Статья на тему "Ряды Фурье"
статья по алгебре

Монгуш  Чокпак  Артуровна

Студентка 3 курса МИ_307 группы направления подготовки Педагогическое образование с двумя профилями «Математика» и «Информатика» физико-математического факультета, « Тувинский государственный университет», г. Кызыл

E-mail: mongushch0504@gmail.com

Аннотация

Элементы  математики  встречаются  на  производстве  практически  на  каждом  шагу, специалистам важно знать  и  блестяще ориентироваться в области применения  тех или иных инструментов анализа и расчета. Например, инженеру-электротехнику для расчетов периодических несинусоидальных процессов следует иметь четкое представление о таком важном понятии, как ряд Фурье.

В настоящей статье рассмотрены ряд Фурье, сходимость ряда Фурье, ряды Фурье для четных и нечетных функций, ряд Фурье с периодом  .

Ключевые слова: ряд Фурье, тригонометрический ряд Фурье, периодический, коэффициенты Фурье, четный, нечетный.

Ряды Фурье

1. Тригонометрический ряд.

 Ряд вида

                                            (1)

называется тригонометрическим рядом, а числа  , , , , , …,, , …

- коэффициентами тригонометрического ряда.

2. Ряд Фурье

Определение.  Пусть   функция, определенная и интегрируемая на отрезке  .  Тогда числа  , называются коэффициентами Фурье, а ряд

с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции  .

Например:

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию     с периодом   , заданную на указанном сегменте.

 ни четная, ни нечетная.

3. Сходимость ряда Фурье. Введем понятие периодического продолжения функции  , заданной на отрезке  .  

Будем говорить, что функция   , определенная на всей числовой прямой и периодическая с периодом  , является периодическим продолжением функции  , если на отрезке    .

Очевидно, что если на отрезке     ряд Фурье сходится к функции  , то он сходится на всей числовой прямой к ее периодическому продолжению.

4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.  Пусть функция  определена на отрезке     и является четной, т. е.  Тогда ее коэффициенты Фурье    равны нулю.

Аналогично, учитывая, что функции    и     четные, можно получить следующие выражения для коэффициентов   :

                          (2)

Пусть функция  , определенная на отрезке  , нечетная, т. е.  . Тогда коэффициенты Фурье    равны нулю.

Например:

1.      Разложить в ряд Фурье периодическую функцию     с периодом  , заданную на указанном сегменте.

       Продолжим четным образом 

2)

    Продолжим нечетным образом 

5. Ряд Фурье с периодом .

Пусть функция    определена на отрезке    ( произвольное положительное число)  и  удовлетворяет  на этом отрезке. Разложим ее в ряд Фурье.

Введем новую переменную    по формуле

и рассмотрим функцию  .

Разложим функцию      на отрезке   в ряд Фурье

,                           (3)

где

.

Вернемся теперь к старой переменной  .  Тогда формула  (3)  принимает вид

,                          (4)

где

.

Формула  (4)  и есть ряд Фурье с периодом  .

Например:

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию     с периодом   , заданную на указанном сегменте.

Функция четная 

Литература

1. Шипачев, В.С. Высшая математика: Учеб.  для вузов. - 4-ое изд., стер.-М.:  Высш. шк., 1998. – 479 с.: ил.  https://edu-lib.com/matematika-2/dlya-studentov/shipachev-v-s-vyisshaya-matematika-ucheb-dl
2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. II: Учеб. Пособие для втузов. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 415 с.: ил.   https://may.alleng.org/d/math/math148.htm