«Решение рациональных неравенств в курсе основной школы».
проект по алгебре (9 класс)

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ПРИМОРСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ"

(ГАУ ДПО ПК ИРО)

ИТОГОВАЯ РАБОТА

слушателей  программы повышения квалификации «Методика преподавания математики в основной школе: содержание, современные методы и формы обучения», (96 ч)

Палий Татьяна Михайловна, МБОУ СОШ №1 с. Вольно-Надеждинское

Соловьева Евгения Викторовна, МБОУ СОШ №1 с. Вольно-Надеждинское

Новикова Татьяна Викторовна, МБОУ СОШ №1 с. Вольно-Надеждинское

Герцог Римма Валерьевна, МБОУ СОШ №1 с. Вольно-Надеждинское

Кормильцева Дарья Сергеевна, МБОУ СОШ №1 с. Вольно-Надеждинское

Оценка ____________

2023 г.

Содержание

Введение

В соответствии с требованиями ФГОС ООО система планируемых результатов - личностных, метапредметных и предметных - устанавливает и описывает классы учебно-познавательных и учебно-практических задач, которые осваивают учащиеся в ходе обучения, особо выделяя среди них те, которые выносятся на итоговую оценку, в том числе государственную итоговую аттестацию выпускников. В ходе освоения содержания математического образования, учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

• построения и исследования математических моделей для решения задач;
• выполнения алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале;
• выполнения расчётов практического характера;
• использования математических формул;
• самостоятельной работы с источниками информации;
• подведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов;
• самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов и результатов группы, соотнесение своего мнения с мнением других.

Изучение   темы решения уравнений и неравенств с одной переменной применяют для познания естественных законов, для решения задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Овладевая способами их решения, они находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт), сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.). Решение таких задач развивает логическое мышление, творческую деятельность учащегося. Решение рациональных неравенств основано на умении решать соответствующие уравнения.

Решение рациональных неравенств повышенного и высокого уровня сложности требует от педагога дополнительной математической подготовки. Поэтому появляется актуальность повышения профессиональных компетенций у одной группы педагогов и совершенствования у другой группы по выбранной теме.

Цель нашей работы - совершенствование педагогического мастерства путем создания методического продукта «Банк Заданий повышенного и высокого уровня сложности» по теме: «Решение рациональных неравенств в курсе основной школы».

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: 

1. Распределить материал темы по числу участников проекта и определить направления, по которым участники будут работать;

2. Создать методический продукт «Банк Заданий повышенного и высокого уровня сложности» по теме: «Решение рациональных неравенств в курсе основной школы»;
3. Провести апробацию методического продукта;
4. Оценить результаты апробации;
5. Провести самоанализ своей деятельности.

В ходе выполнения задач нами использовались следующие методы:

-изучение дополнительной литературы;

-просмотр вебинаров;

-обмен опытом работы;

-создание своего методического продукта.

1. Распределение материала по направлениям темы и по числу участников проекта

Нами была выбрана тема: «Решение рациональных неравенств в курсе основной школы». Поскольку группа состоит из пяти педагогов мы материал разделили на пять направлений, а именно:

- решение систем рациональных неравенств - Герцог Р.В. (стаж < 3 лет);

- решение дробно-рациональных неравенств - Новикова Т.В. (стаж < 3лет);

- определение области допустимых значений выражений, содержащих переменную под знаком корня, а также их комбинаций – Соловьева Е.В. (стаж 20 лет);

- решение неравенств с модулем – Палий Т.М. (стаж 20 лет);

- применение дробно – рациональных неравенств к решению задач –Кормильцева Д.С. (стаж  3 года).

Глава 2. Перечень разработанных методических материалов

2.1 банк заданий по выбранной теме;

2.2 памятки – алгоритмы для учащихся;

2.3 система подзадач к своему банку заданий;

2.4 пример – практикум для учащихся с использованием алгоритмов решения указанных заданий;

             2.5 апробация методического продукта;

2.6 самоанализ своей деятельности.

