Применение матанализа при решении физических задач
Тема: Исследование функции и построение графиков.

Цель: знать формулы дифференцирования; правила  

дифференцирования ;научить применять методы математического анализа при решении физических задач; продолжить работу по ознакомлению учащихся с методами научного познания мира; закрепить навыки вычисления производной для нахождения физических величин и построения графиков; продолжить развитие навыков совместной работы в группе малого состава; воспитывать самостоятельность, воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Межпредметная связь: экономика, элекротехника, тех.мех.,физика, химия, география, биология.

Оборудование:  плакаты с теоретическим материалом в таблицах, карточки с основными формулами, карточки- задания.

1. Организационный этап.

2. Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Решение:

1. Найти значение производной функции  в точке t = 3. (Ответ: 21.)

2. Составить уравнение касательной к графику функции в точке t = 3. (Ответ: у = 21х-45.).

3. Найти скорость движения тела и ускорение в момент времени t=3c , если закон движения задан формулой . (Ответ: 21м/c, 16 м/с²).

4. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке t = 3. (Ответ: 21.).

5. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке t = 3 и определите вид угла между касательной и положительным направлением оси Ox. (Ответ: tgα, угол α - острый)

3. Воспроизведение и коррекция опорных знаний

Постановка цели урока

Преподаватель математики. «Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон», – этими словами Александра Попа [англ.поэта 18 века]  начнём интегрированный урок физики и математики. На прошлых уроках мы говорили, что понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Через производную по времени координаты точки можно выразить механические величины (силу, импульс, кинетическую энергию), через производную магнитного потока – электрические величины (например ЭДС индукции), через производную заряда – силу тока и т.д. Сегодня мы продолжаем разговор о применении производной и использовании математического анализа для решения физических задач.

В начале урока в процессе игры «Поле чудес» мы проверим, как вы усвоили простейшие физические задачи, связанные с производной.

Проверка знаний

Напомню правила игры:

У каждого ученика на столе лежит карточка с задачами, ее нужно решить, не забывая, что каждая физическая величина имеет единицу в СИ; по таблице (таблица на экране компьютера ) определить и назвать какая буква соответствует вашему ответу и номеру карточки. Должна получится «крылатая» фраза римского философа Цицирона («Недостаточно обладать мудростью, надо уметь пользоваться ею»).

Начало игры. Учитель записывает номера задач, выбираемых каждым учеником; на столах – кодовые таблицы, на доске – итоговая таблица, в левой строке которой – номера задач, в правую строку надо вписать буквы, из которых складывается фраза»: «Недостаточно обладать мудростью, надо уметь пользоваться ею».

Окончание игры. Награждение победителей, оценка активных игроков, подведение итогов.

Кодовая таблица

Задания «Поле чудес»

1. Тело движется прямолинейно по закону x(t) = 2t3 – 2,5t2 + 3t + 1 (х выражена в метрах, t – в секундах). Найти скорость тела при t = 1 с.

2. Тело движется прямолинейно по закону (х выражена в метрах, t – в секундах). Найти скорость при t = 1 с.

3. Заряд q изменяется по закону q(t) = 0,4t2 (q выражен в кулонах, t – в секундах). Найти силу тока при t = 10 с.

4.Тело массой 500 г движется прямолинейно по закону X (t) = t3 –  t2 + 2t – 1

( х - выражена в метрах, t – в секундах). Найти силу, действующую на это тело в момент t =2 с. 

5Определить скорость колеблющегося тела в момент t = 2 c, если координата изменяется по закону x (t) = 2 sin 2πt (x выражена в метрах, t – в секундах).

6.Тело массой 1 кг 200 г движется прямолинейно по закону

x(t) = t3 – t2 + 2t – 1

(x выражена в метрах, t – в секундах). Найти импульс при t = 3 c.

7.Определить ускорение колеблющегося тела при t = 6 c, если его координата изменяется по закону x (t) = sin  t 

(x выражена в метрах, t – в секундах).

8. Тело массой 300 г движется прямолинейно по закону x (t) = 6t3 + 2t – 7 (x выражена в метрах, t – в секундах). Найти силу, действующую на это тело при t = 3 c . 

9.Тело массой 4,2 кг движется прямолинейно по закону

x (t) = 2t3 + t2 - 6t + 3

(x выражена в метрах, t – в секундах). Найти кинетическую энергию тела при t = 1 с.

