«Методика подготовки учащихся к ЕГЭ по математике. Решение текстовых задач»
учебно-методический материал по алгебре (11 класс)

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования Московской области

«Академия социального управления»

кафедра математических дисциплин

Итоговая  практико-значимая  работа по курсу

«Особенности методики обучения математике при подготовке школьников к итоговой аттестации»

по теме: «Методика подготовки учащихся к ЕГЭ по математике. Решение текстовых задач»

Выполнил(а) слушатель Ашурова Замира Юсуф-Ахуновна учебного курса

«Особенности методики обучения математике при подготовке школьников к итоговой аттестации

учитель математики МБОУ г.Пушкино «Образовательный комплекс №1»

Руководитель курса: к.п.н., доцент кафедры математических дисциплин Кашицына Ю.Н.

                                      Сергиев-Посад  2023

Введение.

Текстовые задачи – традиционно трудный материал для значительной части школьников на ГИА и ЕГЭ. Вместе с тем, задачи играют важную роль в организации учебно-воспитательного процесса. Они являются и целью, и средством обучения, и математического развития школьников. С задачами (житейскими, производственными, научными и др.) человек встречается ежедневно. Научиться решать задачи, понимать их сущность, владеть общими методами поиска их решения чрезвычайно важно. И овладение умениями решать текстовые задачи является существенным фактором математического образования: они представляют собой мощное орудие формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся. Во многом это связано с необходимостью четкого осознания различных соотношений между описываемыми в тексте задачи объектами.

Большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач, об этом можно судить по статистическим данным анализа результатов проведения ЕГЭ: решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет около 40-50%.

Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе С помощью текстовой задачи формируются важные обще-учебные умения, связанные с анализом текста, выделением главного в условии, составлением плана решения, проверкой полученного результата и, наконец, развитием речи учащегося. В ходе решения текстовой задачи формируется умение переводить ее условие на математический язык уравнений, неравенств, и систем уравнений и неравенств.

Актуальность выбранной темы определяется тем, что далеко не все ученики основной школы осваивают алгебраический метод решения текстовых задач даже на базовом уровне. Причин тому великое множество. Одни из них носят общий характер:  устоявшийся страх перед задачей, отсутствие общих представлений о рассматриваемых в задачах процессах, неумение устанавливать, что дано в задаче, что надо найти, выявлять по тексту взаимосвязи рассматриваемых в задаче величин и т. п.  Другие свидетельствуют о несформированности определенных умений и навыков: незнание этапов решения задачи, непонимание содержания и цели собственной деятельности на каждом из них, неумение решать уравнения или неравенства (или их системы) определенного вида, неумение производить отбор корней уравнения или решений неравенства в соответствии с условием задачи и т. д. Недостатки в овладении необходимыми приемами рассуждений, незнание общих методов решения задач не дают возможности многим школьникам успешно работать над конкретной задачей.

Основные цели решения текстовых задач в школьном курсе математики:

-научить переводить реальные предметные ситуации в различные математические модели,

- Обеспечить усвоение учащимися основных методов и приемов решения учебных математических задач.

Этапы решения задач.

Процесс решения задачи можно разделить на 4 основных этапа:

Осмысление условия задачи (1 этап).

1). Умение анализировать требование задачи.

Под анализом требования задачи понимается выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи.

2). Умение анализировать условие задачи.

Под анализом условия задачи можно понимать выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему.

Составление плана решения задачи (2-й этап).

Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе (или решающему задачу ученику) вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.

Осуществление плана решения задачи (3-й этап).

План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам:

1). Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершён правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.

2). Обратить внимание учащихся на необходимость выбора такого способа оформления решения, чтобы зафиксировать решение в краткой и ясной форме.

Изучение найденного решения задачи (4-й этап).

Заключительный этап является необходимой и существенной частью решения задачи. Основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения, формулирование и решение (если это окажется возможным) других задач, явно связанных с решенной, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения. Начинать поиск решения задачи можно лишь тогда, когда ее условие полностью понято. Начинать поиск решения задачи можно лишь тогда, когда ее условие полностью понято .На ранее перечисленных этапах решения задачи самоконтроль проявляет себя как естественная неотрывная составляющая поисковой деятельности, которая может и не осознаваться учеником. Последнему этапу решения задачи - проверке и исследованию полученного решения присвоен особый статус этапа, на котором осуществляется самоконтроль.

