урок по алгебре и началам анализа в 11 классе
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

Тема урока: «Общие методы решения уравнений»

Цели урока:

Образовательная: 

• выделить  общие методы решения уравнений;
• обобщить, систематизировать и углубить знания по данной теме;
• отрабатывать навыки самоконтроля с целью подготовки к ЕГЭ.

Воспитательные:   

• воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении уравнений;
• побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать самостоятельность, упорство в достижении цели;
• формировать стремление к самореализации.

Развивающая:   

• развивать логическое мышление, память, продолжить

     формирование математической речи;

• способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, анализировать, делать выводы;
• активизировать мыслительную деятельность, развивать творческое мышление.                          

Оборудование:     компьютер, проектор, экран, мультимедийная презентация,              

                                карточки с заданиями (дифференцированные); карточки с          

                                самостоятельной  работой; бланки ответов.    

                                                                                                  «Я слышу – я забываю,

                                                                                                  я вижу –  я запоминаю,

                                                                                                  я делаю – я понимаю».

                                                                                                                           В. Гюго                             

Ход урока:

I. Организационный момент.

           Здравствуйте! Как Ваше настроение? Настроены ли Вы на работу? Все ли принадлежности приготовлены к уроку? Тогда в добрый путь!

Тема нашего урока «Общие методы решения уравнений».

Запишем в рабочих тетрадях число, классная работа, тему урока.

II. Устная работа.                              

 1. Повторение теоретического материала

Ребята, поясните, пожалуйста, смысл словосочетаний «методы решения уравнений», «общие методы решения уравнений».

Учащиеся.

 – Методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

 – Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить  уравнения разного типа.

Учитель. Какие цели обучения на урок вы поставили бы для себя?

Учащиеся. Выделить  общие методы решения уравнений, научиться применять их при решении уравнений разного типа, проверить насколько хорошо мы ими владеем.

Учитель.  Где вам могут пригодиться эти знания?

Учащиеся. При написании самостоятельной работы, контрольной работы, на едином государственном экзамене.

 2. Индивидуальная дифференцированная работа по карточкам

    (работают шестеро учащихся).

Группа Б

           Карточка 1. Решите уравнение: х5 +8х4 +12х3 = 0.      (0; -6; -2)

         Карточка 2. Решите уравнение:         (0; 3)

         Карточка 3.  Решите уравнение:              (-1)

Группа В

         Карточка 1. Решите уравнение: log17 x ∙ log3 (2x – 3) – log17 x4 = 0.    (42)

         Карточка 2. Решите уравнение: (log4 2x + 2)2 =                     ()

         Карточка 3. Решите уравнение: log8 (x2 – 8) +                   (3; -3)

3. Фронтальная работа (все остальные учащиеся работают вместе  с учителем). 

    1. Определите метод решения уравнения:

       а)  x3 – 9x2 + 20х = 0;                             (метод разложения на множители)

       б)                                       (метод замены уравнения равносильным)

       в)                                              (функционально-графический метод)

       г)  8х6 +7х3 – 1 = 0;                                 (метод введения новой переменной) 

       д) log5 (3x – 6) = log5 (x + 3);                 (метод замены уравнения равносильным)

       е) 22х - 6∙2х + 8 = 0;                                 (метод введения новой переменной)

       ж) (x – 1)2 = log2 x.                                (функционально-графический метод)

    2. Решите уравнение: 

        а)                                           (7)

        б) log7 (10x – 6) = log7 7x;                    (2)

        в) 2х = 6 – х;                                          (2)

        г) х∙9х - 2∙х2 ∙9х =0.                                (0; ½)       

4. Проверка индивидуальной работы

III. Работа по теме урока.

Учитель. Какие методы решения уравнений можно выделить как общие?

Учащиеся.

Метод разложения на множители.

Метод введения новой переменной.

Метод замены уравнения равносильным.

Функционально-графический метод.

Учитель. Повторить общие методы решения уравнений, нам помогут фрагменты презентаций, которые вы готовили ранее, работая в группах. Также, вы должны были из четырех предложенных уравнений выбрать то, которое решается тем методом, о котором вы рассказываете, и решить его.

1. sin x ∙ cos x – 6 sin x + 6 cos x + 6 = 0;
2. 1 + log2 (x + 1) = 2x ;
4. 3x2 ∙ log3 (2+3x) – 6x ∙ = 3x2 + 2x.

Учащиеся 1 группы. Метод замены уравнения равносильным. 

При решении показательных уравнений: уравнение af(x) = ag(x) (a >0, a≠1) равносильно  f(x) = g(x).

При решении логарифмических уравнений: уравнение logа f(x) = logа g(x) (f(x) > 0, g(x)>0,  a>0,  a≠1) равносильно f (x) = g(x).

При решении иррациональных уравнений (можно применять, если функции монотонны): уравнение   равносильно f(x) = g(x).

     3)      (1)

Учащиеся 2 группы. Метод разложения на множители. 

Уравнение f(x)g(x)h(x)=0 заменить совокупностью уравнений f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0. Необходима проверка корней.

     4) 3x2 ∙ log3 (2+3x) – 6x ∙ = 3x2 + 2x.     (0;⅓)       

Учащиеся 3 группы. Метод введения новой переменной. 

