Тренажер по производным (для подготовки к ЕГЭ)
тренажёр по алгебре (10, 11 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Физический смысл производной. Тип 1.

Слайд 3

Задача 1 Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с . Ответ: 60 Решение

Слайд 4

Задача 2 Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с . Ответ:20 Решение

Слайд 5

Задача 3. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t=3 с . Ответ:59 Решение

Слайд 6

Задача 4. Материальная точка движется прямолинейно по (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с ? Ответ:8 Решение

Слайд 7

Задача 5. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с ? Ответ:7 Решение

Слайд 8

Задача 6. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s. Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте ). Ответ:6 Решение

Слайд 9

Геометрический смысл производной, касательная. Тип 2.

Слайд 10

Задача 1. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней. Ответ:4 Решение

Слайд 11

Задача 2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней . Ответ:5 Решение

Слайд 12

Задача 3. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0 . Ответ:2 Решение

Слайд 13

Задача 4. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0 . Ответ :-0.25 Решение

Слайд 14

Задача 5. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0 . Ответ :-0.5 Решение

Слайд 15

Задача 6. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней. Ответ:5 Решение

Слайд 16

Задача 7. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −6. Ответ:7 Решение

Слайд 17

Задача 8. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ:0.25 Решение

Слайд 18

Задача 9. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ :-2 Решение

Слайд 19

Задача 10. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ :-0.25 Решение

Слайд 20

Задача 11. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f'(8). Ответ:1.25 Решение

Слайд 21

Задача 12. На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=2x-2 или совпадает с ней. Ответ:5 Решение

Слайд 22

Задача 13. На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Ответ :-3 Решение

Слайд 23

Задача 14. Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания. Ответ:0.5 Решение

Слайд 24

Задача 15. Прямая y=-4 x -11 является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания. Ответ :-1 Решение

Слайд 25

Задача 16 Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции f(x)= ax2 + 2x + 3. Найдите a. Ответ:0.125 Решение

Слайд 26

Применение производной к исследованию функций. Тип 3.

Слайд 27

Задача 1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( минус 6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Ответ:14 Решение

Слайд 28

Задача 2. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Ответ:4 Решение

Слайд 29

Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). Ответ:44 Решение

Слайд 30

Задача 4. На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение? Ответ :-3 Решение

Слайд 31

Задача 5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение? Ответ :-7 Решение

Слайд 32

Задача 6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9]. Ответ:1 Решение

Слайд 33

Задача 7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1]. Ответ:1 Решение

Слайд 34

Задача 8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. Ответ:5 Решение

Слайд 35

Задача 9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Ответ:18 Решение

Слайд 36

Задача 10. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Ответ:6 Решение

Слайд 37

Задача 11. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Ответ:6 Решение

Слайд 38

Задача 12. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6]. Ответ:4 Решение

Слайд 39

Задача13. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. Ответ:5 Решение

Слайд 40

Задача 14. На рисунке изображён график y=f'(x) - производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ? Ответ:3 Решение

Слайд 41

Задача 15. На рисунке изображён график y=f'(x) производной функции f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, … ,x8. В скольких из этих точек функция f(x) убывает? Ответ:5 Решение

Слайд 42

Задача 16. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. Ответ:4 Решение

Слайд 43

Задача 17. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, x3, ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек. Ответ:3 Решение

Слайд 44

Первообразная. Тип 4.

Слайд 45

Задача 1. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4]. Ответ:10 Решение

Слайд 46

Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). Ответ:7 Решение

Слайд 47

Задача 3. На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ:6 Решение

Слайд 48

Задача 4. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ:4 Решение

Слайд 49

Задача 5. На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл Ответ:12 Решение

Слайд 50

Решения.

Слайд 51

Тип 1.

Слайд 52

1. Решение. Найдем закон изменения скорости: При t = 9 c имеем:

Слайд 53

2. Найдем закон изменения скорости: Тогда находим:

Слайд 54

3. Найдем закон изменения скорости .При t=3 имеем:

Слайд 55

4. Найдем закон изменения скорости : Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

Слайд 56

5. Найдем закон изменения скорости: Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 2 м/с, решим уравнение:

Слайд 57

6. Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s ( t ). Точек экстремума на графике 6.

Слайд 58

Тип 2.

