«Лента Мёбиуса загадка современности»
творческая работа учащихся по алгебре (9, 10, 11 класс)

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Отрадненская средняя общеобразовательная школа

Брянского района Брянской области

Конкурс исследовательских работ

  «Будущие учёные»

Номинация: Математика

по теме:

«Лента Мёбиуса загадка современности»

                                                       Работу выполнила:

                                                  Клюева Полина

                                             Михайловна

                                                     ученица 9 класса

                                                              Руководитель: Клюева

                                                              Ольга Александровна,

                                                          учитель математики

                                                                           МБОУ «Отрадненская СОШ»

                                                         Брянского района.

2021 г.

Содержание

Введение………………………………………………………………………...3-5

Основная часть………………………………………………..…………..….6-21

Глава 1 Историческая справка. ……………………………………....…….….6-7

Глава 2. Лист Мёбиуса - начало новой науки топологии ……………...….7-8

Глава 3. Изготовление листа Мёбиуса …………………………………..…..8-10

Глава 4. Опыты с листом Мёбиуса ………………………………...……….10-12

Глава 5. Топологические свойства листа Мёбиуса …………….………..……13

Глава 6. Фокусы с лентой Мёбиуса………………………………………..14-15

Глава 7. Применение листа Мёбиуса…………………...…………………..15-21

Заключение ……………………………………………………………………..22                                                                                                 

Список литературы……………………………………………………….……23                                                                                       

Приложение ………………………………………………………...…...…..24-28

Введение

«Лучший способ изучить что-либо -  

            это открыть самому».

                                                                                                             Д. Пойа

Все мы уже настолько привыкли к обилию фантастических фильмов, что никого не удивляют термины «телепортация», «другое измерение», «многомерное пространство»... Наверное, даже школьник на вопрос: в каком мире мы живем? - ответит в трехмерном. А ведь мы настолько привыкли не замечать окружающее нас, что если кому-либо сказать, что в нашем трехмерном пространстве существуют двумерные предметы, то есть шанс быть просто непонятым. А ведь такие предметы, действительно, есть.

Это  так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция. Лента Мёбиуса — это и наука, и мистика одновременно. Хотя бы потому, что… «вот оно, смотрите, я сам его склеил, всё просто, но всё равно непонятно — две стороны, одна сторона…».

Таким образом, вокруг нас много интересного и непознанного. Данная лента даёт объяснение многим процессам: историческим, биологическим, эволюционным и другим. Главное, уметь пользоваться этими знаниями.

       Перед тем, как начать работу по данной теме, я провела социологический опрос среди своих одноклассников.

Результаты проведённого социологического опроса с учащимися 9 класса.

    Только 8% учащихся 9 класса знают, что такое топология. 28% учащихся  знают , что такое лента Мёбиуса, 12% слышали  о ней. 52% не имеют представление о ленте Мебиуса. 12% учащихся знают  свойства ленты, 16% слышали о них, 72%  не знают ничего о свойствах ленты Мебиуса.

Гипотеза: лента Мёбиуса, изобретенная в XIX веке, не потеряла своей актуальности и в XXI веке.

Объектом исследования является Лента Мёбиуса.

Предмет исследования: свойства Ленты Мёбиуса

Цель работы –  исследовать поверхность ленты Мёбиуса и ее свойства.

Из поставленной цели вытекают следующие задачи:

•   выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их;

•   познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;

•   научиться изготавливать лист Мёбиуса;

•   изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса;

Методы исследования:

• Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
• Социологический опрос, эксперименты.
• Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Актуальность:

Выбрав тему, я убедилась, что она актуальна, так как в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты.

Кроме того, существует предположение, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуются с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль всё время летящий прямо может вернуться к месту своего старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Занимаясь этой работой, я пришла к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке, и в XXΙ. Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике, оптике. Вдохновлял и вдохновляет он на творчество многих писателей и художников. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни.

Глава 1. Историческая справка

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус. Рассказывают, что открыть свой "лист" Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы длинной ленты. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты.

Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса - Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.

А. Ф. Мёбиус родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Став профессором Лейпцигского университета, с 1816 года Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию, систему координат и аналитические методы исследования; установил существование односторонних поверхностей (листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон рёбер» и которые не имеют объёма. Мёбиус - один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии. Он получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса) и стал одним из крупнейших геометров своего времени.

Глава 2. Лента Мёбиуса - начало новой науки топологии

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Термин "топология" может быть отнесён к двум разделам математики. Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, долгое время называли комбинаторной. За другой, у истоков которой стоял немецкий учёный Георг Кантор, закрепилось название общей или теоретико-множественной.

Комбинаторная топология - раздел геометрии. «Геометрия» - слово греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие», («гео» - по - гречески земля, а «метрео» - мерить) изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы.

1. Планиметрия (лат. слово, «планум» - поверхность + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)

2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство + метрия) - раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

З. Топология (греч. «топос» - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Комбинаторная топология изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных отображениях. Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.

Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики. Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т. п. Основы аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем Александровым.

Глава 3. Изготовление листа Мёбиуса

Лист Мёбиуса относится к числу (математических неожиданностей). Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВCD, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и CD, т.е. так что совместятся точки А и C и точки D и В. ( приложение 1)

         Формы и размеры бумажной полоски для листа Мёбиуса.

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но нельзя недооценивать тот факт, что ограничения на размер имеют значения в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то лист Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров - склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее не склеиваемых.

          Развёртывающая поверхность.

          Раз требование не мять бумагу важно, посмотрим, каков его математический смысл.

Легко понять, что запрещение мять бумагу значительно ограничивает возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить без складки пополам, но нельзя сложить вчетверо. Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус, но нельзя сделать сферу или даже её кусочек: прижмите лист бумаги к глобусу, и обязательно появятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму. ( приложение 2)

Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги, изгибая, но, не сминая его, математики называют развёртывающимися. В математике развертывающиеся поверхности определяются не так: в метаматематическом языке отсутствуют слова «бумага», «сминать», «сделать». Существует целая теория развёртывающихся поверхностей, среди достижений которой - удовлетворительный ответ на вопрос, какими они могут быть; математики называют это «классификацией» (ответ принадлежит Леонардо Эйлеру). Приведём только некоторые свойства развертывающихся поверхностей как экспериментальные факты. ( приложение 3)

1.Через каждую точку А развёртывающиеся поверхности, не лежащую на её границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в А. Иначе говоря, каждой точке к развёртывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхности (условимся, что это название относится только к отрезкам максимальной длины, целиком лежащим на поверхности, то есть к отрезкам, не содержащимся в больших отрезках с этим свойством).

2.Если через точку А, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причём А не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий А, является плоским. В таком случае точку А мы будем называть плоской.

3.Если точка А, не лежащая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем, а, то окрестность точки А устроена так: через точку А проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, допустим b. Эта образующая разделяет поверхность на две части. С той стороны от образующей  b, с которой находится образующая  a, к образующей b прилегает плоский кусок, с другой стороны от b, сколь угодно от точки А, имеются не плоские точки. Точку А в этой ситуации мы будем называть полуплоской.

Подчеркнём, что если точка поверхности не является ни граничной, ни плоской, то через неё проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причём концы этой образующей лежат на границе поверхности.

Примеры: лист бумаги, свёрнутый в цилиндр или в конус, плоских (и полуплоских) точек не имеет. У цилиндра образующие составляют семейство параллельных отрезков, у конуса - семейство отрезков, веером расходящихся из одной точки. Возможны более сложные расположения образующих.   

( приложение 4)

Например, образующие и плоские точки развёртывающейся поверхности, показаны на рисунке (на нём поверхность развёрнута в плоский лист бумаги): тонкие линии - образующие, а закрашенные области состоят из плоских точек.

