Семинар №2-3. Экономические задачи. Кредит. Аннуитетный вид платежа.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Семинар № 2 -3 по решению экономических задач (№15 в тестах ЕГЭ по математике). Подготовила учитель математики высшей категории ОАНО «Лидеры» Одинцовского района Ведерникова И.А. « Аннуитетный вид платежа кредита»

Слайд 3

Задачи с равномерными платежами Дано: А- сумма взятая в кредит Х –ежемесячный платеж n- количество лет, на которое взят кредит р – количество процентов, под которое выдан кредит

Слайд 4

4 вида задач: 1 вид: А= n= p= _____ X= ? 2 вид: Х= n= p= _____ А = ? 4 вид: А= n= Х = _____ р = ? 3 вид: А= Х = p= _____ n= ? 1 и 2 вид – одна схема. Без подстановки чисел . Арифметический, аналитический . Составление уравнения .

Слайд 5

Задача №1 . Разбор видов: 1 и 2 вид – одна схема. Без подстановки чисел. 31 декабря 2017 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X , чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Дано: А= 6 902 000 руб. p =12,5% n =4 года ______ X= ? руб 1 вид: А= n= p= _____ X= ?

Слайд 6

Разбор видов: 1 и 2 вид – одна схема. Без подстановки чисел. Дано: А= 6 902 000р p =12,5% n =4 года ______ X= ?руб. Х= 1,125 *1,125*1,125*1,125*6 902000 = 1125*1125*1125*1125*6902 = 45*45*45*45*6902 = 4,814453125 4 814 453 125 12325 9*9*45*45*6902 = 9*9*45*45*14 = 2 296 350 рублей 493 Ответ: 2 296 350 рублей Через 1год: 1 А+ 0,125 А= 1,125 А 1,125А-Х Через два года: 1 (1,125А-Х)+ 0,125 (1, 125А-Х)= 1, 125 ( 1,125-Х) 1, 125 ( 1,125А-Х)-Х. долг через 2 года. Упростить!!!!!! Секрет!!! 1,125 ^2 А-1,125Х-Х= 1,125 ^ 2А-2,125Х Через 3 года: 1,125(1,125 ^ 2А-2,125Х)-Х=1,125 ^ 3А-2,390625Х-Х=1,125 ^ 3А-3,390625Х Через 4 года: 1, 125(1, 125 ^ 3А-3,390625Х)-Х= 1,125 ^ 4А-4,814453125Х =0 1,125 ^ 4А=4,814453125Х ( в зависимости какую величину надо найти) 2 балла х = 1,125 ^ 4А ……. 4,814453125 1 балл

Слайд 7

Отчетный период Долг к концу месяца с процентами Переводит в банк Долг на начало след. месяца Первый 1 А+ 0,125 А= 1,125 А Х 1,125А-Х Второй 1, 125 ( 1,125-Х) Х 1,125 ^ 2А-2,125Х Третий 1,125(1,125 ^ 2А-2,125Х) Х 1,125 ^ 3А-3,390625Х Четвертый 1, 125(1, 125 ^ 3А-3,390625Х) Х 1,125 ^ 4А-4,814453125Х=0 Дано: А= 6 902 000р p =12,5% n =4 года ______ X= ?руб. Х= 1,125 *1,125*1,125*1,125*6 902000 = 1125*1125*1125*1125*6902 = 45*45*45*45*6902 = 4,814453125 4 814 453 125 12325 9*9*45*45*6902 = 9*9*45*45*14 = 2 296 350 рублей 493 Ответ: 2 296 350 рублей Решение:

Слайд 8

Формулы для аннуитетных расчетов n - платежные периоды S о - сумма кредита m = 1+0,01р р %- процентная ставка Х- постоянные выплаты Sn - величина текущего долга

