разработка урока по математике в 11 классе. Подготовка к ЕГЭ. Задачи С6 на тему "Целочисленное решение"
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Разработка урока

По математике в 11 классе

Тема: Подготовка к ЕГЭ

Задачи С6 на тему

«Целочисленное решение»

Учитель Москвина Л.Ю.

МОБУ СОШ с.Амзя
г.Нефтекамск

2011 год

Разработка урока по математике в 11 классе

 Задачи С6 по теме

«Целочисленное решение»

Цели:

1. Дидактическая: Научить способам и приемам решений целочисленных  преобразований.
2. Техническая: Формировать общие способы и приемы решения задач С6 на целочисленное преобразование.
3. Воспитательная : воспитание интереса к решению и овладению приемам решений нестандартных заданий части С6 по ЕГЭ.

    a=5
     b=3

      a=-5
     b=-3

1. Выравнивание знаний

1. a2-b2=?
            5*3           
2. a*b=15
       -5*(-3)
3. n!=1*2*…*n     произведение всех натуральных  
                                 чисел от 1 до n

например
5!= 1*2*3*4*5

4. если а-2b=1
   2b –четное число, т.к. кратно 2,

то a – нечетное  а=2n+1

5. (m+3)2=?
   m2+6m=y

Искусственно получить или выделить квадрат

2. Изложение нового материала

1. Решить в натуральных числах уравнение

n!+5n+13= k2
Решение

1. Предположим, что n>=5, то

n! делиться на 2 и на 5 (n!=1*2*3*4*5*…n),

значит запись числа в левой части равенства оканчивается на 3 или 8 ,но правая часть квадратного числа не может оканчиваться на 3 и 8

2. если n€[1;4], то единственное решение

n=2; k=5 (2!+5*2+13=52

1*2+10+13=25 – верно)

Ответ : n=2; k=5.

2. Решить в целых числах уравнение:

m4-2n2=1 (*)

Решение: т.к. 2n2 четно, а разность  - нечетное число, то m4 – нечетное число; пусть  m= 2t+1, т.к. квадрат числа число не отрицательное, то  если (m;n) – решение уравнения, то (-m;n); (m;-n); (-m;-n) – тоже решения уравнения.

Из (*) следует m4-1=2n2

m4-1=(m-1)(m+1)(m2=1)=(2t+1-1)(2t+1+1)(4t2+4t+2)=

=2t(2t+2)(4t2+4t+2)=2n2

8t(n+1)(2t2+2t+1)=2n2 /:2

4t(n+1)(2t2+2t+1)=n2 (**)

Левая часть четное число, то n – четное. Пусть n=2z

4t(n+1)(2t2+2t+1)=4z2 /:4

t(n+1)(2t2+2t+1)=z2
2t2+2t+1= 2t(t+1)+1

числа t; t+1; 2t(t+1)+1  - попарно взаимно простые, а их произведение – полный квадрат. Это возможно, если t=0, иначе t+1 не будет квадратом.

0*1*1=z2

z2=0

z=0, то n=0, m=±1

ответ: m=±1, n=0

3. Решить в целых числах – разбираем вместе.

n2=9m2+7

n2-9m2=7

используем  формулу разности квадратов.

(n-3m)(n+3m)=7

7= 7*1=1*7=-1*(-7)= (-7)*(-1)  - 4 варианта.

n-3m=1          7         -7       -1

n+3m=7          1         -1       7

6m=6

m=1

      n=1+3*1

      m=1

      n=4

аналогично другие варианты.

Ответ: (4;1), (4;-1) ;(±3;-+2); (±5;-+2)

4. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33.

Решение:

1)Найдем все пары чисел (а,b), a,bЄN, что a2-b2=33

(a-b)(a+b)=33 33=1*33=33*1=11*3=3*11 т.к a+b>a-b, то возьмем 33=1*33 =3*11.

Ответ: (17;16); (7;4)

5.Найти все целые значения  при которых число
m4-4m+3

 является целым.

Решение:

m4-4m+3∊Z

То,  m4-4   должно делиться на m+3

Искусственно получим в числителе квадрат двучлена (m+3)

m2-4=(m2+6m+9)-6m-9-4=(m+3)2-6m-13

(m+3)2-6m-13m+3=(m+3)2m+3-6m+13m+3+1==m+3-6m+3-18+13m+3==m+3-6m+3m+3+5m+3==m+3-6+5m+3=m-3+5m+3

Т.к. m-3∊Z, то ищем  при каких m    5m+3∈Z 

Перебираем.

Если m=-8, то5-8+3=-1∈Z

Если m=-4, то5-4+3=-5∈Z

Если m=-2, то5-2+3=5∈Z

Ответ: -8;-4;-2;2.

6.Найти все пары целых чисел х и у, при которых является верным равенство

-3ху-10х+13у+35=0

Решение:

1. -3ху-10х+13у+35=0   /*(-3)

9ху+30х-39у-130+130-105=0

3х(3у+10)-13(3у+10)+25=0

3х(3у+10)-13(3у+10)+25=0

(3у+10)*(3х-13)=-25

6 способов разложения:

 -25=-1*25=1*(-25)=25*(-1)=-25*1=-5*5=5*(-5)

1

Не удовлетворяет условию

Не удовлетворяет условию

Не удовлетворяет условию

Ответ: (4;5);(6;-5);(-4;-3)

6. Решить в натуральных числах уравнение:

1m+1n=125

Решение: уравнение тождественно 25m+25n=mn, где m>n

При n=25 равенство неверно

25*25+25m=25m

625=0  - неверно.

Выразим число m

m(25-n)=-25n

 m(n-25)=25n

m=25nn-25=25n-25+625n-25=25(n-25)n-25+625n-25=25+625n-25

выясним, при каких m     625n-25∊Z

натуральные делители 625:    1;5;25;125;625

n-25=1      n=26, то m=650

 n-25=5      n=30, то m=150

n-25=125      n=150, то m=30    30>150 -неверно

n-25=625      n=650, то m=26     26>650- неверно

ответ: m=650; n=26 или m=150; n=30.

7.Решить в целых числах уравнение

4*3х-35=у2

Решение:

1)Если (х;у) – решение уравнения, то (х;-у) – тоже решение. Рассмотрим вначале решение где у≥0

2)Рассмотрим два случая

Х- четное, т.е. х=2n, n∊N,то выражение можно разложить как разность квадратов.

4*32n-у2=(2*3n-у)(2*3n+у)=35

35=5*7=1*35

2*3n-у<2*3n+у

2 случай если х – нечетное, х=2n+1, n∊N, 4*3х⋮3, а у2не делится на 3, дает в остатке 1 или 0,  а число 35:3 (ост 2) следовательно уравнение не имеет решений.

Ответ: (2;1) и (2;-1); (4;17); (4;-17)

Итог урока: применение формул ФСУ, искусственное получение выражений, кратных данным знаменателю, учет четности и нечетности слагаемых, способы разложения на числовые  множители  и др. дают нам способы решения целочисленных выражений.

IV Домашнее задание:

1)повторение способов;

2)закрепление их при решении следующих заданий С6.

а) Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 77

Ответ: (9;2); (39;38)

б)Найти все натуральные значения n, при которых  число n2+13n+1 является натуральным.

Ответ:1;6;13

в) Решить в целых числах 2х-63=у2

Ответ: (6;1); (6;-1); (10;31);(10;-31)