Урок по алгебре в 9 классе "Сумма n первых членов геометрической прогрессии"
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Урок по теме «Сумма n первых членов геометрической прогрессии»

алгебра, 9 класс.

Цель:

Формирование знаний и первичное закрепление умений учащихся по теме «Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии».

Задачи урока:

Образовательные:

• познакомить учащихся с понятием геометрической прогрессии, формулой n-го члена геометрической прогрессии;
• сформировать у учащихся умение применять данные знания при решении задач.
•  знакомство со свойствами геометрической прогрессии и формулой n-ого члена;
• сформировать у учащихся умение находить знаменатель и п-ый член геометрической прогрессии.

Развивающие:

• способствовать развитию критического мышления через восприятие информационного текста;
• способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию;
• стимулировать мыслительную и творческую деятельность учащихся путем решения межпредметных (физика, биология, экономика) задач.

Воспитательные:

• побуждать учащихся к преодолению трудностей, к самоконтролю, взаимоконтролю в процессе умственной деятельности;
• воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор;
• подготовка к сознательному восприятию учебного материала.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал, шахматная доска.

Тип урока: изучение нового материала.

Технология обучения: проблемное обучение.

Структура урока:

Ход урока

1. Организационный момент.

Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы .

2. Актуализация знаний.

1) Повторение. Фронтальная устная работа с классом.

Заполняется таблица по вопросам учащимся.

Вопросы:

• Определение арифметической прогрессии.
• Определение геометрической прогрессии.
• Формула  n-го члена арифметической прогрессии.
• Формула  n-го члена геометрической прогрессии.
• Свойство арифметической прогрессии.
• Свойство геометрической прогрессии.
• Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

А с формулой суммы n-первых членов геометрической прогрессии мы познакомимся сегодня.

2) Тест (по вариантам, взаимопроверка)

3. Историческая справка.

Геометрическая прогрессия издавна известна людям, и используется в банковских операциях и различных аферах, финансовых пирамидах.

Ребята, все вы умеете играть в шахматы. Я расскажу вам одну легенду.

Легенда о шахматной доске

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам с ней познакомился, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Изобретатель, его звали Сета, явился к торну повелителя. Это был скромно одетый ученый, получивший средства к жизни от своих учеников. Сисса бен Дахир (Сасса бен Дахир) – мифический индийский мудрец, которому приписывается изобретение шахмат.

– Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, – сказал царь.

Мудрец поклонился.

– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – продолжал царь.– Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

– Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

– Велика доброта твоя. Но дай срок обдумать ответ.

Когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую 2 пшеничных зерна, за третью – 4, за четвертую – 8 и т.д.

– Довольно, – с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Слуги вынесут тебе твой мешок пшеницы.

Сета улыбнулся и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и спросил, забрал ли Cета свою пшеницу. И удивился, что не в его власти исполнять подобные желания. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли.

Так сколько же зерен нужно всего.

Это 18 446 744 073 709 551 615.

18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615 зерен.

Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.

При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км, - т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

И если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна. Чтобы отсчитать миллион зерен, ему понадобилось не менее 10 суток неустанного счета, и остаток жизни он посвятил бы отсчитыванию зерен.

Рассмотрим геометрическую прогрессию, которая получилась

1, 2, 4, 8, 16,… . Вычислим сумму 64 членов этой прогрессии.

Знаменатель равен 2, всего 64 члена последовательности, обозначим сумму S

, умножим сумму на 2

, выполним действие:

Для облегчения выкладок разделим эти 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек.

, 1024х1024х1024х1024х1024х1024х64, 1024х1024=1048576

получится число 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615

4. Введение нового материала.

1) Создание проблемной ситуации

В старинной арифметике Л. Ф. Магницкого (основоположник арифметики в России (1669 - 1739г.)) приведена следующая забавная задача

Задача из арифметики Магницкого

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря:  «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:

«Если, по-твоему, цена  лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй - 1/2коп., за третий - 1коп., и т.д.»

Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

На сколько проторговался покупатель?

Решение:

1. Составим последовательность чисел

2. Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем  q =2;    n = 24. 

3. Попытаемся подсчитать сумму

Неудобно! Громоздко!

Проблема: Как вычислить?  Нельзя ли решить эту задачу проще? Можно ли вывести  формулу  для решения данной задачи?

Такая формула существует.

2) Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Пусть дана  геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму п первых её членов через Sn:      

                                          Sn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn.                        (1)

Умножим обе части этого равенства на q:    

Snq=b1q+b2q+b3q+…+bn-1q+bnq.

Учитывая, что          b1q=b2, b2q=b3, b3q=b4, …, bn-1q=bn,

Получим                   Snq=b2+b3+b4+…+bn+bnq.                               (2)

        Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены:

Snq – Sn=( b2+b3+…+bn+bnq) – (b1+b2+…+bn-1+bn)=bnq – b1.

                             Sn (q – 1)=bnq – b1.

Отсюда следует, что при  q ≠ 1

                                                      .                                    (I)

Мы получили формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии, в которой  q ≠ 1.

Если  q=1, то все члены прогрессии равны первому члену и  Sn=nb1.

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы п первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо bn выражение b1qn – 1.  Получим:  

                              ,  если  q ≠ 1.                              (II)

3) Вернёмся к задаче

 Таким образом, покупатель проторговался на огромную сумму.

5. Физкультминутка.

Гимнастика для глаз.

Я буду называть последовательность. Если это арифметическая прогрессия, то вы должны 2 раза поднять обе руки, если это геометрическая прогрессия, то – подпрыгивать 4 раза.

1) 1, 2, 3, 4, …                        2) 5, 25, 125, 625, …                        3) 1, 3, 8, 10, …

4) 2, 4, 8, 16, 32, …                5) 10, 13, 16, 19, …                        6) 3, 12, 48, 192, …

6. Закрепление изученного материала.

Решение задач № 14 из КИМа ОГЭ-2022

1) Петя играет в компьютерную игру. Он начинает с нуля очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать 100000 очков. После первой минуты игры добавляется 1 очко, после второй – 2 очка, после третьей – четыре очка и так далее: каждую минуту добавляется вдвое больше очков, чем в предыдущий раз. Через сколько минут после начала игры Петя перейдет на следующий уровень?

Решение:

    b1 = 1,    b2 = 2,    b3 = 4,   …                q = b2 : b1 = 2 : 1 = 2.

,             ,

     210 = 1024,     27 = 128,          217 = 1024*128 = 131172 > 100000

Через 17 минут Петя перейдёт на следующий уровень.

Ответ: 17.

2) У Вики есть попрыгунчик (каучуковский шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 240см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 5см?

Решение:

    b1 = 240,  q = ½,      b2 = 120, …                 ,             n – ?

      ,         ,      ,         ,   n – 1 = 6.

Ответ: 7.

3) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

                    n = 32 : 8 = 4

    .

Ответ: 12,5.

4) В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг.  Каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

   b1 = 3,  q = 3,    n – 80 : 20 = 4

      ,

Ответ: 243.

VI. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Достигли ли мы целей урока?

Что интересного узнали на уроке?

Где можно найти применение геометрической прогрессии?

Чему научились на уроке?  

Оценки (с комментарием).

VII. Домашнее задание.

Придумайте три практические задачи на нахождение суммы геометрической прогрессии. Решить их.

Например

1)  Каждое  простейшее  одноклеточное  животное  инфузория – туфелька  размножается  делением  на  2  части.  Сколько  инфузорий  было  первоначально,  если  после  шестикратного  деления  их  стало  320?

2)  Рост  дрожжевых  клеток  происходит  делением  каждой  клетки  на  2  части.  Сколько  стало  клеток  после  их  десятикратного  деления,  если  первоначально  было 6 клеток?