Применение производной
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

Слайд 1

Применение производной в различных областях знаний

Слайд 2

Производная в физике Задача. Движение автомобиля во время торможения описывается формулой s ( t ) = 30 t - 5 t 2 , ( s - тормозной путь в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки. Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки ? Решение: Так как скорость есть первая производная от перемещения по времени, то v = S ’( t ) = 30 – 10 t , т.к . при торможении скорость равна нулю, тогда 0=30–10 t ; 10 t =30 ; t =3 (сек). Тормозной путь S ( t ) = 30 t - 5 t 2 = 30 ∙3-5∙ 3 2 = 90-45 = 45(м). Ответ: время торможения 3с, тормозной путь 45м .

Слайд 3

Это интересно Пароход “Челюскин” в феврале 1934 года успешно прошел весь северный морской путь, но в Беринговом проливе оказался зажатым во льдах. Льды унесли “Челюскин” на север и раздавили. Вот описание катастрофы: “Крепкий металл корпуса поддался не сразу, – сообщал по радио начальник экспедиции О.Ю. Шмидт. – Видно было, как льдина вдавливается в борт, и как над ней листы обшивки пучатся, изгибаясь наружу. Лед продолжал медленное, но неотразимое наступление. Вспученные железные листы обшивки корпуса разорвались по шву. С треском летели заклепки. В одно мгновение левый борт парохода был оторван от носового трюма до кормового конца палубы…” Почему произошла катастрофа?

Слайд 4

Сила Р давления льда разлагается на две : F и R . R – перпендикулярна к борту, F – направлена по касательной. Угол между P и R – α – угол наклона борта к вертикали. Q – сила трения льда о борт. Q = 0,2 R ( 0,2 – коэффициент трения). Если Q < F , то F увлекает напирающий лед под воду, лед не причиняет вреда, если Q > F , то трение мешает скольжению льдины, и лед может смять и продавить борт. 0,2R < R tg α , tgα > 0,2 ; Q < F, если α > 110 0 . Наклон бортов корабля к вертикали под углом α > 110 0 обеспечивает безопасное плавание во льдах .

Слайд 5

Производная в химии Производную в химии используют для определения скорости химической реакции. Это необходимо: инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам , разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Для решения производственных задач в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности просто необходимо знать скорости реакций химических веществ .

Слайд 6

Задача по химии Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t 2 /2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды. Справка: Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или производная от концентрации реагирующих веществ по времени (на языке математики концентрация была бы функцией, а время – аргументом )

Слайд 7

Решение Понятие на языке химии Обозначение Понятие на языке математики Количество вещества в момент времени t 0 p = p(t 0 ) Функция Интервал времени ∆t = t – t 0 Приращение аргумента Изменение количества вещества ∆p = p(t 0 + ∆t) – p(t 0 ) Приращение функции Средняя скорость химической реакции ∆p/∆t Отношение приращения функции к приращению аргумента V (t) = p‘(t)

Слайд 8

Производная в биологии Задача по биологии: По известной зависимости численности популяции х(t) определите относительный прирост в момент времени t . Справка: Популяция это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Слайд 9

Решение Понятие на языке биологии Обозначение Понятие на языке математики Численность в момент времени t x = x(t) Функция Интервал времени ∆t = t – t 0 Приращение аргумента Изменение численности популяции ∆x = x(t) – x(t 0 ) Приращение функции Скорость изменения численности популяции ∆x/∆t Отношение приращения функции к приращению аргумента Относительный прирост в данный момент l im ∆x/∆t ∆t → 0 Производная Р = х' (t)

Слайд 10

«Формула Человека» Человек во столько раз больше атома, во сколько раз он меньше звезды: = Отсюда следует, что человек = . Это и есть формула, определяющая место человека во вселенной. В соответствии с ней размеры человека представляют среднее пропорциональное звезды и атома .

Слайд 11

Производная в географии Производная помогает рассчитать: Некоторые значения в сейсмографии Особенности электромагнитного поля земли Радиоактивность ядерно- геофизичексих показателей Многие значения в экономической географии Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t.

Слайд 12

Задача по географии Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Слайд 13

Решение Пусть у=у( t ) – численность населения. Рассмотрим прирост населения за ∆t = t – t 0 ∆ у = k ∙ y ∙∆ t , где k = k р – k с – коэффициент прироста населения, ( k р - коэффициент рождаемости, k с – коэффициент смертности). ∆ у/∆t = k ∙ y при ∆t → 0 получим l im ∆у/∆t = у’. Рост численности населения - у’ = k ∙ y . ∆ t → 0 Вывод: производная в географии совмещается с многими ее отраслями( сейсмография, размещение и численность населения) а также с экономической географии. Все это позволяет полнее изучать развитие населения и стран мира .

Слайд 14

Производная в экономике Производная решает важные вопросы: В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных, которые затем изучаются методами дифференциального исчисления. Также с помощью экстремума функции в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.

Слайд 15

Задача по экономике №1 (издержки производства) Пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда х 1 - прирост продукции, а у 1 - приращение издержек производства.

Слайд 16

Решение В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции: MC = . Где: MC - предельные издержки ( marginal costs ); TC - общие издержки ( total costs ); Q - количество.

Слайд 17

Производительность труда Производительность труда измеряется количеством продукции, выпущенной работником за какое-то время. Например , пусть объем продукции выпущенной в течение дня задан формулой у = -2t³ +10t² +50t – 16, где t – время, выраженное в часах. Для нахождения производительности труда в определенный промежуток времени t 0 , необходимо найти предельное среднее значение средней производительности за период времени от t 0 до t 0 + Δt , т.е. у´(х). Вывод: производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.

Слайд 18

Задача по экономике №2 (производительность труда) Вычислить производительность труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией у = -2t³ +10t² +50t – 16, t – время (ч).

Слайд 19

Решение 1. Найдем производную у ´(t) = -6t² +20t + 50 2. Найдем значение производной в течение каждого часа: t=1 y’(1) = 64; t=2 y’(2) = 66; t=3 y’(3) = 56; t=4 y’(4) =34; t=5 y’(5) = 0.

Слайд 20

Задача по экономике №3 (Потенциал предприятия) Предприятие производит х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x) = -0,02x 3 + 600x - 1000 . Исследовать потенциал предприятия.

Слайд 21

Решение Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при х = 100 функция достигает максимума. Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.