Слайд 9

Разбор видов: 1 и 2 вид – одна схема. Без подстановки чисел. Дано: А= 6 902 000р p =12,5% n =4года ______ X= ?руб. Можно!!!! Составить модель. 1,125(1,125(1,125(1,125А-Х)-Х)-Х)-Х=0 Но!!!!! сложно упростить и вычислить!!!!! 31 декабря 2017 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X , чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Можно!!!!!! Воспользоваться формулой m = 1+0,01р р %- процентная ставка Но!!!! Нет вывода модели!!!!! 1 балл 1 балл

Слайд 10

Задача 2. Разбор видов: 1 и 2 вид – одна схема. Без подстановки чисел. Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых .Какую сумму Сергей взял в банке, если он выплатит долг тремя равными платежами? Ежегодный платеж по кредиту составил 3 512 320рублей. Дано: Х=3 512 320руб. р=12% n=3 платежа ________ А=? руб 2 вид: Х= n= p= _____ А = ?

Слайд 11

А= 3,3744Х = 3,3744*3 512 320 = 33 744*351 232 000 = 1,12 ^ 3 1,12*1,12*1,12 112*112*112 33744*28*1000= 8 436 000 рублей 112 Ответ: 8 436 000 рублей Дано: Х=3 512320руб р=12% n=3 платежа ________ А=?руб Через 1 год: А+0,12А=1,12А 1,12А-Х Через 2 года: 1,12(1,12А-Х)-Х=1,12 ^ 2А-1,12Х-Х= 1,12 ^ 2А-2,12Х Через 3 года: 1, 12(1,12 ^ 2А-2,12Х)-Х= 1,12 ^ 3А-2,3744Х-Х= = 1,12 ^ 3А-3,3744Х После выплаты трех равных платежей долг равен нулю 1,12 ^ 3А-3,3744Х=0 1,12 ^ 3А=3,3744Х А= 3,3744Х 1,12 ^ 3 2 балла 1 балла

Слайд 12

Отчетный период Долг к концу месяца с процентами Переводит в банк Долг на начало следующего месяца Первый А+0,12А=1,12А Х 1,12А-Х Второй 1,12 ^ 2А-1,12Х Х 1,12 ^ 2А-2,12Х Третий 1, 12(1,12 ^ 2А-2,12Х) Х 12 ^ 3А-3,3744Х =0 Задача 2. Разбор видов: 1 и 2 вид – одна схема. Без подстановки чисел. Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых .Какую сумму Сергей взял в банке, если он выплатит долг тремя равными платежами? Ежегодный платеж по кредиту составил 3 512 320рублей.

Слайд 13

4 вида задач: 1 вид: А= n= p= _____ X= ? 2 вид: Х= n= p= _____ А = ? 4 вид: А= n= Х = _____ р = ? 3 вид: А= Х = p= _____ n= ? 1 и 2 вид – одна схема. Без подстановки чисел . Арифметический, аналитический .

Слайд 14

Задача №3. Павел хочет взять в кредит 1,5мил.рублей. Погашение проходит раз в год равными суммами, кроме последнего платежа. Ставка 10% годовых. На какое минимальное количество лет Павел может взять кредит, чтобы выплаты были не более 350 000 рублей. Дано: А= 1 500 000 руб. р=10 % Х <= 350 000 руб. __________ n= ? минимальное 3 вид: А= Х = p= _____ n= ? ВНИМАНИЕ!!!! В условии заложены 2 неравенства!!!!

Слайд 15

Решение: Словесное описание модели. Так как в условии задачи прописана аннуитетная схема выплат кредита, на что указывает во первых- погашение кредита равными платежами, а во вторых - начисление процентов происходит, в начале каждого года на оставшуюся сумму, и опираясь на условие задачи , где можно заметить, что известны все данные, то есть известны: сумма взятая в кредит, ежегодная процентная ставка и платеж, то количество периодов можно просчитать арифметическим способом. Остается посчитать количество этих периодов. (Арифметический способ) Дано: А= 1 500 000 руб. р=10 % Х <= 350 000 руб. __________ n= ? минимальное

