Занятие по математике "Элементы теории вероятностей"
методическая разработка (5 класс) по теме

Краевое государственное

бюджетное общеобразовательное учреждение «Эврика»

Центр работы с одаренными детьми

Открытый конкурс

«Мой первый урок»

Разработка занятия

«Элементы теории вероятностей»

для учащихся 5 класса

преподаватель математики,

руководитель физико-математической школы

Лобанова Татьяна Владимировна

Петропавловск-Камчатский, 2012 год

Тема занятия:  Элементы теории вероятностей.

Цель занятия:

познакомить учащихся с основными понятиями теории вероятностей, сформировать умение определять вид произошедшего события.

Оборудование: проектор, презентация Microsoft PowerPoint, игральные кубики, коробка с разноцветными шариками, портреты ученых, занимавшихся вопросами теории вероятностей.

Доска (обычная): до начала урока выписать все новые слова: эксперимент, событие, случайное, достоверное, невозможное, равновозможное; формулу подсчета вероятности: , закрыть их и открывать по мере изучения.

Ход занятия

I этап. Разминка.

Подготовимся к уроку. Я вам читаю вопросы, а вы быстро на них отвечаете.

1. У одного папы спросили: «Сколько у вас детей?» Он ответил: «У меня четыре сына и у каждого из них есть родная сестра». Сколько же у него детей? (5 – четыре сына и одна дочка)
2. Сколько дырок окажется в клеёнке, если во время обеда 12 раз проткнуть её вилкой с 4 зубчиками? (12∙4=48 дырок)
3. Под каким деревом сидит заяц, когда идет дождь? (под мокрым)
4. Сколько концов у двух палок? А у двух с половиной? (4, 6)
5. На столе лежало 4 яблока. Одно из них разрезали пополам и положили на стол. Сколько яблок на столе? (4)
6. Какое число становится больше, если его перевернуть вверх ногами (6 было 9 станет)

II этап. Новый материал.

Запишем в тетрадях число, тему сегодняшнего занятия: «Элементы теории вероятностей».

Ситуация.

Вы забыли вечером собрать портфель в школу. Утром, проснувшись, совершенно сонные, хватаете три первых попавшихся учебника с полки, на которой стоят 10 учебников. В этот день у вас три урока: математика, чтение и окружающий мир. Как думаете, вы взяли все нужные учебники?

Что более вероятно:

                                -вы взяли все три нужных учебника;

                                -нужные и ненужные учебники;

                                -все три ненужных учебника?

(более вероятно, что будут нужные и ненужные учебники, а менее вероятно, что все три нужных).

Точные ответы на такие вопросы дает специальный раздел математики - теория вероятностей.

Выясним, что из себя представляет теория вероятностей.

Часто нам приходится сталкиваться с явлениями, наступление или не наступление которых заранее предвидеть нельзя. Нельзя заранее точно указать: выпадет герб или цифра при подбрасывании монеты, окажется выигрышным или невыигрышным приобретённый билет лотереи, попадёт или не попадёт пуля в цель при одном выстреле. Такие явления называются случайными. Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти. Очень важным здесь являются УСЛОВИЯ.

В возникновении теории вероятностей свою роль сыграли азартные игры. Азартные игры появились в глубокой древности. В азартных играх в качестве игральных костей использовались кости животных – астрагалы, так как при бросании они могли падать на четыре разные стороны.

Большинство первых задач теории вероятностей связано с азартными играми. Именно они послужили материалом, на котором изучались закономерности случайных явлений, в таких задачах легко показать, как подсчитать вероятности тех или иных возможных исходов.

Многие учёные проделывали опыт с монетой. Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в восемнадцатом столетии подбрасывал монету 4040 раз – герб выпал 2048 раз (соответственно цифра – 1992 раза). Математик К. Пирсон подбрасывал её 24000 раз – герб выпал 12012 раз (цифра – 11988 раз). Американские экспериментаторы подбрасывали монету 10000 раз,  герб выпал 4979 раз (цифра – 5021 раз).

Теория вероятностей подобно другим наукам развилась из потребностей практики. Её возникновение относят к середине XVII, а годом становления теории вероятностей как науки считается 1654 год.

В разработку вопросов по теории вероятностей были вовлечены крупнейшие учёные. В первую очередь это Г. Галилей, Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Я. Бернули, П. Лаплас. Подробно с этими учеными и их трудами вы познакомитесь в университете.

Задачи. Давайте рассмотрим основные понятия теории вероятностей на задачах.

1. В коробку сложим шарики разных цветов (синие, зеленые, красные, желтые). Будем доставать из коробки шарики. Это действие называется экспериментом (или опытом). Вытащенный шарик любого цвета – результат эксперимента, он называется событием. События обозначаются заглавными буквами А, В.
2. Назовите, что будет экспериментом, а что событием, если я подбрасываю монетку (подбрасывание монеты – эксперимент, выпадение решки или орла - событие).
3. Все события бывают: случайными, достоверными и невозможными. Как вы думаете, если из нашей коробки достать синий шар, какое это будет событие? (случайное). Случайное событие – событие, которое в данном опыте может произойти или не произойти.

Достали  из коробки черный шар (невозможное). Таких шаров просто нет. Событие, которое не может произойти в данном опыте – невозможное.

