            0