ТЕМА. СЕРИЯ ИСПЫТАНИЙ ДО ПЕРВОГО УСПЕХА. ИСПЫТАНИЯ БУРНУЛЛИ.
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

ТЕМА. СЕРИЯ ИСПЫТАНИЙ ДО ПЕРВОГО УСПЕХА.

ИСПЫТАНИЯ БУРНУЛЛИ.

Цели урока: рассмотреть одну из самых универсальных вероятностных моделей – схему Бернулли;

установить связь относительной частоты и вероятности;

получить точную математическую формулировку устойчивости относительных частот и их приближения к вероятности случайного события при увеличении числа опытов.

2. Изучите данный материал

На сегодняшнем уроке мы вернемся к обсуждению вопроса, который был поставлен в самом начале нашего изучения курса «Теория вероятности» и лег в основу определения вероятности. Речь идет о связи относительной частоты и вероятности.

А начнем мы рассмотрения с одной из наиболее универсальных вероятностных моделей – схемы независимых повторных испытаний, предложенной более трехсот лет назад швейцарским математиком Якобом Бернулли.

Историческая справка

БЕРНУЛЛИ Яков I (Bernoulli Jacob)

 БИОГРАФИЯ

Род Бернулли ведет сове начало из Фландрии. В конце 16 в. Бернулли покинули родной Антверпен из-за религиозных гонений и после неудачной попытки осесть во Франкфурте - на - Майне, оказались в Базеле. Отец Бернулли занимал в городе заметное положение, был членом городского суда и членом Большого городского совета. Яков I родился 27 декабря 1654г., умер 16 августа 1705г. Отец прочил Якова в священнослужители, и ему пришлось изучать в университете философию, богословие и языки. Как большинство Бернулли Яков знал много языков: немецкий, французский, английский, итальянский, латинский, греческий. Изучение богословия шло успешно. Яков стал пользоваться известной популярностью как проповедник. Но его влекло к математике. Отец не допускал отступления от намеченного плана, поэтому Яков вынужден был заниматься математикой тайком, без учителя и почти без учебников. Обучение в университете шло своим чередом, и в 1671г. он получил степень магистра философии.

ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Наиболее значительные достижения Якова I в развитии анализа бесконечно малых, теории рядов, вариационного исчисления и теории вероятностей. В 1687г., ознакомившись с первым мемуаром Г.Лейбница по дифференциальному исчислению (1684г.), применил новые идеи к изучению свойств ряда кривых: логарифмические спирали, открытой им лемнискаты, цепной линии и др. Определил площадь сферического треугольника, вычислил площади коноидальных и сфероидальных поверхностей, произвел многочисленные квадратуры и спрямления. Книга Бернулли "Арифметические приложения о бесконечных рядах и их конечных суммах" (1689-1704гг.) явилась первым руководством по теории рядов. Совместно с братом Бернулли Иоганном I положил начало вариационному исчислению. Выдвинул и частично решил изопериметрическую задачу и задачу о брахистохроне, или кривой быстрейшего спуска, поставленную братом Иоганном. В труде "Искусство предложения" Яков I в 1713г. решил некоторые задачи комбинаторики; открыл числа, позднее названные числа Бернулли; доказал так называемую теорему Бернулли - частный случай закона больших чисел, имеющего большое значение в теории вероятностей и ее приложениях к статистике; построил математическую модель для описания серии независимых испытаний (схема Бернулли). Благодаря его работам теория вероятностей приобрела важнейшее значение в практической деятельности.

Но прежде, чем перейдем к изучению нового материала, давайте вспомним понятия теории вероятностей, которые мы изучали ранее.

Кроссворд.

1. Раздел математики, занимающийся комбинациями.
2. Факт какого-то действия, взаимодействия или явления.
3. Событие, которое происходит при выполнении определенной совокупности условий
4. Событие, которое зависит от того, произойдет или нет другое событие.
5. События, при котором появление одного не зависит от появления другого.
6. Сумма случайно выбранных объектов.
7. События, которые при любых условиях не произойдут.
8. События, которые при определенных условиях произойдут или нет.

Ответы:

1. комбинаторика
2. событие
3. достоверное
4. зависимое
5. независимые
6. выборка
7. невозможные
8. случайные

Вспомним определение вероятности: вероятностью случайного события А называется число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Тот факт, что такое число существует (т.е. что относительная частота случайного события вообще к чему-то приближается), мы оставляли до сих пор без каких-либо объяснений и ссылались на повседневный опыт. Теперь мы дадим некоторые математические обоснования этого факта. Для начала напомним терминологию.

Говоря о частоте и вероятности некоторого случайного события А, мы подразумевали наличие определенных условий, которые можно неоднократно воспроизводить. Этот комплекс условий мы называли случайным опытом или случайным экспериментом. Именно многократное повторение случайного опыта в неизменных условиях позволяло говорить о стабилизации частоты и приближении ее к некоторому числу Р(А), называемому вероятностью случайного события А.

При этом естественно предполагать, что опыты проводятся человеком или природой так, что результат одного опыта никак не влияет на результаты последующих, т.е. все опыты независимы. Серию таких опытов будем называть повторными независимыми испытаниями.

Если в каждом опыте нас интересует вероятность наступления определенного события А, условимся говорить, что испытание закончилось успехом, когда в результате опыта событие А наступило, и неудачей, когда событие А не наступило. Заметим, что названия «успех» и «неудача» носят условный характер и определяются выбором события А, а не содержательным смыслом исхода. С этой точки зрения наш опыт имеет всего два возможных исхода:  - успех и неудача. Вероятности этих исходов обозначим : 

Серию повторных независимых испытаний с двумя исходами называют испытаниями Бернулли, а саму модель, построенную на таких испытаниях, - схемой Бернулли.