2.1 Банк заданий

Решение систем рациональных неравенств

Решение дробно – рациональных неравенств

Решить неравенства:

Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенствам

Определение области допустимых значений выражений, содержащих иррациональность

При каких Х имеет смысл выражение:

Решение неравенств с модулем

1)  

2)

3)

4)

5)

Применение неравенств при решении текстовых задач

1. На реке, скорость течения которой равна 4 км/ч, в направлении её течения расположены пристани А, В, С, причем расстояние от А до В вдвое меньше, чем расстояние от В до С. От пристани В в один и тот же момент по направлению к пристани С отправлены плот (плывущий относительно берегов со скоростью течения реки) и катер. Дойдя до пристани С, катер разворачивается и движется по направлению к пристани А. Найти все значения собственной скорости катера (т. е. скорости катера в стоячей воде), при которых катер приходит в пункт А не раньше, чем плот приходит в пункт С.

2. Числитель дроби на 3 меньше её знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной дроби. Найти исходную дробь.

3. Токарь должен был обработать 120 деталей к определенному сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать в час на 20 деталей больше и поэтому закончил работу на 1 ч раньше срока. Сколько деталей он должен обрабатывать по плану?

2.2. Памятки – алгоритмы

Решение систем рациональных неравенств:

1. Решить каждое неравенство системы по – отдельности;
2. Найти пересечение полученных множеств;
3. Сформировать ответ.

                                      Решение дробно - рациональных неравенств:

1. Привести дробно – рациональное неравенство к виду f(x)>0 (<), используя равносильные преобразования;
2. Применить «метод интервалов» для решения полученного неравенства;
3. Полученные точки отметить на числовой прямой;
4. Определить знаки полученного неравенства в каждом промежутке;
5. Отобрать промежутки в соответствии со знаком неравенства;
6. Сформировать ответ.

 Определение области допустимых значений выражений, содержащих иррациональность

1. Выражение  имеет смысл при любом значении x
2. Выражение  имеет смысл при всех значениях x, при которых
3. Выражение  имеет смысл при всех значениях x, при которых
4. Если выражение содержит несколько видов выражений, то составляют систему условий.

Чтобы определить, при каких x выражение имеет смысл, смотри схему:

Решение неравенств с модулем:

1. Найти «нуль» модуля;
2. Отметить «нули» на числовой прямой;
3. Заменить исходное неравенство на системы неравенств по количеству промежутков на числовой прямой;
4. Решить полученные системы неравенств;
5. Объединить множества, полученные при решении систем;
6. Сформировать ответ в виде числового промежутка, как результат объединения множеств.

                                 Решение текстовых задач:

1. Прочитать внимательно текст задачи;
2. Составить математическую модель;
3. Решить полученное неравенство;
4. Проанализировать полученный результат;
5. Прочитать вопрос к задаче;
6. Сформировать ответ.

2.3. Система подзадач

Решение систем рациональных неравенств:

1. Решить систему неравенств:

а)          

Ответ:

б)     

Ответ:

в)

Ответ:

2. Решить квадратное уравнение:

         Ответ: 1,5

Решение дробно - рациональных неравенств:

1. Разложить на множители и сократить дробь

2. Привести дроби к общему знаменателю

3. Решить квадратные неравенства методом интервалов

3.1.          

Решим уравнение     —  +6х – 9 = 0  

  6х + 9 = 0

х = 3 (корень четный)

                                                                                               Ответ:  

Решим уравнение:    

Уравнение корней не имеет

                                                                                         Ответ:

3.3.    