В методике преподавания математике выделены различные формы самоконтроля, проводимые после завершения этапа реализации намеченного плана.

Вот примеры таких форм.

1. Проверка совпадения размерности ответа с требованием задачи. Например, при нахождении пути значение скорости (км /ч) умножается на значение времени (ч). Умножение наименований должно дать наименование длины (км ).

2. Проверка ответа по здравому смыслу. Например, скорость пешехода не может быть равной 15 км/ч, количество рабочих не может быть дробным и т. д. (Предложить детям задать вопрос «Может ли такое быть?»)

3. Проверка с помощью грубой прикидки. При этом данные грубо округляются, и выясняется порядок возможного результата.

4. Проверка совпадения размерности ответа с требованием задачи. Например, при нахождении пути значение скорости (км/ч) умножается на значение времени (ч). Умножение наименований должно дать наименование длины (км). 

Стандартная схема решения таких задач включает в себя:

1.Выбор и обозначение неизвестных. 

2.Составление уравнений (возможно неравенств) с использованием неизвестных и всех условий задачи. 

3.Решение полученных уравнений (неравенств).

4.Отбор решений по смыслу задачи.

План подготовки уч-ся к решению текстовых задач.

1. Вводное занятие. Понятие текстовой задачи.

Типы текстовых задач. Алгоритм решения текстовых задач.

Понятие текстовой задачи, этапы решения текстовой задачи, наглядные образы как средство решения математических задач, рисунки, схемы, таблицы, чертежи при решении задач, арифметический и алгебраический способы решения текстовой задачи.

2. Задачи на проценты.

Понятие процента, вводные задачи на доли, задачи на дроби, задачи на пропорции, процентное отношение, нахождение числа по его процентам, типы задач на проценты, процентные вычисления в жизненных ситуациях:( распродажа, тарифы, штрафы, банковские операции, голосования), примеры решения задач, процентные расчеты на ЕГЭ, процентные изменения, простой и сложный процентный рост, задачи, связанные с изменением цены, задачи о вкладах и займах, формула сложных процентов.

3. Задачи на смеси и сплавы.

Задачи на смеси и сплавы, основные допущения при решении задач на смеси и сплавы, задачи, связанные с понятием «концентрация», «процентное содержание», объёмная концентрация, исследовательская работа, процентное содержание, формула сложных процентов.

4. Задачи на работу.

Понятие работы, понятие производительности, алгоритм решения задач на работу, вычисление неизвестного времени работы ;путь, пройденный движущимися телами, рассматривается как совместная работа ;задачи на бассейн, заполняемый одновременно разными трубами, задачи, в которых требуется определить объём выполняемой работы,

задачи, в которых требуется найти производительность труда, задачи, в которых требуется определить время, затраченное на выполнение предусмотренного объёма работы, система задач, подводящих к составной задач.

5. Задачи на движение.

Задачи на движение.

Движения навстречу друг другу, движение в одном направлении, движение в противоположных направлениях из одной точки, движение по реке, движение по кольцевым дорогам, средняя скорость, движение протяженных тел.

Задачи на движение.

При решении задач на движение принимают следующие допущения:

- движение считается равномерным, если нет специальных оговорок;

- изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

         - скорость считается числом положительным;

         - если тело движется по течению реки, то его скорость V слагается из скорости       в стоячей воде V1 и скорости течения реки V2, V=V1+V2, если против течения реки, то скорость равна V=V1-V2;

          - если два тела начинают движение одновременно (если одно тело догоняет другое), то в случае, если они встречаются, каждое тело с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время;

          - если тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает время больше то, которое выходит раньше.

Основные соотношения.

• V= - скорость движущегося объекта прямо пропорциональна пути S и обратно пропорциональна времени t;
• t=–время, за которое 2 объекта, движущиеся навстречу друг другу со скоростью V1 и V2, преодолевают начальное расстояние So;
• t= - время, за которое 2 объекта, движущиеся в одном направлении со скоростью соответственно V1 и V2 (V1>V2) преодолевают начальное расстояние между ними, равное So и 1 объект догонит 2;
• Задачи, связанные с движением двух тел удобно решать, если занести исходные данные в таблицу:

Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку) 

Объекты, начавшие двигаться навстречу друг другу одновременно, движутся до момента встречи одинаковое время.