А теперь ответьте на вопрос: каким трем условиям должна удовлетворять схема Бернулли:

1. У каждого испытания должна быть два исхода, называемых условно успех и неудача;
2. В каждом опыте вероятность события А должна оставаться неизменной;
3. Результаты опытов должны быть независимыми.

Пример 1. Подбрасывание монеты. Событие А – выпал «орел». Серия из N таких испытаний представляет собой схему Бернулли. Успехом считается появление «орла», неудачей – появление «решки». Вероятности успеха и неудачи равны: 

Пример 2. Тестирование. Ученик отвечает на вопрос, к которому дается L вариантов ответа. Ровно один из предлагаемых вариантов верный. Предположим, что ученик не знает предмета и выбирает правильный ответ наугад. Будем считать успехом событие А – выбран правильный ответ. Его вероятность  Экзамен, в котором ученик отвечает на N таких вопросов, можно считать схемой Бернулли, в которой .

Рассмотрим задачу: Пусть проводится серия из N испытаний. С какой вероятностью в этой серии произойдет ровно k успехов (т.е. событие А наступит ровно k раз)?

Пример 1. Три раза подряд бросаем симметричную монету. С какой вероятностью ровно k раз она выпадет на «орла»? Здесь речь идет о том, что в серии из трех испытаний Бернулли с  произойдет ровно k успехов.

Решение: Обозначим интересующую нас вероятность  идокажем следующую формулу Бернулли: .

Напомним, что через  в комбинаторике обозначается число сочетаний, т.е. число способов, которым можно выбрать любые k из N предметов. Это число находится по формуле . Каждый исход такого «длинного» опыта закодируем последовательностью из букв У и Н, которые могут чередоваться в произвольном порядке.

Нетрудно сообразить, что в общем случае для N испытаний возможных исходов будет  - это немедленно следует из правила умножения.

Будут ли все такие равновозможны? Разумеется, нет! Однако вероятность каждого исхода можно легко вычислить, пользуясь формулой произведения вероятностей для независимых событий. Поскольку все отдельные опыты в любой серии независимы, то вероятность любой последовательности из k успехов и (N - k) неудач может быть найдена по формуле .

Для доказательства формулы Бернулли остается сделать последний шаг – посчитаем, сколько всего серий, в которых содержится ровно k успехов.

У нас имеется N пустых мест, на которые нужно расставить k букв У и (N –k) букв Н. Сколькими способами это можно сделать? Каждый способ состоит в выборе тех k из N мест, на которых будут стоять буквы . Это можно сделать  способами. Значит, всего таких серий будет , и вероятность интересующего нас события может быть получена как сумма вероятностей входящих в него исходов (все слагаемые в сумме одинаковые):

.

Формула Бернулли в самом общем случае доказана.

Вернемся к нашему примеру с троекратным бросанием монеты. Ответ на поставленный выше вопрос можно найти теперь по формуле Бернулли, применив ее для каждого значения k:

Поскольку в этом примере , то неудивительно, что симметричные значения вероятностей получились одинаковыми:

.

Рассмотрим пример, в котором вероятности успеха и неудачи разные.

Пример 2. Тестирование. Экзамен состоит из 16 вопросов. К каждому вопросу предлагается 4 варианта ответа, из которых ровно один верный. С какой вероятностью ученик, не знающий предмета, правильно ответит хотя бы на один вопрос?

Чтобы найти интересующую нас вероятность, перейдем к противоположному событию – ученик не ответит правильно ни на один из 16 вопросов. Эту вероятность можно найти по формуле Бернулли:

.

Отсюда, вероятность ответить хотя бы на один вопрос будет

.

Как видим, шансы хоть что-то угадать, даже при полном отсутствии знаний достаточно велики.

А теперь используя понятие случайной величины, можно дать равносильное определение схемы Бернулли. Пусть имеется последовательность независимых случайных величин , каждая из которых может принимать всего два значения 1 и 0 с вероятностями  соответственно. Договоримся считать значение 1 – успехом, а значение 0 – неудачей. Тогда, как легко сообразить, число успехов в N испытаниях выражается случайной величиной , равной сумме величин : .

Пример 3. Снова тестирование. Экзамен состоит из 16 вопросов. К каждому вопросу предлагается 4 варианта ответа, из которых ровно один верный. Положительная оценка ставится, если ученик ответил хотя бы на 5 вопросов. С какой вероятностью ученик, не знающий предмета, сдаст экзамен?

На этот раз нам придется применить формулу Бернулли несколько раз. Положительная оценка ставится за 5, 6,…, 16 правильных ответов. Поэтому искомая вероятность будет:

.

Мы ввели здесь специальное обозначение, которое будем использовать и в дальнейшем: .

Для вычисления суммы придется применить формулу Бернулли 12 раз. Можно сэкономить время, если решать задачу через дополнительное событие:

Как видите, вероятность, что ничего не знающий ученик сдаст экзамен, довольна велика.

Пример 4. При 100 бросаниях симметричной монеты наиболее вероятным числом «орлов» будет 50, а при бросании – 50 и 51.

Пример 5. При 16 вопросах в тесте и вероятности «угадывания» правильного ответа  наиболее вероятным числом правильных ответов будет 4.

Пример 6. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, .

По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
.

Пример 7. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки , тогда .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, ,

, .

Следовательно, искомая вероятность

.

3. Домашнее задание.от 15.12.23

1. Выучить конспект
2. Решить задачи:

№1. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

№2. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

№3. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n ³ k), если в каждом из них .