Подготовка к ОГЭ "Решение задач"
статья по алгебре (8 класс)
Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
Решение тестовых задач | 116.36 КБ |
Предварительный просмотр:
Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.
Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.
Запишите в виде математического выражения:
- на больше ;
- в пять раз больше ;
- на меньше, чем ;
- меньше в раза;
- на меньше, чем ;
- частное от деления на в полтора раза больше ;
- квадрат суммы и равен ;
- составляет процентов от ;
- больше на процентов.
Пока не напишете — в ответы не подглядывайте! :-)
Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах и . Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на больше ». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы :-)
Итак, правильные ответы:
больше, чем . Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
больше, чем , в пять раз. Значит, если умножить на , получим .
меньше, чем . Разница между ними равна . Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
На всякий случай повторим терминологию:
Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
Разность — результат вычитания.
Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
Частное — результат деления чисел.
Мы помним, что .
Если принять за , то на процентов больше, то есть .
Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:
- Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время .
- В качестве переменной удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!
Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.
. Из пункта в пункт , расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на километров больше, значит, его скорость равна .
Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по км. Можно внести скорость — она равна и для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».
Его мы найдем по формуле: . Для велосипедиста получим , для автомобилиста .
Эти данные тоже запишем в таблицу.
Вот что получится:
велосипедист | |||
автомобилист |
Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что на четыре больше, чем , то есть
Решаем уравнение.
Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.
Первую дробь домножим на , вторую — на .
Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение...), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.
А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю?» или «Как раскрывать скобки?» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!
Получим:
Разделим обе части нашего уравнения на . В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.
Умножим обе части уравнения на . Получим:
Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:
Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида . Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле , затем корни по формуле
В нашем уравнении , , .
Найдем дискриминант и корни:
, .
Ясно, что не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.
Ответ: .
Следующая задача — тоже про велосипедиста.
2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города в город , расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найдите скорость велосипедиста на пути из в . Ответ дайте в км/ч.
Пусть скорость велосипедиста на пути из в равна . Тогда его скорость на обратном пути равна . Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — километров. Осталось записать время. Поскольку , на путь из в велосипедист затратит время , а на обратный путь время .
туда | |||
обратно |
На обратном пути велосипедист сделал остановку на часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из в . Это значит, что на обратном пути он крутил педали на часа меньше.
Значит, на три меньше, чем . Получается уравнение:
Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:
Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:
Разделим обе части уравнения на
Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.
Умножим обе части уравнения на , раскроем скобки и соберем все в левой части.
Находим дискриминант. Он равен .
Найдем корни уравнения:
. Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.
Ответ: .
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.
При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.
Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.
А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.
3. Моторная лодка прошла против течения реки км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .
Тогда скорость движения моторки по течению равна , а скорость, с которой она движется против течения .
Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно км.
Занесем скорость и расстояние в таблицу.
Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению , при движении против течения , причем на два часа больше, чем .
по течению | |||
против течения |
Условие « на два часа больше, чем «» можно записать в виде:
Составляем уравнение:
и решаем его:
Приводим дроби в левой части к одному знаменателю:
Раскрываем скобки:
Делим обе части на , чтобы упростить уравнение:
Умножаем обе части уравнения на
Вообще-то это уравнение имеет два корня: и (оба этих числа при возведении в квадрат дают ). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.
Ответ: .
4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна км/ч, стоянка длится часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Снова обозначим за скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна , скорость его движения против течения равна . Расстояния — и туда, и обратно — равны км.
Теперь графа «время».
Поскольку , время движения теплохода по течению равно , которое теплоход затратил на движение против течения, равно .
по течению | |||
против течения |
В пункт отправления теплоход вернулся через часов после отплытия из него. Стоянка длилась часов, следовательно, часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.
Значит,
Прежде всего разделим обе части уравнения на . Оно станет проще!
Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на , получаем квадратное уравнение . Поскольку скорость течения положительна, получаем: .
Ответ: .
Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную километров в час — задача решена неверно.
5. Баржа в вышла из пункта в пункт , расположенный в км от . Пробыв в пункте час минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в . Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.
Пусть скорость течения равна . Тогда по течению баржа плывет со скоростью , а против течения со скоростью .
Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из вычесть , а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что час минут придется перевести в часы: час минут часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно часа.
по течению | |||
против течения |
Возникает вопрос — какой из пунктов, или , расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! :-)
Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма , равная .
Итак,
Решим это уравнение. Число в правой части представим в виде неправильной дроби: .
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:
Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на и умножим на , оно станет значительно проще:
Поскольку скорость течения положительна, .
Ответ: 2.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 08.01.2023
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
разработка урока по математике в 11 классе. Подготовка к ЕГЭ. Задачи С6 на тему "Целочисленное решение"
Представлена разработка урока для 11 класса для подготовки выпускников к ЕГЭ (повышенный уровень - часть С)...
Разработка урока математики «Подготовка к ЕГЭ. Задачи С6»
Представлена разработка урока по алгебре для подготовке выпускников к ЕГЭ (задачи части С6)...
Подготовка к ЕГЭ:задачи по молекулярной биологии и по генетике
Данный материал поможет учителю и учащимся повторить материал по молекулярной биологии и генетике, и хорошо пдготовиться к экзамену....
Подготовка к ЕГЭ. Задачи В6.
В данной презентации рассмотрены основные задачи В6 "Открытого банка 2013" по математике....
Подготовка к ГИА.Задачи по геометрии. Урок №1.
Тексты и чертежи к задачам по геометрии для подготовки учащихся к ГИА....
Алгоритмизация мыслительной деятельности школьников при подготовке к решению задач ЕГЭ и ГИА. Подготовка учащихся к ЕГЭ и ГИА по математике
ОБОБЩЕНИЕ ОПЫТА РАБОТЫ...
ПРОЕКТ «Методика подготовки выпускников решению задач по теме «Задачи на проценты» , включенных в ОГЭ по математике. Разработка системы индивидуальных заданий»
Авторы проекта Майоров Петр Ивановичучитель математики МБОУ «Тоншерминская СОШ» Тетюшского муниципального района РТЕфремова Наталья Валерьевна, учитель математики МБОУ «Гимназия №1» г.Лаишев...