В первой модели рассматривается как бы совместная скорость сближения, как сумма двух скоростей и поэтому время сближения считается так: t = S/v1+v2 .Объекты, начавшие двигаться навстречу друг другу одновременно, движутся до момента встречи одинаковое время. В задачах на движение есть две стандартные модели: движение навстречу друг другу и движение вдогонку.

Встречное движение. 

Задача 1. Из городов А и В, расстояние между которыми 480 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Из города  А со скоростью  55 км/ч, а из города  В со скоростью 65 км/ч. Найдите расстояние от города А, где они встретятся.

Решение: время до встречи находится по формуле  t=и равно 4 часа. Расстояние от города А до места встречи равно S=4*55=220 км.

 Во второй модели время, за которое объект, идущий сзади с большей скоростью v1, догонит другой объект, идущий с меньшей скоростью v2, считается так: t = S/v1−v2, где S - расстояние между объектами в начальный момент времени.

Задача 2. Два пешехода отправляются из аптеки в одном направлении на прогулку по набережной. Скорость 1 на 0,5 км/ч больше скорости 2. Найти время в минутах, когда расстояние между ними станет 200 м.

Решение: время в часах, за которое расстояние станет между ними 200 м, т.е. 0,2 км считается по формуле  t==0,4 (ч). Значит через 24 минуты расстояние между ними будет 200 м.

Задача 3. Первый турист, проехав 1,5 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу 1 туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле 2 турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем 2 турист догонит 1?

Решение: 1 турист вышел в путь на 4 ч раньше 2

        А  I→     1,5ч                        В                1 ч        Д

               II→                                1,5                         I,II

В точке В он сделал остановку на 1,5 ч. 2 турист догнал 1 в точке Д. Чтобы проехать расстояние АД, 1 турист затратил больше времени, чем 2, на 2,5 ч. (4-1,5=2,5 ч)

Пусть х- расстояние от А до Д (в км). Тогда t1=ч - время 1 туриста на АД;

t1=ч-время 2 туриста на АД.

t1-t2=2,5 ч. Составим и решим уравнение

=2,5

х=56

Ответ: 56 км. 

Движение в противоположных направлениях

В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки:

а) одновременно;

б) в разное время.

А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.

Общим теоретическим положением для них будет следующее:

V удал. = v1+ v2, где v1 и v2 соответственно скорости первого и второго тел.

.

 Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 72 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 6 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:6км/ч

Движение по воде.

При движении по течению реки скорость объекта складывается из его скорости в стоячей воде и скорости течения реки. При движении против течения реки, скорость объекта равна разности скорости объекта в стоячей воде и скорости течения реки. Движущийся плот всегда имеет скорость течения реки.

• В задачах на движение по воде необходимо помнить формулы:

Vпо теч = Vсоб+Vтеч

Vпротив теч = Vсоб-Vтеч

Vсоб =

• Скорость плота считается равной скорости реки.

Задача 1. В 9ч баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в В; 2 ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19ч 20 мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоянна, определить, в котором часу баржа прибыла в В. Расстояние от А до В 60 км.

Решение:

Обозначим собственную скорость баржи через х км/ч . Тогда время , затраченное на движение по течению реки, составляет ч, а против течения ч. Всего было затрачено -9-2=(ч).

Составим уравнение и решим его:

, х1=15;  х2= - 0,6-не удовлетворяет условию.

Время, затраченное на движение против течения реки, (ч). Значит, баржа прибыла в пункт В в 14 часов.

Движение по замкнутой трассе. 

Движение по замкнутой трассе (допустим по стадиону) похоже на движение вдогонку: если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями соответственно v1 и v2 (v1 больше v2), то первый бегун приближается ко второму бегуну со скоростью v1−v2 и в момент, когда первый бегун догоняет второго бегуна, то первый бегун как раз проходит на один круг больше второго. И поэтому время считается так: t = S/v1−v2.

