ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАНИЯ С КРИТЕРИЯМИ
олимпиадные задания по теме

Олимпиадные задания по математике (10 класс)

Каждое задание оценивается в 5 баллв

1. Графики функций у = х2 + ах + b и у = х2 + сх + d пересекаются в точке с координатами (1; 1). Сравните a5 + d6 и c6- b5.

Решение:

a5 + d6 = c6 – b5. 
Так как графики функций проходят через точку (1; 1), то выполняются равенства: 1 = 1 + а + b и 1 = 1 + с + d, то есть, a = -b и с = -d. Следовательно, а5 = -b5 и d6 = c6. Складывая эти неравенства почленно, получим, что а5 + d6 = c6 – b5.

2. Какое наибольшее число ребер шестиугольной призмы может пересечь плоскость, не проходящая через вершины призмы?

Решение:

Горизонтальной плоскостью можно пересечь все 6 боковых ребер. Наклоним эту плоскость так, чтобы она пересекла верхнее основание около одной из вершин. Ясно, что при этом она станет пересекать два ребра в верхнем основании, но перестанет пересекать одно из боковых ребер. Таким образом, мы увеличим число пересеченных ребер на 1. 
Точно также можно увеличить это число еще на 1 за счет ребер нижнего основания. Так мы получили плоскость, пересекающую 8 ребер призмы.
Почему больше пересечений получить невозможно? Во-первых, никакое сечение не может пересекать более двух ребер одного основания (иначе сечение просто совпадает с плоскостью этого основания). Но пересечение двух ребер в одном основании исключает пересечение хотя бы одного из боковых ребер, а пересечение двух ребер в другом основании – другого бокового ребра.

3. Решите уравнение: 

Решение:

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

4. Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то их высоты тоже образуют геометрическую прогрессию.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны b, bq, bq2, площадь треугольника S, тогда высоты треугольника соответственно равны: 2S/b, 2S/bq, 2S/db2, то есть тоже образуют геометрическую прогрессию.

5. В клетки квадрата 3х3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?

Решение:

 Покажем, что n = 14 слишком мало. Среди чисел 1, 2, …, 14 только 2 делятся на 5 (5 и 10), поэтому их нельзя использовать (не во всех строках произведение будет делиться на 5). По тем же соображениям нельзя использовать числа 7 и 14. Тем более, нельзя использовать числа 11 и 13. Итак, 6 чисел уже отпадают. Остается всего 8 чисел, а их не хватит для заполнения клеток квадрата! На рисунке изображен квадрат с n = 15

Олимпиада по математике

11 класс

1. Найдите остаток от деления многочлена (3х+8)2012 на х+3. (3 балла)

Решение.

По теореме Безу остаток от деления многочлена на двучлен (х–а) равен значению многочлена при х=а.

Обозначим Р(х)= (3х+8)2012. Тогда Р(–3)=1.

Ответ: 1.

2. Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии? (4 балла)

Решение.

Пусть a – первое из двух чисел исходной последовательности, d – разность арифметической прогрессии, а q — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда по условию задачи a + d = aq, a + 9d = aq2. Следовательно, a(q – 1) = d и a(q – 1)(q + 1) = a(q2 – 1) = 9d = 9a(q – 1). Поскольку q≠1, отсюда получаем q = 8 и aq3 = a + a(q3 – 1) = a + a(q – 1)(q2 + q + 1) = a + 73d. Таким образом, четвёртый член геометрической прогрессии совпал с 74-м членом арифметической прогрессии.

Ответ: с 74-м членом арифметической прогрессии.

3. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению 19m+84n=1984. (4 балла)

Решение.

Так как m=(1984-84n):19=100-4(n-1)-8(n-1):19, n-1 делится на 19, то n=19k+1, где k ≥ –1. Тогда m=100-84k. Так как m и n натуральные числа, то k=0 и k=1. При k=0 имеем m=100 и n=1; при k=1 имеем m=16 и n=20.

Ответ: m=100, n=1; m=16, n=20.

4. На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться? (5 баллов)

Решение.

Оценка. Всего было отправлено 2000000 приглашений, а пар на сайте  1000·1999 = 1999000.  Приглашений на 1000 больше, чем пар, поэтому внутри хотя бы 1000 пар было отправлено два приглашения. Значит, образовалось хотя бы 1000 пар.

Пример: расставим всех в вершинах правильного 2000-угольника, и пусть каждый пригласит 1000 следующих за ним по часовой стрелке. Тогда друзьями окажутся только те, кто расположен в противоположных вершинах.

Ответ: 1000 пар.

5. Решить систему уравнений

 (5 баллов)

Решение.

Сложив почленно данные уравнения, после приведения подобных членов и сокращения обеих частей на два получим (х2+у2) √(х2+у2) =125.

Извлекая кубический корень из обеих частей этого уравнения (решаем во множестве действительных чисел), имеем: √(х2+у2)=5 или (х2+у2) =125.

Подставив в первое уравнение, получим xy=12 . Итак, наша система уравнений эквивалентна системе

Умножим второе уравнение почленно на 2, а затем вычтем почленно из первого уравнения. После извлечения квадратного корня будем иметь: x+y=±7; x-y=±1, что эквивалентно следующим четырём системам уравнений:

Решая их, получаем четыре решения: (4;3), (3;4), (–3;–4), (–4;–3).

6. В треугольнике ABC проведены высота AH и биссектриса BE. Известно, что угол BEA равен 45°. Докажите, что угол EHC равен 45°. (6 баллов) 

Решение.

Опустим из вершины A перпендикуляр AM на BE. Треугольник AME равнобедренный прямоугольный.

Точки M и H лежат на окружности с диаметром AB, значит,  MH = MA = ME  (на дуги AE и MH опираются равные углы). Следовательно, M – центр описанной окружности треугольника AHE, поэтому  ∠AHE = 1/2 ∠AME = 45°,  а  ∠EHC = 90° – ∠AHE.