Преобразуем числитель и знаменатель дроби

Преобразуем и решим уравнение:      

По теореме обратной т. Виета        

Методом подбора        

 Ответ:  

Определение области допустимых значений выражений, содержащих иррациональность

Подзадачи (теория)

Ответ: 1Б, 2Г, 3В, 4А

№2  При каких значениях х имеет смысл выражение

а)

Решение:  

б)

Решение:

№3  Решите неравенство

а)  

б)

в)

г)

Решение неравенств с модулем:

1. Решить неравенство, показать его штриховкой на координатной прямой и записать решение в виде числового промежутка:

а)     2х – 5 <0                 x < 2,5      

б)     – 3х + 5              

в)                    решений нет  

г) 0х < 6                   x- любое

                                                          )

12

д)                      

e)               

    )

ж)    

2. Найти пересечение множеств

а)

Ответ:

б)

Ответ:

в)

Ответ:

3. Найти объединение множеств

а)  

Ответ:

б)

Ответ:

в)

Ответ:

4. Заменить исходное неравенство, раскрыв модуль

а)

     2x – 5 = 0

     2x = 5

     x = 2,5                                                       надо составить две системы

1)             и    2)  

б)

     x – 5 =0      x + 2 = 0

      x = 5           x =                                              надо составить три системы

1)         2)      3)  

в)

                                                           три системы

1)            2)                   3)  

1)         2)               3)  

                                          2)  

1.              2.                    3.

 D = 1 + 8 = 9                                                         

14

Ответ:

Решение текстовых задач на составление неравенств:

Внимательно, может быть не один раз, прочитайте условие задачи, чтобы стало понятно ее содержание.

1. Часто бывает полезно сделать рисунок с отмеченными на нем числовыми данными.
2. При очередном прочтении задачи нужно постепенно вводить неизвестные, при необходимости отмечая их размерности. При этом буквенные обозначения неизвестных должны быть удобны, например, вызывать ассоциации со стандартными обозначениями в физике, химии и т.д. Выбор неизвестных должен быть, в первую очередь, удобен для математической записи условий задачи, а не ориентирован на ее вопрос.
3. При очередном прочтении задачи нужно записывать связи между известными и неизвестными величинами в виде уравнений и неравенств.
4. Перед решением системы неравенств нужно определить искомую величину, имея ввиду, что часто из полученной системы требуется найти только одну неизвестную или некоторую комбинацию неизвестных, что может быть сделано далеко не всегда.
5. Если система допускает несколько решений, то проверить каждое из них.

2.4 Применение алгоритма при решении неравенств

Решение систем рациональных неравенств с использованием алгоритма:

Пусть

Найдем нули числителя:

=

, то ;

Найдем нули знаменателя:

  или  

3 – х =0                    (2 – х)(2 + х) = 0

- х = - 3                     2 – х = 0 или 2 + х = 0

 х = 3                         - х = - 2          х = 2

                                    х = 2        

Отметим точки на координатной прямой. Все точки выколоты т.к. неравенство строгое.

        -        +        -        +        -        -

- 3                -2                -1/3                2                  3          0    -

Определю знак на каждом промежутке:

     ;        

      ;      

      ;        

Решение дробно – рациональных неравенств:

Дробно-рациональным называют неравенство, содержащее дроби, в знаменателе которых имеется переменная.

С помощью равносильных преобразований дробно-рациональное неравенство приводят к виду  – алгебраическая дробь, и применяют метод интервалов.

ВАЖНО! Метод интервалов используется только в том случае, если в правой части неравенства содержится нуль.

ВАЖНО! Корни знаменателя на числовой прямой изображают выколотыми точками вне зависимости от знака неравенства. Таким образом, выполняется требование «на нуль делить нельзя».

Для решения данных неравенств необходимо все перенести в левую часть и выполнить некоторые преобразования:

1. приведение дробей к общему знаменателю;

2. сокращение дробей.

ВЫЖНО! Сокращать только на выражение отличное от нуля.

Умножать обе части неравенства на знаменатель, содержащий переменную возможно только в том случаи, если точно известно какое значение принимает знаменатель (положительное или отрицательное).

Прежде чем выполнять данные действия, необходимо разложить многочлены на множители.

Способы разложения многочлена на множители:

1. вынесение общего множителя за скобки

2. способ группировки

некоторые многочлены содержат группу слагаемых, имеющих общий множитель, такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки

3. использование формул сокращенного умножения

4. разложение квадратного трехчлена на множители , где x₁ и x₂ корни квадратного уравнения .