Слайд 16

Решение: (арифметический способ) Для того, что бы число лет было минимальным, платить надо по максимуму. Пусть Павел платит 350 000 рублей. Через 1 год после начисления %: 1 500 000 + 150 000 1 650 000 Через 1 год после выплаты платежа: 1 650 000 - 350 000 1 300 000 Через 2 года после начисления %: 1 300 000 + 130 000 1 430 000 Через 2 года после начисления %: 1 430 000 - 350 000 1 080 000 Через 3 года после начисления %: 1 080 000 + 108 000 1 188 000 Через 2 года после начисления %: 1 188 000 - 350 000 838 000 Через 4 года: 838 000 + 83 800 921 800 Через 4 года: 921 800 -350 000 571 800 Через 5 лет: 571 800 + 57 180 628 980 Через 5 лет: 628 980 +350 000 278 980 Останавливаться нельзя!!!! Через 6 года: 278 980 + 27 898 306 878 Меньше 350 000 Ответ: 6 лет

Слайд 17

Задача №4. Андрей взял в банке 1 миллион рублей в кредит. Погашение проходит раз в год одинаковыми суммами (кроме может быть последнего) после начисления процентов. Ставка - 2% годовых. На какое минимальное количество лет может Андрей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 200 000 рублей? Дано: А= 1 000 000 руб. р=2 % Х <= 200 000 руб. __________ n= ? минимальное 3 вид: А= Х = p= _____ n= ? Решение смешанное: арифметическое и аналитическое.

Слайд 18

Дано: А= 1 000 000 руб. р=2 % Х <= 200 000 руб. __________ n= ? минимальное Через 1 год, после нач . % 1 000 000 * 0,02=20 000 1 000 000 + 20 000 1 020 000 Через 1 год, после выплаты платежа 1 020 000 - 200 000 820 000 Через 2 года, после нач.% 820 000 * 0,02=16 400 820 000 + 16 400 836 400 Через 2 года, после выплаты платежа 836 400 - 200 000 636 400 Через 3 года 636 400* 0,02=12 728 636 400 + 12 728 649 128 Через 3 года 649 128 - 200 000 449 128 Вычисления останавливаем, так как при нахождении 2 %, получается десятичная дробь и неудобно считать!!! Еще двух платежей не хватит, а трех хватит платежей! Докажем это. 200 000* 2=400 000 руб.меньше долга. 200 000*3 = 600 000.руб. Хватит ли 600 000 руб. для погашения долга и процентов? 2)Процент меньше 13 000. И с каждым разом все меньше, так как берется от меньших сумм. 3)13 000*3 =39 000руб. 4) Долг банку меньше 450 000 руб.и проценты меньше 39 000руб.. Значит надо заплатить меньше 450 000+39 000 = 489 000 руб. Ответ : 6 лет Через 4 года: 449 128*0,02= 8982,56.

Слайд 19

Аналитическое решение задачи Дано: А= 1 000 000 руб. р=2 % Х <= 200 000 руб. __________ n= ? минимальное Через 1 год 1 000 000 * 0,02=20 000 руб. проценты далее будут уменьшатся. В 1 000 000руб. вмещается 5 раз по 200 000руб. 5 платежей не хватит, а 6 платежей хватит!!! Докажем это!!! 5 платежей мало. 200 000*5 = 1 000 000руб., НО! Еще платить проценты. 6 платежей хватит. Надо: 200 000*6 = 1 200 000руб., Проценты меньше 20 000*6 = 120 000руб. Долг банку меньше 1 000 000+120 000 = 1 120 000руб. Значит, 1 200 000руб. хватит на оплату кредита. Ответ: 6 платежей.

Слайд 20

4 вида задач: 1 вид: А= n= p= _____ X= ? 2 вид: Х= n= p= _____ А = ? 4 вид: А= n= Х = _____ р = ? 3 вид: А= Х = p= _____ n= ? 1 и 2 вид – одна схема. Без подстановки чисел . Арифметический, аналитический . Составление уравнения .

