презентация к уроку алгебры в 11 классе " Сочетания без повторений и Бином Ньютона"
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Тема урока:__________________________________________________________

Дата__________________

Задание 1.  «Шаг навстречу».

Работа в паре. Выполните задания и расшифруйте кодовую фразу.

Все вычисления выполните в своей тетради, в таблицу записать только ответ.

Кодовая  фраза:

Задание 2. «Вспомни и воспроизведи»!  Раскройте  скобки.

(a+b)1=____________________________________________________________________________

(a+b)2= ____________________________________________________________________________

(a+b)3= (a+b)*(a+b)2= ________________________________________________________________

(a+b)4= (a+b)*(a+b)3= ________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

 Задание 3.  Выпишите  числовые  коэффициенты в правых частях формул  при возведении  в заданную степень, попробуйте сделать вывод о коэффициентах.

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

                                           Вывод:______________________________________________________

Запишите разложение бинома

(х + 1)6   = ________________________________________________________________________

Задание 4  «Сочетайка!».    

Вычисли в тетрадке сочетания.  

Запиши ответы в той же

последовательности.

Сравните коэффициеты сочетаний и коэффициенты треугольник Паскаля.

Вывод:___________________________________________________________________________

Задание 5. «Закрепи!»

Запишите разложение бинома.
1) (у - 2)4  =    _________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2)             =_____________________________________________________________________________

3)               ________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

Проверь себя!!!

            Блез Паска́ль (1623-1662) -  французский математик, физик, литератор и философ, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.  Его именем названы единица давления (паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования.

           Самой известной математической работой Блеза Паскаля является “Трактат об арифметическом треугольнике”, образованном биноминальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей, комбинаторики, математическом анализе, теории чисел и обладает удивительными и занимательными свойствами. 

                Коэффициенты разложения степени бинома (а+b)n   легко найти по следующей схеме, которая называется “треугольник Паскаля”, в честь Блез Паскаля.

          Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей.

            Исаак Ньютон (1642-1727 гг.)  – английский математик, астроном, физик, механик, заложивший основы классической механики. Он объяснил движение небесных тел – планет вокруг Солнца и Луны вокруг Земли. Самым известным его открытием был закон всемирного тяготения.        

         Возведение двучлена в степень (а+b)n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона: 

(a + b)n = an + C1n an - 1 b + C2n an - 2 b2 +...+Ckn an - kbk +... + Cn - 1nabn - 1 + Cnnbn

где Ckn —все возможные сочетания, которые можно образовать из n элементов по k.

     Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.)  

            Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (англ.), жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век).  Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел  (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.   Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.

                    Чтобы возвести бином в  степень  (а+b)n, надо  в правой части записать  сумму

аn + аn-1b + … + bn, оставляя в каждом слагаемом место для коэффициента. И эти места заполняем числами из n–ой строчки треугольника Паскаля, которую нужно заранее выписать или посчитать биноминальные коэффициенты через сочетания.
                          (a + b)5 = a5 + C15 a4b + C25 a3b2 + C35 a2b3 + C45 ab4 + C55 b5 =

                                               = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5