Случаи разложения квадратного трехчлена:

1.  

, то  ;

;

D < 0, то действительных корней нет.

2. уравнение со вторым четным коэффициентом

,      

3. приведенное квадратное уравнение (теорема Виета)

4. если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна  0 (a + b + c =0), то ;

    если a – b + c = 0 или  b = a + c, то

Метод интервалов – это способ решения некоторых видов неравенств.

a) на числовой оси отмечаются корни с учетом знака неравенства (выколотые или закрашенные)

b) определяем знак на каждом промежутке:

           - возьмем любую (удобную) точку, принадлежащую этому промежутку, не включая его концы, определим знак неравенства, а далее расставим знаки с учетом кратности корней. При переходи через корень нечетной кратности знак чередуется; при переходе через корень четной кратности знак не меняется.

- по старшему коэффициенту, на крайнем правом промежутке. Если  a > 0, то знак положительный; если a < 0, то знак отрицательный.

Оформление числовых промежутков

• Неравенство строгое ( < , > ) – точка на числовой прямой выколотая

 (                       ), скобка записи числового промежутка круглая;

• Неравенство нестрогое ( ) – точка на числовой прямой закрашенная   (                       ), скобка в записи числового промежутка квадратная;
• Символы всегда записываются в круглых скобках.

Решить неравенство

Разложим числитель, и заменитель первой дроби на множители

0  по теореме обратной т. Виета, методом подбора найдем корни уравнения:

Сократив данную дробь на выражение  (x + 3)

ВАЖНО!     x + 3, при

Получили равносильное неравенство

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю

Общий знаменатель (х + 1), найдем дополнительные множители

Выполним преобразования и найдем корни числителя и знаменателя

Знаменатель: х + 1 = 0,   х =  1

Числитель:

Решим квадратное уравнение       = 0

, D >0, значит уравнение имеет два корня

;         .

Отметим корни числителя и знаменателя на числовой прямой, с учетом знака неравенства,  корни знаменателя будут выколотыми. И не забываем про корень выражения,  на который сокращали.

Определим знак неравенства на каждом промежутке, по старшему коэффициенту, на крайнем правом промежутке будет знак «+», так как a > 0,  далее при переходе через корень нечетной кратности знаки чередуются.

Выберем промежутки соответствующие нашему неравенству и запишем ответ.

Ответ:

Определение области допустимых значений выражений, содержащих иррациональность:

Пример., При каких значениях x имеет смысл выражение:

Решение.

Решу неравенство    

D=25-4·2·(-3)=25+24=49 (D>0, 2к)

Решу неравенство  

Найду решение системы

Ответ:

Решение неравенств с модулем:

Решение неравенств с модулем основано на правиле раскрытия модуля:

Решить неравенство

        (1)

1. найду «нуль» модуля:  5х + 6 = 0        5х =         х =

                                             получаем два промежутка: () и                                    

  2.                                            ), на каждом из которых следует

решить неравенство  (1)

3.а)               б)

а) Решим квадратное неравенство

D = 25 – 24 = 1  

Найдем пересечение полученного неравенства с промежутком

                                                 Получили:

б) Решим квадратное неравенство

D = 25+ 24 = 49  

Найдем пересечение полученного неравенства с промежутком

Получаем:

Для получения решения исходного неравенства (1) найдем объединение этих множеств

Ответ:

Решение текстовых задач с использованием неравенств:

На выпускных экзаменах по математике часто предлагают задачи, в которых условие задано в форме некоторого текста, как правило, без формул и даже без буквенных обозначений неизвестных. Для решения таких задач на основе условий, предъявленных в тексте, требуется составить неравенства или систему неравенств, а затем решить их.

Текстовые задачи отличаются большим разнообразием содержания и могут существенно различаться по уровню сложности. Стандартные текстовые задачи, в которых условия записываются в виде уравнений, число которых равно числу неизвестных, обычно не вызывают особых затруднений, хотя и здесь могут встретиться непредвиденные сложности. Что же касается «нестандартных» по содержанию задач, то при их решении часто возникают трудности, объяснимые именно их непривычностью, необходимостью анализировать, рассуждать, а не просто формально решать системы уравнений или неравенств.