10.Температура тела Т изменяется в зависимости от времени по закону

Т(t) = 0,2t2 (Т выражена в Кельвинах, t – в секундах). Какова скорость изменения температуры при

t = 3 ⅓ с?

11. Заряд q изменяется по закону q (t) = 0,4t2 + 1,2t (q выражен в кулонах, t – в секундах). Найти силу тока при t = 4 c .

12. Тело массой 200г движется прямолинейно по закону

х(t) =6t3 = 2t – 7

(х- выражена в метрах, t –в секундах). Найти силу , действующую на это

тело в момент t = 3 с.

13. . Тело массой 20 кг движется прямолинейно по закону

х(t)=_ +  + 0,5

(х- выражена в метрах,t – в секундах). Найти силу , действующую на это

тело в момент t = 3 с.

14. Заряд q изменяется по закону q (t) = 3t2 + 4t (q выражен в кулонах,

t – в секундах). Найти силу тока при t = 6 c .

15. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)= 2,5t(t-1)

(φ –выражен в радианах, t – в секундах). Найти угловую скорость при t = 8с

16. Маховик вращается по закону φ(t)= t4 -1

(φ –выражен в радианах, t – в секундах). Найти угловую скорость при t = 2 с

17. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону

х(t)= 2t3 + 2,5t2 +3t +1

(х- выражена в метрах,t – в секундах). Найти импульс тела  при t = 2 с.

18. Тело движется прямолинейно по закону

X(t)=  t3 + + 0,5

( x выражена в метрах, t – в секундах). Найти ускорение тела при t = 2 c. 

19. Температура тела Т изменяется в зависимости от времени по закону

Т(t) = 0,5t2 –2t(Т выражена в Кельвинах, t – в секундах). Какова скорость изменения температуры при t = 8 с?

4. Обобщение и систематизация знаний.

Решение задач

  Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, оптимального решения поставленной задачи: как добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальных затрат времени?

Не все задачи поддаются точному математическому описанию, не для всех найдены простые решения. Однако часть удается исследовать с помощью методов математического анализа, в частности те, которые можно свести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. При решении будем пользоваться методом математического моделирования.

Задача 1 (№ 321, учебник: А.Н.Колмогоров и др. Алгебра и начала анализа.)

Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир желает достигнуть села В, находящегося на расстоянии 5 км от А (участок берега считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час по суше пройти 5 км. К какому пункту С берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?

Анализ условия

Сделаем рисунок. Что знаем о длине отрезков АВ? АО? Сравним скорости по воде и по суше. Как можно попасть в точку В? Одинаковым ли будет это время при разных положениях точки С? Почему?

Решение

Применим метод математического моделирования.

1. Составим функцию. Пусть АС = x. Тогда СВ = 5 – x. Выразим время t, которое понадобится, чтобы достичь пункта B, как функцию от x:

2. Исследуем f(x) на наименьшее значение на отрезке [0; 5]. Найдем производную от функции, приравняем ее к нулю, найдем корни уравнения f'(x) = 0, вычислим значение функции в этих точках. Выберем значение x, для которого функция минимальна (ученик делает это у доски):

.
25x2 = 16 (9 + x2)  9x2 = 144   x2 = 16   x1,2 = ±4.

3. Ответ. Чтобы затратить на путь из O в B наименьшее время, надо высадиться в 4 км от A.

Аналогичная задача на практике: выбор наиболее «быстрого» пути для доставки груза.

(пауза: гимнастика для глаз)

На уроках физики нам довольно часто требуется установить зависимость одной физической величины от другой. Математические исследования могут помочь нам в этом.

Задача 2. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t) = (t –   

                5)(6 + 2t) + 50 (х выражена в метрах, t – в секундах). Найти силу  

                при t=4 с.

Задача 3. Заряд q изменяется по закону q(t) = t(0,25t – 1), причем (q выражен      в кулонах, t – в секундах). Найти силу тока при t=13 с.

5. Закрепление новых знаний

Задача 4.Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону j(t) = 1,5t2 –     

                0,1t (j выражен в радианах, t – в секундах). Найти угловую скорость  

                в момент времени t=2,7 с.

Задача 5. Маховик вращается по закону j(t) = t4 – 1 (j выражен в радианах, t – в секундах). Найти угловую скорость в момент времени t=2 с.