Оставим в коробке только желтые шары. Достали из коробки желтый шар (достоверное). В коробке нет шаров другого цвета. Событие, которое обязательно произойдет в данном опыте – достоверное. 

Оставим в коробке 1 зеленый и 1 желтый шар. События: достали зеленый шар и достали желтый шар считаются равновозможными, так как нет причины полагать, что одно событие является более возможным, чем другое. Шаров одинаковое количество в коробке.

4. Укажите, какие из событий являются достоверными (д), какие – невозможными (н), какие – случайными (с):

1. Вы выиграете автомобиль в лотерею.
2. В новогоднюю ночь вы подрастете на 10см.
3. После зимы наступит весна.
4. Из корзинки с яблоками и грушами взяли апельсин.
5. Из коробки с шарами всех цветов радуги достанут желтый шар.
6. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 выберут четное число.
7. При бросании монеты выпадет орел или решка.

Физкультминутка

Раз, два, три, четыре, пять (шаги на месте)!

Все умеем мы считать (хлопки в ладоши),

Отдыхать умеем тоже (прыжки на месте).

Руки за спину положим (руки за спину),

Голову поднимем выше (поднять голову выше)

И легко-легко подышим (глубокий вдох-выдох).

Подтянитесь на носочках столько раз,

Ровно столько, сколько пальцев (показали, сколько пальцев на руках)

На руках у вас (поднимаемся на носочках 10 раз). Молодцы!!!

5. Проведем эксперимент, который поможем нам определить формулу для подсчета вероятности.

Сложим в коробку 5 шаров: 3 красных и 2 желтых. Будем доставать по одному шару. Появление каждого шара из коробки – исход эксперимента. Все исходы будут равновозможными, потому что все шары одинаковые на ощупь, тщательно перемешаны. Значит, имеем 5 равновозможных исходов испытания.

Какова же вероятность того, что из коробки достанем шар красного цвета? Сколько раз в нашем эксперименте мог появиться красный шар? Три раза, так как в коробке 3 шара красного цвета. Значит, красный шар может появиться в трех случаях из всех пяти. Итак, всех возможных исходов эксперимента – 5, благоприятных из них (появление красного шара) – 3. Вероятность появления красного шара в данном эксперименте 3 из 5 или  .

Этот пример позволил нам получить формулу  подсчета вероятности, которая называется классической формулой

Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность любого события больше 0 и меньше 1. Подумайте, почему.

6. Проведем второй эксперимент. Подбрасываем игральный кубик. Ответьте на вопросы:

1. Какое число точек может выпасть на верхней грани при подбрасывании игрального кубика? (1, 2, 3, 4, 5, 6).
2. Какое число точек при подбрасывании игрального кубика выпадает чаще: больше 4, 4 или меньше 4? Почему?

Посчитайте вероятности каждого события:

1. Выпадение 4 точек.
2. Выпадение четного числа точек.
3. Выпадение нечетного числа точек.
4. Выпадение числа точек больше 4.
5. Выпадение числа точек меньше 4.

Какие из этих событий теоретически более возможны, менее возможны, равновозможны?

7. В коробке 14 шаров, из которых 2 красных, 3 зеленых, 4 синих, 5 желтых. Из коробки достают 1 шар. Определите, какова вероятность того, что этот шар  окажется желтым? Красным? Синим? Зеленым?

III этап. Задания на смекалку.

1. Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60 градусов, другой - угол 70 градусов. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо - в сторону более пологого или крутого ската? (петух яйца не несет)

2. Математический фокус.

1. Задумайте четное число;
2. это число умножьте на 3;
3. полученное произведение разделить на 2;
4. частное умножьте на 3.

Скажите мне, ваш результат, а я угадаю, какое число вы задумали. (Для нахождения задуманного числа надо разделить результат на 9 и затем частное умножить на 2.

IV этап. Подведение итогов

С чем познакомились сегодня на уроке: Проводили эксперимент – в результате событие.

Какие бывают события? (достоверные, невозможные, случайные)

Как посчитать вероятность события? (Посчитать все равновозможные исходы, все благоприятствующие исходы и разделить вторые на первые).

V Домашнее задание

1. Придумайте по три примера событий: достоверных, невозможных, случайных.
2. Проделайте опыт с монеткой: подкиньте ее как можно большее число раз и запишите число выпадений решки и орла из числа возможных (в виде дроби).
3. Подумайте и запишите. В коробке 10 шаров, из них 6 белых, 4 черных. Из коробки достают 1 шар. Определите, какова вероятность того, что этот шар  окажется черным? Белым? Красным?

Примечание. Занятие было разработано для учащихся 5 класса, посещающих дополнительные занятия в Центре работы с одаренными детьми. Его структура отличается от структуры обычного урока.

Список использованных источников

1. Блох А. Ш., Юркевич А. В. Первые темы теории вероятностей. Учебно-методическое пособие. Мн., 1978.
2. Каменкова Н. Г. Элементы теории вероятностей: Учебное пособие. СПб, 2011.
3. Материалы дистанционной математической школы. ООО «Школа плюс», 2009г.
4. Юркевич А. В., Шербаф А. И., Жавнерко В. В. Об одном способе изложения теории вероятностей в школе //Новые технологии в системе непрерывного образования. Т. 2. Мн., 2010.