Точки, лежащие на границе области плоских точек, являются либо граничными для всей поверхности, либо полуплоскими. Если поверхность сделана из бумажного многоугольника (скажем, из прямоугольника), то плоские точки составляют один или несколько плоских многоугольников, причем у каждого из этих многоугольников вершины лежат на границе поверхности, а стороны либо лежат на границе, либо состоят из полуплоских точек.

Глава 4. Опыты с листом Мёбиуса

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что - нибудь таинственное в таком обычном понятии? Да, может, примером является лист Мёбиуса. Чтобы изучить его свойства, я провела несколько опытов (разделив их на две группы) самостоятельно.

I группа опытов

Опыт № 1. Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с  которой имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) -две стороны. Начала красить лист Мёбиуса, не переворачивая его.

Результат. Лист Мёбиуса закрасился полностью.

« Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону

поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с  

краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной

книге «Что такое математика?»

Опыт №2. Изготовила из бумаги паука и муху и отправила «гулять» по

обыкновенному кольцу, но запретила им переползать границы.

Результат. Паук не смог добраться до мухи.

Опыт № 3. Отправила этих паука и муху только уже по листу Мёбиуса. И

запретила им переползать через границу.

Результат. Бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!

Опыт №4. Изготовила из бумаги человечка и отправила, его путешествовать по ленте Мебиуса.

Результат. Человечек вернется в точку отправления, в ней он встретился бы при этом со своим зеркальным отображением.

II группа опытов

связана с разрезанием листа Мёбиуса, результаты  занёсены в таблицу

Глава 5. Топологические свойства листа Мёбиуса

По результатам опытов можно сформулировать следующие топологические свойства листа Мёбиуса, относящиеся к математическим неожиданностям.

1. Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное

только для него.

2. Непрерывность - на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена

с любой другой точкой. Разрывов нет - непрерывность полная. С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность.

3. Связность - чтобы располовинить кольцо, потребуется два разреза. Что

касается листа Мёбиуса, то количество связей заменяется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот - двусвязен, если два оборота - односвязен, если три - двусвязен и т. д. А вот чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.

4. Ориентированность - свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так,

если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.

5. «Хроматический номер» - это максимальное число областей, которые

можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Глава 6. Фокусы с лентой Мебиуса

          Проблема завязывания узлов.

Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного" узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

Завязать узел на шарфе одной рукой, не выпуская конец шарфа из руки. Ответ этой головоломки можно найти в книге М.Гарднера "Математические чудеса и тайны".

С точки зрения топологии жилет можно рассматривать как двустороннюю поверхность с тремя не сцепленными краями, каждый из которых является обыкновенной замкнутой кривой. Застегнутый жилет является двусторонней поверхностью с четырьмя краями.

Загадочная петля.

Зрителю, носящему жилет, надевают на руку петлю, а затем просят заложить большой палец в нижний карман жилета. Теперь можно предложить присутствующим снять петлю с руки, не вытаскивая пальца из кармана жилета. Разгадка такова: петлю нужно протащить в жилетное отверстие для рукава, перебросить через голову зрителя, вытащить через второе отверстие для рукава и перенести под вторую руку. В результате этих действий петля окажется под жилетом, окружая собой грудь. Опускайте ее до тех пор, пока она не покажется из-под жилета, а затем дайте упасть на пол.

Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека.

Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет болтаться в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.

Глава 7. Применение листа Мёбиуса

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка - своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу. ( приложение 5)

Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность.

         Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза , потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию. Лист Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере.

Совсем недавно ей нашли другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лист Мёбиуса же, вопреки всем законам, направление срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках - её нельзя перекрутить, как обычную - своего рода вечный двигатель. ( приложение 6)

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка). ( приложение 7)

При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса. ( приложение 8)

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно - фантастические рассказы предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе автора А.Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в лист Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. ( приложение 9)

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти: спираль замыкается сама на себя, и происходит самоуничтожение. ( приложение 10)

Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и фокусникам

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника.

Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. ( приложение 11)

Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и листу Мёбиуса (работа с бумагой « Лист Мёбиуса и его модификации»).

         Спорт: Ручной эспандер "Робур" ( приложение 12)

Одна из любимых вещей всех школьных учителей физкультуры, которая по их собственному выражению«тренирует не только мышцы кисти, но и мышцу мозга". Кистевой эспандер от студии Артемия Лебедева повторяет форму ленты Мёбиуса. Отличное средство для снятия стресса, размышлений о бесконечности и просто полезный способ занять руки.

         Парфюм: Духи Bugatti ( приложение 13)

Компания Bugatti начала выпуск не только сверхдорогих автомобилей (модель Veyron стоит 1,3 млн. евро), но и… духов. каждый флакончик, сделанный из хрусталя и покрытый настоящим золотом выполнен в виде необычного листа Мёбиуса, который имеет лишь одну сторону. Цена духов Bugatti составляет 3500 евро. Духи Loewe Quzas, Quizas, Quizas

( приложение 14)

Осенью 2011 года вышла багровая версия аромата, флакон которой обернут лентой Мебиуса - символом круговорота страстей в природе. Богатство композиции состоит из свежести азиатских апельсинов, бергамота, красных ягод, продолжается цветочным сердцем из магнолии, фрезии и лепестков апельсина, и завершается композицией из чувственного шлейфа кашмирового дерева, золотой амбры и ветивера. Духи UFO Limited Edition, Kenzo ( приложение 15)

Презентация аромата Kenzo состоялась в 2009 году на ретроспективной выставке работ Рона Арада (Ron Arad) в парижском Центре Помпиду. Именно этот художник и архитектор придумал космический дизайн флакона в виде ленты Мебиуса. Он разработан так, чтобы точь-в-точь поместиться в ладонь. Unidentified Fragrance Object, или «Неопознанный ароматический объект» существует в количестве всего 180 экземпляров и стоит $188.

Мебель: стол Мёбиуса ( приложение 16)

Стол с одной поверхностью, за которым можно стоять, сидеть и на котором можно удобно лежать.

Книжная полка Infinity ( приложение 17)

Дизайнер Джоб Келевий сломал форму, когдаразрабатывал свой книжный шкаф Инфинити. Используяматематическую концепцию Лемниската, и что-то похожеена ленту Мебиуса, в полке Инфинити дизайнер воплотилфизическое представление о бесконечности. Это значит,что если вы прочитали все книги с этой полки, считайте, чтовы постигли всю бесконечность литературы.

Диван Мёбиуса ( приложение 18)

Родившееся под девизом "Двойное кресло - двойное удовольствие", кресло-диван Moebius Double Armchair создано дизайнером Gaеtan Van de Wyer из Бельгии и несет в себе свежее видение мебели для влюбленных.

Логотипы: логотип компании Woolmark ( приложение 19)

Логотип был создан в 1964 году в результате дизайнерского конкурса. Член жюри Franco Grignani не устоял и предложил свой вариант, спрятавшись под псевдонимом Francesco Seraglio. Данный логотип напоминает лист Мебиуса и является символом вечности и гибкости компании.

Символ переработки ( приложение 20)

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса. Перерабо́тка (другие термины: вторичная переработка,рециклинг отходов, рециклирование и утилизация отходов) - повторное использование или возвращение в оборот отходов производства или мусора. Наиболее распространена вторичная, третичная и т. д. переработка в том или ином масштабе таких материалов, как стекло, бумага, алюминий, асфальт, железо, ткани и различные виды пластика. Также с глубокой древности используются в сельском хозяйстве органические сельскохозяйственные и бытовые отходы.

Символ математики. ( приложение 21)

Лист Мёбиуса считают символом современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим исследованиям.

Одежда и обувь: туфли ( приложение 22)

Созданная в 2003 году архитектором Рэм Ди Колхаазом и обувщиком Галахадом Кларком компания United Nudeспециализируется на выпуске инновационной дизайнерской обуви. Одной из наиболее удачных разработок компании являются туфли Mobius, названные так в честь геометра Августа Мебиуса и его идеи односторонней поверхности. Идея туфель такова: кожаный верх туфель и подошва представляют собой единую ленту, закрученную определенным образом.