Слайд 21

Задача № 5. 31 декабря Василий взял кредит на 1 000 000 рублей. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определенное число процентов)затем Василий переводит очередной транш. Василий выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 660 тыс. рублей, а во второй раз 484 тыс.рублей. Под какой процент банк выдал кредит? Дано: А=1 000 000 руб. n = 2 года Х1= 660 000 руб. Х2= 484 000 руб. ___________ Р=? % 4 вид: А= n= Х = _____ р = ?

Слайд 22

Дано: А=1 000 000 руб. n = 2 года Х1= 660 000 руб. Х2= 484 000 руб. ___________ Р=? % Через год: 1 000 000+ 0,01* р * 1 000 000-660 000. Упростить 10 000р+340 000 Через 2 года: (10 000р+340 000) +0,01р (10 000р+340 000)-484 000=0 Решим уравнение: (10 0 00 р+340 0 00 ) +0,01р (10 0 00 р+340 0 00 )-484 0 00 =0 /100 100р +3400+1р ^2 +34р-4840 = 0 Р ^ 2+134р-1440 =0 р=10 или р = -144 ( по теореме обратной т. Виета) р-=-144 не удовлетворяет условию задачи. Ответ: 10 % 1 способ: 1 балл Ошибка учащихся: умножают на коэффициент 1,01р 2 балла Если числа Х1 и Х2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а из произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения

Слайд 23

Дано: А=1 000 000 руб. n = 2 года Х1= 660 000 руб. Х2= 484 000 руб. ___________ Р=? % 2 способ: Числовой множитель 10 % 1,1 15% 1,15 4% 1,04 Р% 1+0,01р Обозначим величину 1+0,01р = а, Тогда через 1 год : а* 1000 000-660 000=1000 000а-660 000 Через 2 года: а( 1000 000 а-660 000 )-484 000 =0 /1 000 1000а ^ 2-660а-484=0 Вернемся к замене. а= 1+0,01р 1+0,01р=1,1 0,01р=0,1 Р=10 (%) Ответ: 10 % 1000а ^ 2-660а-484=0 D 1 = 330 ^2+1000*484=108 900+484000=592 900 = 770^2 а = (330-770) /1000= -440/1000 ( не уд.усл.задачи ) или а = (330+770)/1000= 1100/1000=1,1 1 балл 2 балла

Слайд 24

4 вида задач: 1 вид: А= n= p= _____ X= ? 2 вид: Х= n= p= _____ А = ? 4 вид: А= n= Х = _____ р = ? 3 вид: А= Х = p= _____ n= ? 1 и 2 вид – одна схема. Без подстановки чисел . Арифметический, аналитический . Составление уравнения .

Слайд 25

Задачи. Вариант 3.Вариант 4.Вариант 5. Вариант 21.Вариант 22. Вариант 43. Сборник по подготовке к ЕГЭ -2022 31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5 460 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х , чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами ( то есть за три года)?

Слайд 26

Задача. Вариант 28. Вариант 29. вариант 30. Вариант 27. Сборник по подготовке к ЕГЭ -2022 Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на 4 года.В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2 –го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3 года и 4 –го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита , при котором общая сумма выплат заемщика будет меньше 10 млн.рублей.

Слайд 27

Отчетный период Долг к концу года с процентами Переводит в банк Остаток на конец года 1 1,2А 0,2А А 2 1,2А 0,2А А 3 1,2А Х 1,2А-Х 4 1,2(1,2А-Х) Х 1,44А-2,2Х =0 Дано: n= 4 года р= 20% Х1+Х2+Х3+Х4 < 10 000 000 А-? 1,44А-2,2Х =0 Х= 1,44А 2,2 0,2А+0,2А+2* 1,44А < 10 000 000 2,2 0,4А*1,1+ 1,44А < 10 000 000*1,1 1,88A < 11 000 000 A< 11 000 000 : 1,88 А < 5 851 063 , 8.. Ответ: 5 млн . рублей

Слайд 28

Спасибо за внимание.