 Пусть g(x)=t,  тогда уравнение p(g(x))=0 равносильно уравнению p(t)=0.

     1) sin x ∙ cos x – 6 sin x + 6 cos x + 6 = 0.      (π + 2πk; π/2 + 2πk; kZ)

Учащиеся 4 группы. Функционально-графический метод.

 f(x)=g(x): построение графиков функций y=f(x) и y=g(x); определение абсцисс точек пересечения графиков.

использование свойств функций: монотонности, наибольшего и наименьшего значений на промежутке Х.

     2) 1 + log2 (x + 1) = 2x .             (0; 1)           

Решение упражнений.

№ 27.6 (г).                                                                      

Ответ: 10; 0,001.  

№27.27(а).  

х3 - 6х2 +11х – 6 = 0,    Р(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0;

(х – 1)(х2 – 5х +6) = 0,

х  = 1,  х = 2,  х = 3.  

Ответ: 1; 2; 3.

Физкультминутка

Стоя выполняем упражнения под музыку:

вытянуть руки вперед;

дотронуться до кончика носа правой, левой рукой;

встряхнуть кистями рук;

№3. (Повышенный уровень, Вариант 2, стр.64, №4)

Найдите произведение корней уравнения: 2log7 x + 1 = logx 7.

ОДЗ: х > 0, x # 1. 2log7 x + 1 = ;     замена:  log7 x = t,

                             2t + 1 =

2t2 +t – 1 = 0, T  # 0,

  t1 = -1, t2 = 0,5.

1)  log7 x = -1,        2)  log7 x = 0,5,

        x =                   x =        ∙   =         Ответ:

IV.  Самостоятельная работа ( в форме тестирования: на карточках с    

                                                        самопроверкой)    

Вариант 1.

а). Для каждого уравнения укажите метод его решения:

       1)                                      

       2) 3cos2 x – 7cos x – 4 = 0;                      

       3)            

       4)                                              

       5) 2sin x ∙ cos x + sin x = 0.                    

       А) метод замены уравнения равносильным;

       Б) метод разложения на множители;

       В) метод введения новой переменной;

       Г) функционально-графический метод.

б). Найдите сумму корней уравнения: 

       6)  72х + 1 - 50∙7х = -7.

       А) 2;   Б) 1;   В) 0;    Г) -1.  

Бланк ответов

Ф.И.  ___________________________________

Вариант 2.

1. Для каждого уравнения укажите метод его решения:

       1)                                      

       2) х3 +2х2 - х = 0;                      

       3)            

       4)                                              

       5)                      

       А) метод замены уравнения равносильным;

       Б) метод разложения на множители;

       В) метод введения новой переменной;

       Г) функционально-графический метод.

б). Найдите сумму корней уравнения: 

       6)  2х  + 21 – х  = 3.

       А) 2;   Б) 1;   В) 0;    Г) -1.  

Бланк ответов

Ф.И.  ___________________________________

V. Задание на дом.

      Домашнее задание из вариантов ЕГЭ (часть С).

      № 6.5; 6,21; 4.35; 5.24 стр.144-148, 2012 год (А.Л. Семёнова; И.В.Ященко)

VI. Подведение итогов,  рефлексия.

• Кто может сформулировать название   темы урока?
• Какие главные идеи и мысли были на    уроке?
• Что нового вы узнали на уроке? Какие    навыки приобрели?
• У кого есть, что сказать, задать вопрос или есть желание высказаться?          
• Что надо учитывать, решая различные уравнения?
• Понравился ли вам сегодняшний урок? Как вы оцениваете своё настроение? Поднимите ту картинку, которая соответствует вашему настроению. Спасибо за урок! Всем удачного дня!

Используемая литература

1. А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Л.И.Звавич и другие: Алгебра и начала анализа (профильный уровень), 11 класс, часть 2, задачник, Москва, «Мнемозина», 2010г.
2. А.Г.Мордкович: Алгебра и начала анализа (профильный уровень), 11 класс,      часть 2, учебник, Москва, «Мнемозина», 2010г.
3. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова: Учебно-методический комплекс «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Тематические тесты, Повышенный уровень ЕГЭ-2011 (С1, С3), Ростов-на-Дону, «Легион-М», 2011г.
4. Л.И.Звавич,Л.Я.Шляпочник: Алгебра и начала анализа, Разноуровневые контрольные работы для подготовки к ЕГЭ, Москва, «Экзамен», 2011г.
5. Коробейникова Любовь Григорьевна, учитель математики,
   Лагунова Ирина Александровна, учитель математики, физики и информатики МОУ Саранинская СОШ: «Общие методы решения уравнений».
6. Касаткина Галина Николаевна: «Решение уравнений с помощью введения новой переменной».
7. Седнева Ольга Геннадьевна, заместитель директора, статья: «Общие методы решения уравнений».

8. М.П.Урукова,  Чебоксары:  урок в XI классе: «Методы решения уравнений».

9. Каменская  Г.Н., учитель  математики высшей категории, ГООУ Волгоградская санаторная школа-интернат  «Созвездие»: «Методы решения иррациональных  уравнений»