Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Лицей № 37№ Фрунзенского района г. Саратова

Некоторые методы доказательства неравенств

                                                                   Автор –учитель математики:

                                                                    Летучева Марина Анатольевна 

Оглавление

1.        Введение        3

2.        Неравенство Коши        4

2.1 Пример 1.        4

2.2 Пример 2.        5

2.3 Пример 3.        5

3.        Метод Штурма.        6

3.1 Пример 4.        6

4.        Метод Йенсена.        8

4.1 Пример 5.        8

5.        Метод математической индукции.        9

5.1 Пример 6.        10

6.        Заключение        11

7.        Список литературы        12

1. Введение

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математике, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Также неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Задачи, в которых требуется доказать неравенство, регулярно встречаются на олимпиадах высокого уровня.  

Методы доказательства неравенств многочисленны и разнообразны. Они позволяют не только доказывать неравенства, но и решать многие задачи, связанные с неравенствами.

2. Неравенство Коши

Для любых действительных неотрицательных чисел  справедливо следующее неравенство

Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда

Рассмотрим неравенство Коши для двух переменных. Для любых неотрицательных чисел a, b выполняется неравенство

Следовательно, для любых действительных чисел a, b одного знака и отличных от нуля справедливо неравенство

и для любого положительного числа t выполняется неравенство

То есть сумма двух взаимообратных и положительных чисел не меньше двух. Для доказательства следствия достаточно положить в предыдущем неравенстве a=t, b=1.

2.1 Пример 1.

Найти наименьшее значение функции

Решение. Запишем данную функцию в преобразованном виде

Функция  принимает наименьшее значение в том случае, когда сумма первых двух слагаемых принимает наименьшее значение, а это, в силу неравенства Коши, возможно при условии

т.е. при .

2.2 Пример 2.

Из всех прямоугольников, с площадью равной единице, найти прямоугольник с наименьшим периметром.

Решение. Обозначим через  основание прямоугольника, а через  - его высоту. По условию площадь прямоугольника равна . Отсюда  Периметр прямоугольника

Он примет наименьшее значение тогда, когда выражение  примет наименьшее значение. В силу неравенства Коши это возможно при . Но тогда и , т.е. искомым прямоугольником является квадрат.

2.3 Пример 3.

Покажем, что для положительных чисел  выполняется неравенство

Решение. Для доказательства неравенства достаточно воспользоваться неравенством Коши для двух чисел. Действительно, имеем:

Что и требовалось доказать.

3. Метод Штурма.

Метод, предложенный немецким математиком Р. Штурмом, кроме различных приложений дает возможность провести оценку неравенств при наличии определенных условий. С помощью этого метода можно доказать ряд неравенств.

Например, докажем, что если произведение положительных чисел равно 1, то их сумма не меньше их количества.

Доказательство. Если  . Пусть среди рассматриваемых чисел есть хотя бы два не равных друг другу. Тогда среди чисел найдутся два таких числа, одно из которых будет больше 1, а другое меньше 1. Пусть это числа  и , причем . Заметим, что . Таким образом, если заданные числа заменим числами , то их произведение опять будет равно 1, а сумма

Действуя с полученными числами аналогичным образом, получим новую последовательность, в которой будут равны 1 уже два члена. Действуя так же самое большее n-1 раз, получим последовательность, в которой n-1 членов равны 1, n-й член равен опять 1. Таким образом, получили, что

Из доказательства видно, что рассматриваемое неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда .

3.1 Пример 4.

Докажите, что ,

где .

Решение. Пусть , тогда . Тогда

Заметим, что

, что верно, так как . Значит, делая замену  на  мы не изменяем сумму, но увеличиваем выражение. Заметим, что

=. Значит, одно из чисел  больше , а другое меньше. В таком случае проведем эту операцию с числами . Получим числа . Значит

4. Метод Йенсена.

Пусть  – неотрицательные вещественные числа, причем . Тогда для любой выпуклой вниз функции  и для любых  имеет место неравенство:

4.1 Пример 5.

Пусть   - положительные числа, причем  . Докажите, что

Решение. Вычтя из обеих частей неравенства 4 получим

Рассмотрим функцию  в области (0,1). Данная функция является выпуклой вниз, а значит можно записать неравенство Йенсена.

Так как  а функция  достигает своего минимума в области (0,1) при .

5. Метод математической индукции.

Все утверждения можно разделить на общие и частные. На основе частных утверждений делают некоторые предположения (гипотезы) о справедливости какого – либо общего утверждения. Иногда эти предположения оказываются верными, иногда неверными. Переход от частных утверждений к общим называют индукцией.

Индуктивные гипотезы формулируются обычно в виде утверждений, относящихся ко всем натуральным числам. Сама идея последовательного перехода от натурального числа n к следующему за ним числу n+1 осуществляется в строгой форме в одном из самых важных методов математической индукции. В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем: утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

1. оно справедливо для n=1;
2. из справедливости утверждения, для какого – либо произвольного натурального n=k следует его справедливость для n=k+1.

Метод математической индукции успешно применяется и при доказательстве различных неравенств, при этом используются свойства неравенств.

Неравенства Бернулли, имеет следующий вид:

При всех натуральных значениях n и для всех .

При n=1 это неравенство справедливо, так как .

Предположим, что оно справедливо при n=k>1, т.е. справедливо неравенство . Умножим обе части этого неравенства на 1+x, при этом неравенство не изменит знак, так как 1+x>0 в силу условия x>-1. Тогда получим

Учитывая, что одночлен  не отрицательное число, из последнего неравенства имеем:

Таким образом, показали, что неравенство верно для n=1, доказали его справедливость для n=k+1. Значит по принципу математической индукции неравенство Бернуллии справедливо для всех натуральных значений n.

5.1 Пример 6.

Докажите, что для любого натурального  справедливо неравенство

Решение. При  

Для доказательства правого неравенства можно применить обобщенный принцип математической индукции. Проверка истинности этого неравенства при n=2 не представляет труда. Для осуществления же индукционного перехода достаточно будет обосновать следующее неравенство

которое устанавливается простейшими эквивалентами преобразования. После этого остается сослаться лишь на обобщенный принцип математической индукции

6. Заключение

В заключении можно отметить, что для каждого неравенства существует свой рациональный способ решения.

7. Список литературы

1. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. С.А. Гомонов
2. Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучения математики. В.И. Семенов
3. http://math.mosolymp.ru/upload/files/2017/khamovniki/10-1/2016.10.13_Neravenstvo_Yensena_resheniya.pdf
4. https://sch57.ru/files/mathcamp/2016/juniors/6.Inequalities/inequalities-summary.pdf