Шарф Мёбиуса ( приложение 23)

Инетресная вещь шарф Мёбиуса появивщаяся в гардеробах 21 века. Шарф Мёбиуса можно сделать самому связав концы шарфа на перекрутив на один оборорт.

Живопись: граффити ( приложение 24)

Современная лента Мёбиуса нарисована на одной из стен в Праге, Чехия.  По ленте двигаются два типа машин: танки и строительно-дорожная техника.Символ современной цивилизации: разрушаем-строим-разрушаем-строим..

Архитектура

Здание библиотеки ( приложение 25)

В настоящее время рассматривается проект постройки библиотеки в виде листа Мёбиуса в Казахстане. Изгибы здания образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

Аттракционы ( приложение 26)

Аттракцион "Американские горки" напоминает форму листа Мебиуса. В Москве находятся самые большие в мире американские горки инвертированного типа, где человек сидит в подвешенном кресле, а его ноги находятся в воздухе. Скорость - 81 км/ч, высота 30 м. Высота, по сравнению с зарубежными аналогами, невелика, но это с лихвой окупается обилием спиралей, колец и мёртвых петель.

Кинолента ( приложение 27)

В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон.

Кассета ( приложение 28)

Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

Автомобиль Toyota MOB ( приложение 29)

Боллид Мёбиуса выполнен испанским дизайнером Хорхе Марти Видала и сочетает в себе красоту и загадку ленты Мёбиуса. Уникальная форма кузова обеспечивает гоночной машине хорошую аэродинамику

Матричный принтер ( приложение 30)

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Резистор Мёбиуса ( приложение 31)

Это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

Шлифовальная лента ( приложение 32)

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса

Заключение

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников и нас учеников. Мне были очень интересны открытые свойства листа Мёбиуса:

• Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону
• Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
• Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
• Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии и изучении свойств Вселенной. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.
• Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин.
• Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также множество фантастических рассказов.

Работая над данной темой, я получила удовольствие от полезной и интересной информации о листе Мёбиуса от того, что смастерила своими руками и поделилась этим с ребятами нашей школы.

Литература

1. Е.С. Смирнова. Курс наглядной геометрии. - М: Просвещение, 2015.
2. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Еранжиева. Наглядная геометрия. 5-6 класс. - М: Дрофа, 2020.
3. Лист Мёбиуса. [Электронный ресурс]. - Разработка ПО 2017. Режим доступа: ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса
4. Старохамская Ю.А. Что такое лента Мёбиуса и зачем ее надо резать. [Электронный ресурс]. - Разработка ПО 2017. Режим доступа: shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/
5. Фукс Д. Лента Мебиуса: Вариации на старую тему. [Электронный ресурс]. - Разработка ПО 2018. Режим доступа: arbuz.uz/t_lenta.html
6. Эксперименты с листом Мёбиуса. [Электронный ресурс]. - Разработка ПО 2017. Режим доступа: oksla.narod.ru/experiments.html
7. Энциклопедия для детей «Математика». - М: Аванта+, 2005.

Приложение

Приложение 1.

                                    Приложение 2. 

Приложение 3.

Приложение 4 . 

     Приложение 5.                                                           Приложение 6 .

Приложение 7 .

 Приложение 8.

Приложение 9.

Приложение 10.

Приложение 11.

Приложение 12 .                               Приложение 13.

Приложение 14.

                         Приложение 15.

Приложение 16                                                    Приложение 17.

Приложение 18.                             Приложение 19.

Приложение 20.                                             Приложение 21.

Приложение 22                                                       Приложение 23.

Приложение 24.                                             Приложение 25.

Приложение 26.                                              Приложение 27.

Приложение 28                            Приложение 29 .

Приложение 30.                      Приложение 31.             Приложение 32.