Задача. Из одной точки круговой трассы, длина которой 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость  1 автомобиля 80 км/ч и через 40 минут после старта, он опережает 2 автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость 2 автомобиля.

Решение:

Примем скорость 2 автомобиля за х км/ч и учтем, что 40 мин = ч, тогда , значит 160-2х=48, тогда х=56

Ответ: 56 км/ч

Задачи на определение средней скорости

Чтобы определить среднюю скорость при неравномерном движении, надо весь пройденный путь разделить на все время движения. Средняя скорость. Если S - путь пройденный телом, а t - время за которое этот путь пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле: v = S/t. Если путь состоит из нескольких участков, то для нахождения средней скорости на всем пути, надо весь пройденный путь разделить на сумму времени, затраченного на каждый участок пути

Если S-путь, пройденный телом, а t-время, за которое этот путь пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле:

Задача. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.

Решение: пусть весь путь 3S, тогда первую треть трассы велосипедист проехал за время , вторую треть последнюю треть- за время . Значит, время потраченное на весь путь находится так: и поэтому, средняя скорость вычисляется так (км/ч)

Ответ: 16 км/ч

Задачи на движение протяженных тел.

В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо придорожного столба, идущего параллельно путям пешехода, лесополосы определенной длины, другого двигающегося поезда. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае — расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

При решении задач на движение двух тел часто очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи.

Задача 1. Поезд,  двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.

Решение: V=60 км/ч=1000 м/мин, t=30 сек=мин. Найдем длину поезда как пройденное расстояние S=V*t=1000*=500 (м)

Задача 2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой 800 м, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Решение: V=90 км/ч=1500 м/мин, t=1 мин. Найдем длину поезда как пройденное расстояние S=V*t=1500*1=1500 плюс длина лесополосы 800 м и получим длину поезда 2300 м.

Задачи на производительность

Задачи на совместную работу

Задачи на выполнение определенного объема работы по своему решению очень схожи с задачами на движение: объем работы выполняет роль расстояния, а производительность выполняет роль скорости. В тех случаях, когда объем работы не задан, его принимают за 1.

При решении задач, связанных с выполнением определенного объема работы, используют следующие соотношения:

• A=V*t, где А- количество работы, t-время выполнения работы, V-производительность труда, т.е количество работы, выполняемой в единицу времени.
• Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним работником за t1, а вторым за t2, то производительность труда при их совместной работе Vсовм=; tсовм=

Задача 1. Первый рабочий может выполнить некоторую работу за a часов, а второй за b часов. Определите время, за которое оба рабочих выполнят работу вместе.

Решение: вся работа 1, тогда производительность 1 рабочего , производительность 2 рабочего , а совместная производительность равна , значит, всю работу совместно два рабочих выполнят за время

Задача 2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит работу первый, если он за 2 дня работы выполнит такую же часть работы, какую второй рабочий за 3 дня.

Решение:

Пусть х - производительность 1 рабочего, у- производительность 2. Вся работа 1. Двое рабочих выполнят всю работу за 12 дней, значит (х+у)*12=1. За 2 дня работы 1 выполняет такую же работу, как и 2 за 3 дня, значит 2х=3у. Составим систему

;

у=

, значит, 1 рабочий выполнит работу за 20 дней.

Ответ: 20 дней.

Задача 3. Две бригады совместно должны убрать поле за 4 дня. Если первая бригада проработает 1 день, а вторая 4 дня, то будет выполнена половина работы. За сколько дней может убрать все поле каждая бригада?

Решение:

Обозначим через t1-число дней, за которое может убрать поле 1 бригада, а через t2-время работы 2 бригады. Тогда за 1 день 1 бригада может убрать часть поля, а 2- часть поля. Так как 2 бригады совместно убирают поле за 4 дня, то . Используя второе условие задачи, получим  Составим систему

⬄ ⬄⬄

Ответ: время работы 1 бригады 6 дней, 2 бригады-12 дней.

Задачи на бассейны и трубы.

Задачи на бассейны и трубы аналогичны задачам на совместную работу. Математическая модель задачи сохраняется, только рабочим будут соответствовать насосы разной производительности, а объем работы будет представлять наполнение бассейна водой.