Рассмотрим пример:

Задача.

На реке, скорость течения которой равна 4 км/ч, в направлении её течения расположены пристани А, В, С, причем расстояние от А до В вдвое меньше, чем расстояние от В до С. От пристани В в один и тот же момент по направлению к пристани С отправлены плот (плывущий относительно берегов со скоростью течения реки) и катер. Дойдя до пристани С, катер разворачивается и движется по направлению к пристани А. Найти все значения собственной скорости катера (т. е. скорости катера в стоячей воде), при которых катер приходит в пункт А не раньше, чем плот приходит в пункт С.

Ход решения:

1. Составление математической модели.

Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде,

у км - расстояние от пристани А до пристани В.

ч – время движения катера из В в С,

- время движения катера из В в С и обратно из С в А против течения.

По условию 

2. Работа с математической моделью.

Применим метод интервалов, учитывая, что x > 4.

Получим, что 4 < x ≤ 12.

3. Ответ на вопрос задачи.

Собственная скорость движения катера в стоячей воде должна быть в интервале (4; 12] км/ч.

Ответ: (4; 12] км/ч.

3. Описание апробации разработанных материалов

В апробации приняли участие 16 учащихся девятых классов, им было предложено 25 заданий из созданного Банка Заданий для решения с использованием необходимой «Памятки – алгоритма». Опрос учеников был проведен с помощью Google-формы, ссылку на которую передали ребятам в виде QR- кода:

4. Самоанализ результатов апробирования методического продукта

• Очень удобный формат, можно как закладку положить в учебник. Алгоритмы поняты
• Написано все просто и понятно. При решении заданий пришлось вспомнить, как решать неравенства. Но, видимо что-то подзабыла, одно не смогла решить
• памятка хорошая, буду с ней работать и по другим направлениям
• все понятно. помогает вспомнить структуру работы с заданием
• Выбрал для начала одно направление. Все по полочкам разложено, что даже не запутаешься. Позже буду решать остальные задания.
• Памятка удобная, только вот в моей памяти надо еще порядок навести. в одном неравенстве ошибся
• Алгоритм - это главное! Если его соблюдать, то все получится. Спасибо, что собрали все в одном месте!
• да очень удобно пользоваться такой шпаргалкой. После 2-3 примеров она уже и не нужна. Но перед экзаменом еще повторю
• мне понравилось. надо по другим темам тоже такие сделать. по графикам, например, а то постоянно в них что-то не так делаю
• а что тут подробно писать? все легко просто и понятно.
• всегда боялась модулей, думала, что это очень сложно, поэтому никогда не решала. оказывается, ничего сложного, если действовать по алгоритму
• Мне не хватило примера решения. Но в целом норм
• хорошая шпаргалка-подсказка) только с двумя модулями я запуталась. а так все удобно и понятно, размер можно поменьше сделать, тогда точно как шпаргалка будет и по другим темам тоже можно такое сделать
• Часто забываю после решения перечитывать условие задачи, чтобы убедиться в том, что нашел, что нужно. Вот тут хорошо на каждом пункте акцент сделан
• Мне понравилось, очень полезная штука. Но задача с катерами меня все-таки запутала. Помогите решить!
• Уже поделилась с подружкой из другой школы. Решали задачи на "кто быстрее". Я победила)) Удобно все на одном листочке расположили. Наши учителя лучшие!

5. Оценка актуализации полученных результатов

1. Нами получен положительный опыт работы в команде;
2. Создан методический продукт «Банк Заданий» по теме: «Решение рациональных неравенств повышенного и высокого уровня сложности в курсе основной школы»;

4. Полученный продукт апробирован на выпускниках 9 классов;
5. В ходе работы над проектом нами повышены следующие профессиональные компетенции:

•   предметные;
•  методические,
• педагогические,
• информационно-коммуникативные;