Методика решения задач экономического содержания при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня
статья по алгебре (11 класс)

Методика решения задач экономического содержания при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня

Автор:Бушкова М.Г.,

учитель МОУ Школа с. Белоярск

Цель: разработать методику решения задач экономического содержания с целью использования ее при подготовке учащихся к ЕГЭ по математике профильного уровня.

Базовые знания, умения, навыки, которые должны быть сформированы у учащихся для успешного решения финансовой задачи:

1. Понимать, что такое кредит, процентная ставка кредита, повышающий коэффициент, сумма выплат.
2. Уметь решать задачи на нахождение процентов от величины.
3. Знать формулу повышающего (понижающего) коэффициента.
4. Уметь моделировать задачу.
5. Владеть хорошими вычислительными навыками.

Перед каждым педагогом стоит задача: разработать тип занятия с учениками, который приведет к полному пониманию учениками сути финансовых задач, поможет избежать ошибок и научит их рационально выполнять решения.

Предлагаю вашему вниманию задачу.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

 - каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

 - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

 -в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Сколько млн рублей составит общая сумма после погашения кредита?

Платежи, при которых происходит равномерное изменение величины долга, называются дифференцированными. Основным признаком задачи на дифференцированные платежи является фраза «…в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года».

При чтении данной задачи мы встретили величины:

S = 8 млн р. – сумма кредита,

r = 15% = 0,15 – процентная ставка,

n = 10  – количество лет, на которые был взят кредит,

 млн р. – сумма, на которую долг в июле уменьшается по сравнению с долгом в июле предыдущего года.

Для удобства обозначим буквой dвеличину ,  т.е. d = . Отсюда, S = nd.

Конечно, некоторые из вас предложат решить задачу с помощью последовательности арифметических действий. Но, во-первых, есть вероятность допустить вычислительную ошибку, а, во-вторых, очень полезно с учениками выстроить модель в общем виде. Модель, в которой используются только переменные, поможет нам проследить за поведением величин, увидеть некоторые закономерности.

Для построения модели будем работать с переменнымиS, r,d. В числовом выражении оставим только количество лет.

Ученики под руководством учителя сами могут предложить удобный вариант таблицы. Название столбцов также пусть придумывают сами. При составлении таблицы нужно работать в соответствии с текстом задачи и соблюдать логическую последовательность действий.

Один из вариантов таблицы может выглядеть так:

Год, когда в июле месяце был взят кредит, обозначим через нуль(это важно).

Прежде чем начать заполнять таблицу, нужно вывести формулу, связывающую все три столбца. Следуя логике вещей, ученики без затруднений выведут ее самостоятельно:

Долг по состоянию на январь – Выплата = Долг по состоянию на июль

Предложите им записать эту формулу с помощью символов.

Например: .

Опыт показывает, что фраза «в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года» не всеми учениками бывает правильно понята. В этом случае ситуацию, описанную в этой фразе,можно смоделировать. Например, взять бумажную ленту и разделить ее на 10 равных частей.

Затем продемонстрировать, каким образом уменьшается долг.

 И т.д.

Ученики должны четко понять, что:

• наша лента – это первоначальный долг, а не долг, полученный после начисления процентов;
• одна доля – это и есть d = .

        Если эти моменты учениками поняты, можно попросить их заполнить весь третий столбец.

Руководствуясь фразой «каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года», заполните с учениками первый столбец.

После того, как первые три строки первого столбца будут заполнены, поговорите с учениками о закономерностях, которые прослеживаются в полученных выражениях. Это касается коэффициентов, стоящих при переменной d. Вывод, который ученики сделают: коэффициенты при переменной d на единицу меньше соответствующего значения n. И уже после этого они легко оформят ячейку в последней строке.

Желательно, чтобы ученики понимали, что означают выражения rS,r(S – d), r(S – 2d), …, r(S – 9d), и попробовали придумать название данным выражениям. После предложенных вариантов, остановитесь на названии «переплата». Это название понятно по смыслу и хорошо запоминается.

Итак, осталось заполнить второй столбец, показать ежегодные выплаты.

Обратите внимание учеников на формулу, которую они вывели в начале урока, .  Попросите их вывести формулу для переменной B:  B =

Предложите ученикам поработать на черновиках, а готовые выражения записать в ячейки второго столбца. Последовательно заполняя ячейки, ученики также обнаружат, что ежегоднаявыплата — это сумма переплаты и величины d.

Осталось еще раз прочитать вопрос и составить выражение, чтобы ответить на него. Общая сумма после погашения кредита – это сумма всех выражений из второго столбца. Но, если внимательно посмотреть, из каких слагаемых состоят эти выражения, то можно обнаружить, что во втором столбце 10 слагаемых d, 10 слагаемых rS и слагаемые – rd, – 2rd, …, – 9rd.

Таким образом, общая сумма выплат:

10d + 10rS – rd(1 + 2 + …9) = 10d + 10rS – 45rd  =

= 10*0,8 + 10*0,15*8 – 45*0,15*10,8= 8 + 12 – 5,4 = 14,6 (млн р.)

Ответ: 14,6 млн р.

 Нельзя не решить еще одну задачу, так как следующий обязательный этап – это закрепление полученных знаний, использование их в несколько измененных ситуациях. А еще желательно проделать ту же самую работу, но количество лет nуже не выражать числом. То есть вся модель должна быть выстроена в общем виде.

Для такой работы предлагаю следующую задачу.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

 - каждый январь долг возрастает на 17% по сравнению с концом предыдущего года;

 - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

 - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1, 95 млн рублей?

Решение:

S = 8 млн р. – сумма кредита,

r = 17% = 0,17 – процентная ставка,

n  - количество лет, на которые был взят кредит,

d =  млн р. – сумма, на которую долг в июле уменьшается по сравнению с долгом в июле предыдущего года.

В данном случае нет необходимости находить общую сумму выплат, так как вопрос состоит в том, чтобы указать минимальный срок, при котором наибольший годовой платеж по кредиту не превысил бы 1, 95 млн рублей.

В беседе о дифференцированных платежах нужно объяснить ученикам, что выплаты неравномерные, а наибольшая выплата – это первая выплата.

Следовательно,

rS + d

rS +

0,17*8 +

Решив неравенство относительно n, получим: n.

Так как nN, то минимальный срок n = 14 лет.

Ответ: 14 лет.

Задача для самостоятельного решения.

15 декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

 - со2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

 - с 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тыс. рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

 - к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой будет долг 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тыс. рублей?

Заключение.

Задача учителя - организовать работу с учащимися таким образом, чтобы экономические задачи стали для выпускников привлекательными. Умение их решать поможет им не только получить желанные баллы на экзамене, но и поможет разобраться в простых жизненных ситуациях в дальнейшей жизни.

Используемая литература:

1. Материалы образовательного портала ege.sdamgia.ru.