Задача 1. Две трубы наполняют бассейн за 4 часа, а одна первая труба наполняет бассейн за 5 часов. Найдите время наполнения бассейна одной второй трубой.

Решение: заполняем таблицу

Найдем , значит, время наполнения бассейна одной второй трубой  20 часов.

Задача 2. При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2  раза, а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта.

Решение:

Пусть объем бассейна 1, тогда время его заполнения до ремонта 1 насосом- х часов, а вторым - y часов. Значит, - производительность первого насоса до ремонта, а - производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, составим уравнение: , т.е

1,2*- производительность 1 насоса после ремонта, а 1,6*- производительность 2 насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, составим уравнение: , т.е

Составим систему:

Умножим первое уравнение на 0,9 и вычтем из него второе, получим:

у=24

х=12;   1,2*

По формуле t=найдем (ч)

Ответ: 10 часов.

Задачи на проценты, концентрацию, смеси, сплавы.

Задачи на проценты, концентрации, смеси  и сплавы встречаются не только в математике, но и в химии, где рассматриваются различные соединения. Они вызывают затруднения у школьников, в частности, у выпускников. Причина такой ситуации заключается в том, что тема «Проценты» изучается в 5 классе, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на проценты не возвращаются в старших классах.

С 2004 года изменился характер текстовых задач в КИМах ЕГЭ. Стали включаться задачи, сюжеты которых близки к реальным ситуациям (экономическим, финансовым, деловым, игровым и пр). Решение этих задач основывается на использовании различных математических моделей, уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной и др.

Задачи на проценты

При решении задач на проценты необходимо уметь находить процент от числа, число по его проценту, процентное отношение. Основная трудность лежит при решении задач на сложные проценты-проценты, начисляемые на процентные деньги.  

• Для того, чтобы записать проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, которое стоит перед знаком %, разделить на 100

Пример: 1) 24%=24:100=0,24; 2) 700%=700:100=7

• Для того, чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%

Пример: 1) 0,57=0,57*100%=57%; 2) 2,9=2,9*100%=290%

Основные типы задач на проценты

1. Нахождение p% от числа b.

Если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством 100%*a=p%*b или или

2. Нахождение числа а по данному проценту р%

Если р% какого-нибудь числа а равно b, то эти числа связаны равенством

3. Нахождение процентного отношения чисел a и b.

Число a составляет от числа b

4. Увеличения на p%

Если число a увеличено на р%, то оно увеличено в раз, то получится число

5. Уменьшение на q%

Если уменьшено на q%, , то оно уменьшено в раз, то получится число

6. Начисление простых процентов при многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину: , где a-исходная сумма, S-наращенная сумма, р% - процентная ставка, n- число периодов начисления.
7. Начисление сложных процентов

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами:

n, где а - исходная сумма, S-наращенная сумма, р%- процентная ставка, n - число периодов начисления.

Задача 1. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е начисленная сумма присоединяется к вкладу на данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение:

В конце 1 года сумма составит 55000 рублей. Теперь начисляем 10% от этой суммы и получаем сумму в конце 2 года 60500 руб. Чтобы узнать весь доход за три года находим 110% от 60500, а это число равно 66550. Итак, по истечении всего срока доход составляет 16550 руб.

Задача 2. Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?

Решение:

Если Женя весил х кг, то после уменьшения веса на 20% он стал весить 0,8 кг, а после увеличения веса на 30%-0,8х*1,3кг и т.д, в итоге Женя весил 0,8х*1,3*0,8*1,1 или 0,9152х кг, что меньше х кг. Значит, Женя похудел.

Задача 3. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

Решение:

Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100-99=1 (%). Это 20*0,01=0,2 (кг). Т.е те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02=10 (кг)

Ответ: 10 кг.

Задача 4. В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько % составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

Решение:

Число мальчиков составляет 80% от числа девочек (100%). Определим, сколько % составляет 100% от 80%

Задача 5. Цена некоторого товара была сначала повышена на 10%, затем еще на 120 руб., и, наконец еще на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате повышение составило 31,25%?

Решение:

Пусть х рублей - первоначальная цена товара. После первого повышения она стала равной рублей, затем стала равной

1,155х+126=1,3125х

0,1575х=126

х=800

Ответ: первоначальная цена товара 800 руб.