Слайд 59

1. Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. У данной функции производная равна нулю только в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

Слайд 60

2. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых f'(x )=-2 , это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

Слайд 61

3. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

Слайд 62

4. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−3; 6), B (−3; 4), C (5; 4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

Слайд 63

5. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −2), B (−2; −5), C (4; −5). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

Слайд 64

6. Касательная параллельна горизонтальной прямой в точках экстремумов, таких точек на графике 5.

Слайд 65

7. Касательная параллельна горизонтальной прямой в точках экстремумов, таких точек на графике 7.

Слайд 66

8. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (−6; 2), С (2; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ABC. Поэтому

Слайд 67

9. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому

Слайд 68

10. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

Слайд 69

11. Поскольку касательная проходит через начало координат, её уравнение имеет вид y = kx . Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому 10 = 8 · k, откуда k = 1,25. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: f '(8)=1,25.

Слайд 70

12. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y=2 x -2 или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и Осталось найти, при каких x производная принимает значение 2. Искомая точка

Слайд 71

13. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид y=b, и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка x=-3 .

Слайд 72

14. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y=7x-5 их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :

Слайд 73

15. Условие касания графика функции y=f(x) и прямой y= kx+b задаётся системой требований : В нашем случае имеем : Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Слайд 74

16. Прямая y= kx+b является касательной к графику функции f(x) в точке x0 тогда и только тогда, когда одновременно f(x0 )= y(x0 ) и f'( x0 )=k. В нашем случае имеем : Искомое значение а равно 0,125.

Слайд 75

Тип 3.

Слайд 76

1. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.

Слайд 77

2. Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

Слайд 78

3. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

Слайд 79

4. На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.

Слайд 80

5. На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке минус 7.

Слайд 81

6. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7.

Слайд 82

7. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−13;1] функция имеет одну точку минимума x = −9.

Слайд 83

8. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках −6, −2, 2, 6, 9. Тем самым, на отрезке [−10; 10] функция имеет 5 точек экстремума.

Слайд 84

9. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−2,5; 6,5). Данный интервал содержит следующие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма которых равна 18.

Слайд 85

10. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции неотрицательна, то есть промежуткам (−11; −10], [−7; −1], [2; 3). Наибольший из них — отрезок [−7; −1], длина которого 6.

Слайд 86

11. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b ]. Производная функции отрицательна, на интервалах (−1; 5) и (7; 11). Значит, функция убывает на отрезках [−1; 5] длиной 6 и [7; 11] длиной 4. Длина наибольшего из них 6.

Слайд 87

12. Если производная в некоторой точке равна нулю и меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [–2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, точка 4 является точкой экстремума.

Слайд 88

13. Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: −2; −1; 1; 4 и 6. Производная равна нулю в 5 точках.

Слайд 89

14. Возрастанию дифференцируемой функции f(x) соответствуют положительные значения её производной. Производная положительна в точках x4, x5 x6. Таких точек 3.

Слайд 90

15. Убыванию дифференцируемой функции f(x) соответствуют отрицательные значения её производной. Производная отрицательна в точках x1,x2,x3,x4,x8 : точки лежат ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательны. Таких точек 5.

Слайд 91

16. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Слайд 92

17. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. Если сторону клетки принять за единицу, то функция убывает на интервалах (−4,4; −0,7) и (2,6; +∞). В них содержатся точки x4, x5, x9. Их 3 штуки.

Слайд 93

Тип 4.

Слайд 94

1. По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство Следовательно , решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) На рисунке точки, в которых f(x)=0 выделены красным и синим цветом. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек (синие точки). Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение f(x)=0 имеет 10 решений.

Слайд 95

2. Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции ABCD. Поэтому

Слайд 96

3. Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках минус 9 и минус 11. Имеем:

Слайд 97

4. Найдем формулу, задающую функцию f(x), график которой изображён на рисунке. Следовательно, график функции f(x) получен сдвигом графика функции на 9 единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком [-1;1 ] оси абсцисс. Имеем:

Слайд 98

5. Определенный интеграл от функции f(x) по отрезку [1; 5] дает значение площади подграфика функции f(x) на отрезке. Область под графиком разбивается на прямоугольный треугольник, площадь которого и прямоугольник, площадь которого Сумма этих площадей дает искомый интеграл