6. Окончание урока. Подведение итогов.

   Мы сегодня еще раз нашли точки соприкосновения двух наук – физики и математики. Говорят, что математика – служанка всех наук, в том числе и физики, – как бы не обижались математики. Зная математику, физики «вооружены», им по силам не только простые задачи. Галилей основал точное естествознание, Архимед в своих трудах по статике и гидродинамике дал образец применения математики в естествознании и технике, а великий Ньютон – математическое обоснование физических законов, для чего разработал дифференциальное и интегральное исчисления. И я рада, что вы овладеваете таким математическим аппаратом, чтобы познавать мир и объяснять его. Вы это сможете. Сегодня вы начали учиться делать это. Спасибо всем, урок окончен.

7. Рефлексия.

Палец — большой вверх для положительной оценки, вниз — для отрицательной.

Задания «Поле чудес»

1. Тело движется прямолинейно по закону x(t) = 2t3 – 2,5t2 + 3t + 1 (х выражена в метрах, t – в секундах). Найти скорость тела при t = 1 с.

2.Тело движется прямолинейно по закону (х выражена в метрах, t – в секундах). Найти скорость при t = 1 с.

3. Заряд q изменяется по закону q(t) = 0,4t2 (q выражен в кулонах, t – в секундах). Найти силу тока при t = 10 с.

4.Тело массой 500 г движется прямолинейно по закону X (t) = t3 –  t2 + 2t – 1

( х - выражена в метрах, t – в секундах). Найти силу, действующую на это тело в момент t =2 с. 

5Определить скорость колеблющегося тела в момент t = 2 c, если координата изменяется по закону x (t) = 2 sin 2πt (x выражена в метрах, t – в секундах).

6.Тело массой 1 кг 200 г движется прямолинейно по закону

x(t) = t3 – t2 + 2t – 1

(x выражена в метрах, t – в секундах). Найти импульс при t = 3 c.

7.Определить ускорение колеблющегося тела при t = 6 c, если его координата изменяется по закону x (t) = sin  t 

(x выражена в метрах, t – в секундах).

8. Тело массой 300 г движется прямолинейно по закону x (t) = 6t3 + 2t – 7 (x выражена в метрах, t – в секундах). Найти силу, действующую на это тело при t = 3 c . 

9.Тело массой 4,2 кг движется прямолинейно по закону

x (t) = 2t3 + t2 - 6t + 3

(x выражена в метрах, t – в секундах). Найти кинетическую энергию тела при t = 1 с.

10.Температура тела Т изменяется в зависимости от времени по закону

Т(t) = 0,2t2 (Т выражена в Кельвинах, t – в секундах). Какова скорость изменения температуры при

t = 3 ⅓ с?

11. Заряд q изменяется по закону q (t) = 0,4t2 + 1,2t (q выражен в кулонах, t – в секундах). Найти силу тока при t = 4 c .

12. Тело массой 200г движется прямолинейно по закону

х(t) =6t3 = 2t – 7

(х- выражена в метрах, t –в секундах). Найти силу , действующую на это

тело в момент t = 3 с.

13. . Тело массой 20 кг движется прямолинейно по закону

х(t)=_ +  + 0,5

(х- выражена в метрах,t – в секундах). Найти силу , действующую на это

тело в момент t = 3 с.

14. Заряд q изменяется по закону q (t) = 3t2 + 4t (q выражен в кулонах,

t – в секундах). Найти силу тока при t = 6 c .

15. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)= 2,5t(t-1)

(φ –выражен в радианах, t – в секундах). Найти угловую скорость при t = 8с

16. Маховик вращается по закону φ(t)= t4 -1

(φ –выражен в радианах, t – в секундах). Найти угловую скорость при t = 2 с

17. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону

х(t)= 2t3 + 2,5t2 +3t +1

(х- выражена в метрах,t – в секундах). Найти импульс тела  при t = 2 с.

18. Тело движется прямолинейно по закону

X(t)=  t3 + + 0,5

( x выражена в метрах, t – в секундах). Найти ускорение тела при t = 2 c. 

19. Температура тела Т изменяется в зависимости от времени по закону

Т(t) = 0,5t2 –2t(Т выражена в Кельвинах, t – в секундах). Какова скорость изменения температуры при t = 8 с?

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.

Домашнее задание: сформулировать задание к данному условию и решить его S(t) = , если t=3.