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы

Задачи этого раздела вызывают наибольшие затруднения. Очень важно разобраться в самом тексте задачи. Необходимо научиться расчленять такую задачу на ряд простейших.

В таких задачах используются понятия «концентрация», «процентное содержание», «влажность».

Если смесь (сплав, раствор) имеет массу m, и состоит из трех веществ массой m1 ,m2, m3, то величины , , называются концентрациями соответствующих веществ. Величины *100, *100, *100 называются процентным содержанием этих веществ. Тогда , т.е концентрации двух веществ определяют концентрацию третьего вещества.

При составлении уравнений обычно прослеживается содержание какого-либо одного вещества из тех, которые смешиваются (сплавляются).

Задача 1. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый , массой 300 г, содержит 20% олова. Второй , массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько % олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение:

До сплавления в этих кусках было г олова. После 200+300=500 (г) будет содержать %=28(%).

Ответ: 28%

Задача 2. Сколько нужно взять 5%-го и 25%-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10%-го раствора кислоты?

Решение:

Пусть надо взять( х)л первого раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято 0,1*4=0,4 или 0,05х+0,025(4-х)

Составим уравнение

0,05х+0,25(4-х)=0,4

х=3

Надо взять 3л. первого раствора и 4-3=1 (л)-второго.

Задача 3. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10% - м и получили 600 г 15% - го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение:

Пусть 30%-го раствора взято (х)г, а 10%-го-(у )г, тогда х+у=600. Т.к. первый раствор 30%-ный, то в (х)  г этого раствора содержится (0,3х)г   кислоты. В (у) г 10%-го раствора содержится (0,1 у)г  кислоты.

В полученной смеси содержится 600*0,15=90 (г) кислоты, значит 0,3х+0,1у=90

Составим систему:

Ответ: 150 г; 450 г

Задача 4. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?

Решение:

Пусть (х)г- масса 50%-й кислоты

         (у)г- масса 70%-й кислоты

(0,5х) г- масса чистой кислоты в смеси

Составим уравнение:

0,5х+0,7у=0,65(х+у)     :

Ответ: 1:3

Заключение

Для того чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения. Редкие ученики могут сделать это самостоятельно. Надо помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи. Нельзя забывать, что "умение решать задачи есть искусство, приобретаемое практикой". При подготовке к ЕГЭ ученики решают задачи на движение, работу, производительность труда, процентный прирост, процентное содержание и др. Имея опыт решения текстовых задач не только с помощью составления уравнений, но и арифметическим способом, они выбирают наиболее рациональный способ решения задачи. Представленный выше материал предназначен для итогового повторения темы «Текстовые задачи» с целью подготовки к Единому государственному экзамену.

Здесь были рассмотрены основные теоретические вопросы для быстрого повторения, примеры задач, аналогичных экзаменационным, с комментариями к ним. Большей частью это подготавливающие и обучающие задания, нежели контролирующие. Этот материал поможет старшеклассникам систематизировать свои знания по данной теме, подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ по математике и поступить в ВУЗ.

Список литературы:

1. Андреянов П.А и др. Математика. Текстовые задачи и производная на вступительном экзамене. в ВУЗ без репетитора.- М.- ТОО «Община», 1992.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1981.

3. Корешкова Т.А., Мирошин В.В., Шевелева Н.В. ЕГЭ-2011. Математика. Тренировочные задания.- М.: Эксмо, 2010.

4. Кочагин В.В. ЕГЭ – 2008. Математика. Сборник заданий / Кочагин В.В., Кочагина М.Н. – М.:  Эксмо, 2008.

5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М «Просвещение» 1990.

6. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.М. Математика. Методы решения задач для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 1995.

7. Соловейчик И.В. Математика. – М.: Первое сентября, 2004.

8. Студенецкая В.Н., Гребнева З.С. Решение задач и выполнение заданий по математике с комментариями и ответами для подготовки к Единому государственному экзамену. – Волгоград: Учитель, 2005.

9. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. сред. шк.- М: «Просвещение», 1989.

10. Шевкин А.В. Текстовые задачи: 7 – 11 классы: Учебное пособие по математике. – М.: «ТИД «Русское слово - РС», 2003.