ИТОГОВЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ «УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

ИТОГОВЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ
«УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Необходимо обобщить и систематизировать знания учащихся о видах уравнений  и  неравенств  и  методах  их  решения.  Для  этого  учащиеся составляют  классификацию  уравнений  и  неравенств,  изобразив  ее  на  плакате  или  на  доске и  заносят в  тетрадь  соответствующие схемы.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на три группы. Каждая группа будет содержать упражнения на решение всех изученных видов уравнений и неравенств. Отличие групп друг от друга состоит в уровне сложности, входящих в них уравнений и неравенств. В классе с невысоким уровнем подготовки третью группу заданий можно не выполнять.

Упражнения:

1-я  г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) ;                в) х4 + 3х2 – 4 = 0;

б) х3 – 25х = 0;                                г)  = 1.

2. Решите неравенство:

а) 2х –  ≤ ;                        в) 1 – х2 ≥ 0;

б) х2 + 2х > 0;                                г) (х – 3) (х + 5) < 0.

2-я  г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) х = ;

б) х6 – х4 + 5х2 – 5 = 0;

в) (х2 + х)2 – 5х2 – 5х + 6 = 0;

г) .

2. Найдите область определения функции:

а) y = ;                б) y = .

3. Решите неравенство:

а) х (7 – х) (1 + х) ≥ 0;                б)  ≤ 0.

3-я  г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) (х2 – 7х + 13)2 – (х – 3) (х – 4) = 1;

б) х2 + 1 = (3х2 – х – 2)2 – 2х;

в)  = 0.

2. Решите неравенство:

а)  < 0;                б)  ≤ 0.

3. При  каких  значениях  параметра  а  корни  уравнения  х2 – 2ах +
+ (а + 1) (а – 1) = 0 принадлежат промежутку [–5; 5]?

Р е ш е н и е

Данное квадратное уравнение согласно условию должно иметь корни, значит, его дискриминант не может быть отрицательным. Найдем его:

D1 = а2 – (а + 1) (а – 1) = 1.

Получаем,  что  уравнение  при  любом  а  имеет  два  корня:  х1 = а + 1 и х2 = а – 1.

Чтобы эти корни принадлежали указанному промежутку, меньший из них  должен  быть  не  меньше  –5,  а  больший – не  больше  5.  Получим систему:

О т в е т: [–4; 4].

4. При каких значениях параметра а уравнение х2 + 2(а + 1) х + 9 = 0 имеет два различных положительных корня?

Р е ш е н и е

Чтобы данное квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положительным:

D1 = (а + 1)2 – 9 = а2 + 2а – 8;

а2 + 2а – 8 > 0.

Решая это неравенство, получим, что а (–∞; –4) (2; +∞).

По теореме Виета, произведение корней данного уравнения равно 9. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки.

Пусть  х1  и  х2 – корни  уравнения,  тогда,  по  теореме  Виета,  х1 + х2 =
= –2 (а + 1). Чтобы эти корни были положительны, должно выполняться следующее условие:

–2 (а + 1) > 0;

а + 1 < 0;

а < –1. 

С учетом выявленного выше условия получим, что а (–∞; –4).

О т в е т: (–∞; –4).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– На какие два вида делятся рациональные уравнения?

– Какими методами решаются целые уравнения выше второй степени?

– Как решаются дробно-рациональные уравнения?

– На какие два вида делятся неравенства?

– Как решаются целые неравенства с одной переменной?

– Как решаются дробно-рациональные неравенства?

Домашнее задание:  № 353 (а),  № 354 (в),  № 364 (б), № 377 (а), № 393 (в, д).