Учебный материал к уроку по теме «Уравнения, решаемые разложением на множители»
методическая разработка по алгебре (10, 11 класс)

Учебный материал к уроку по теме «Уравнения, решаемые разложением на множители» состоит из семи блоков задач, шесть из которых являются обязательными для выполнения, а один предлагается школьникам в качестве дополнительного и выполняется по желанию.

Опишем содержание каждого блока задач.

Блок №1 «Тригонометрические уравнения, решаемые с использованием известных методов разложения на множители». В этот блок входят уравнения, содержание тригонометрическую функцию, решение которых может сводиться как к использованию табличных значений синуса и косинуса, так и значений, которые табличными не являются. При этом на предварительном этапе используются общеизвестные способы разложения на множители(вынесение общего множителя за скобки, использование ФСУ, группировка).

Блок №2 «Тригонометрические уравнения, решаемые с использованием формул двойного угла с последующим применением известных методов разложения на множители». В этот блок входят уравнения, содержащие тригонометрические функции, при их  решении на предварительном этапе применяются формулы двойного угла, а затем используются общеизвестные способы разложения на множители (вынесение общего множителя за скобки, использование ФСУ, группировка).

Блок №3 «Тригонометрические уравнения, решаемые с использованием формул приведения, формул  половинного и двойного углов». В этот блок входят уравнения, содержащие тригонометрические функции, при их  решении на предварительном этапе применяются формулы приведения, двойного угла, половинного угла а затем используются общеизвестные способы разложения на множители (вынесение общего множителя за скобки, использование ФСУ, группировка).

Блок №4 «Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций с последующим разложением на множители». В этот блок входят уравнения, содержащие тригонометрические функции, при их  решении на предварительном этапе применяются формулы сложения тригонометрических функций, а затем используются общеизвестные способы разложения на множители (вынесение общего множителя за скобки, использование ФСУ, группировка).

Блок №5 «Тригонометрические уравнения, решаемые методом разложения на множители (комбинация методов) с последующим отбором корней». В этот блок входят уравнения, содержащие тригонометрические функции, при их  решении на предварительном этапе применяются формулы сложения тригонометрических функций, двойного и половинного углов, формулы приведения, а затем используются общеизвестные способы разложения на множители (вынесение общего множителя за скобки, использование ФСУ, группировка).

Требование задачи содержит условие, что корни уравнения должны удовлетворять какому-либо свойству. Например, они могут принадлежать какому-либо промежутку.

Блок №6 «Уравнения смешанного типа, решаемые способом разложения на множители». Блок содержит смешанные уравнения, содержащие как тригонометрические функции, так и функции другого типа. При решении уравнений используются общеизвестные способы разложения на множители (вынесение общего множителя за скобки, использование ФСУ, группировка).

Блок №7 (выполняется учащимися по желанию) «Уравнения с параметром, решаемые разложением на множители». В данный блок входят уравнения, содержащие один или несколько параметров. Требования могут быть различные: решить уравнение, при каких значениях параметра уравнение не имеет решений, при каких значениях параметра корни уравнения удовлетворяют определенному условию и т.д.

Важно отметить, что блоки могут содержать задачи, которые не являются для школьников новыми, т.е. могли быть решены на предыдущих уроках. Однако, учитель имеет право их использовать для наполнения блоков, а ученик сам определяет какие из задач ему целесообразнее выполнить.

Приведем примеры заданий по каждому блоку, количество заданий в каждом блоке может варьироваться и определяется непосредственно учителем для каждого конкретного класса.

Блок №1 (всего 8 задач, минимальное количество для выполнения 4 задачи)

Решите уравнения:

1)ctg2x-4ctgx=0; 2) tg3x=tgx;

3)ctg2x(sinx-1)=0; 4) cos 2 x + sin x · cos x = 1;

5)sinxtgx+1=sinx+tgx; 6)sin4x-3sin3x+3sinx-1=0;

 7) sin3x-cos3x=sinx-cosx; 8)2ctg2xcos2x+4cos2x-ctg2x-2=0

Блок №2 (всего 8 задач, минимальное количество для выполнения 4 задачи)

1. Sin2x+sinx=0
2. Sin2x+sinx =2cosx+
3. Cos2x - sin2x+cosx =sinx
4. 5sinx+3sin2x=0
5. Sinx+cosx=1+sin2x
7. 2sin2x=4cosx-sinx+1
8. 2xcosx-8cosx+x-4=0

Решите уравнения:

Блок №3 (всего 8 задач, минимальное количество для выполнения 4 задачи)

Решите уравнения:

1)2cos( -x)=tgx;

2) cos( +2x)=cosx;

3)2sin2( +x)=cosx

4)4sin3x=3cos(x - )

5)-sin(- +x)sinx=cosx

6)cos2x-cos( +x) -1=0

7)2sin(Π+x)sin( +x)=sinx

8)tg=3ctg

Блок №4 (всего 6 задач, минимальное количество для выполнения 4 задачи)

Решите уравнения:

1. sin2x+sin3x+sin4x+sin5x=0
2. sin2x+cos2x= sin3x

3)cos3x-2cos2x+cosx=0

4)cos7x+sin8x=cos3x-sin2x

5)sin3x+sin5x=sin4x

6)sinx-sin3x-sin5x+sin7x=0

Блок №5 (всего 6 задач, минимальное количество для выполнения 4 задачи)

1)=1

2)sin2x+sin(Π-8x)= cos3x

3)0,5(cos5x+cos7x)-cos23x+sin23x=0

4)ctg15[+ctg3x=0

5)sin(3x+5)-sin(x+1)=2sin(x+2)

6)tgx+tg( +x) =2

Блок №6 (всего 6 задач, минимальное количество для выполнения 3 задачи)

Выполните следующие задания.

1)2xcosx-8cosx+x-4=0

2)cosx=0

3)(sinx-)=0

4)(2x2-5x-12)(2cosx+1)=0

5)=cosx

6)36sin2x=62sinx

Блок №7 (всего 4 задачи).

1. 4sin2x+acosx=0;
2. cos2x +asinx=1;
3. sin(ax+)=0, при каких значениях параметра а x= является корнем уравнения;
4. 4sin2x+acosx=cos3x .

Инструкция для обучающихся по работе с блоками задач

Для работы на уроке Вам предлагается восемь блоков заданий по теме «» Блоки №1-№6 являются обязательными, а блок №7 может быть выполнен по желанию. Работа с блоками задач осуществляется последовательно, т.е. сначала выполняется первый блок, затем второй и т.д.

Ознакомьтесь внимательно с заданиями каждого блока. Для того чтобы блок считался выполненным необходимо решить минимальное количество любых задач из этого блока (минимальное количество задач указано рядом с названием блока), выбранных самостоятельно. Если Вы считаете, что минимального количества задач не достаточно для усвоения Вами данного блока, решите большое задач, количество определите самостоятельно. Если количества задач в блоке для Вас не достаточно, обратитесь к учителю. Задания из блока №7 могут быть выполнены в любом объеме и по желанию.

В конце занятия сдайте тетради на проверку учителю.