Конспект урока по теме "Свойства функций"
план-конспект урока по алгебре

Конспект урока алгебры ( 9 кл )

по теме «Свойства числовых функций»

Тема урока: «Свойства числовых функций»

Тип урока: комбинированный урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Цели урока:

• Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Функция »,введение точных определений свойств функций, закрепление навыков решения тестовых заданий по данной теме.

Задачи урока:

• Образовательная – обобщить знания учащихся по теме «Функция», совершенствовать знания о числовых функциях путем введения точных определений их свойств.
• Развивающая –  развивать логическое  мышление, память, творческие способности учащихся и познавательный интерес к предмету.
• Воспитательная – воспитывать уверенность, внимание,  формировать исследовательские умения, математическую культуру учащихся, умение сотрудничать.

Оснащение урока:  компьютер, проектор, экран, презентация PowerPoint, доска, мел.

Формы работы: фронтальная, парная, самостоятельная.

План урока

1. Организационный этап. (2 – 3 минуты)
2. Основной этап(37 минут)

2. 1 Повторение ранее изученного материала по данной теме.

        2. 2 Изучение нового материала.

        2. 3 Закрепление изученного материала.

          2. 4 Контроль.

3. Заключительный этап (5-6минут)

4. Домашнее задание.

4. Итоги урока. Оценки.

Ход урока

1. Орг.момент.
2. Основной  этап. Сообщение темы и целей урока.

Учитель:

Любая функция характеризуется определенными свойствами. Часть этих свойств была рассмотрена в 7–8 кл.   Мы вводили термин и начинали им пользоваться, но точного определения не формулировали, ограничиваясь приблизительным истолкованием термина. Так было, в частности, с термином «функция».  

Учитель:

Перечислите свойства функций, которые знакомы  вам из курса 7 – 8 классов.

Учащиеся по очереди называют известные им свойства:

1. Область определения функции.
2. Точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Промежутки знакопеременности (знакопостоянства).
4. Промежутки монотонности функции.
5. Непрерывность.
6. Ограниченность.
7. Наибольшее и наименьшее значение функции.
8. Промежутки выпуклости и вогнутости.
9. Четность.
10. Область значений функции.

(Слайд 2)

Учитель:

        Пользуясь графиком, вы умеете описать эти свойства функций, но правильного математического определения мы ещё не знаем.

Дадим более точные определения перечисленным свойствам функций и закрепим их при чтении графиков функций.  

Так что же такое функция?

(Слайд 3)

Определение 1. Если даны числовые множества Х и У и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенный элемент у из множества У, то говорят, что задана функция y = f(x) c областью определения Х и областью значений У. Пишут: у = f(x), х  X.

Определение 2. Множество всех значений функции y = f(x) называют областью значений функции.

Для области определения функции y = f(x) принято обозначение D(f), для области значений – обозначение E(f).  

  (Слайд 4,5)

   Учащиеся отвечают на вопросы.

____________________________

Учитель.

Рассмотрим следующее свойство функции – монотонность (т. е. возрастание или убывание функции).

(Слайд 6)

Определение 3. Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве ,если для любых двух элементов х1 и х2 множества Х, таких что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)2).

Определение 4. Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух элементов х1 и х2 множества Х, таких что х1< х2, выполняется неравенство f(х1) > f(х2).

(Слайд 7)  

        Учитель:        

        Найдите промежутки возрастания и убывания функции. (Функция на экране).

        Учащиеся дают ответы. _______________________

        Учитель:        

Свойство « непрерывность»  функции на промежутке Х  означает, что график функции на этом промежутке   сплошной, не имеет разрывов. Точное определение непрерывности достаточно сложно и изучается в 10 классе, поэтому пока будем по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.

(Слайд 8)

Примером разрывной функции служит гипербола.

(Слайд 9)

__________________________________

Следующее свойство функции, на котором мы остановимся – ограниченность.

(Слайд 10)

Определение 5. Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х, если существует число m такое, что для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x)>m.

Определение 6. Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если существует число М такое, что для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x)

(Слайд 11)

Учитель:

 По графику функции (на экране) ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху.

Учащиеся отвечают.

______________________________

Учитель:

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке вы научились находить в 7–8 кл. Если промежуток не указан, то подразумевается, что речь идет об отыскании наименьшего или наибольшего значения функции на всей области определения.

(Слайд 12)

Определение 7. Число m называют наименьшим значением функции y = f(x) на множестве, если существует число х0 из множества Х такое, что f(x0) = m  и для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).

(Слайд 13)

Определение 8. Число M называют наибольшим значением функции

y = f(x) на множестве Х, если существует число х0 из множества Х такое, что f(x0) = M, и для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).

Учитель:

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции, график которой вы видите на экране.  

(Слайд14)

___________________________

Определение выпуклости функции, как и непрерывности, достаточно сложно, поэтому выпуклость функции мы с вами будем определять, опираясь на наглядно-интуитивные представления, как и ранее.

(Слайд 15)

 Считается, что функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит, ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит, выше проведенного отрезка.

(Слайд 16)

Учитель:

Определите выпуклость функции, график которой вы видите на экране.

________________________________

Учитель:

Четность и нечетность функции мы могли с вами определять только по графику. Сейчас дадим более точное определение, которое позволить определять четность и нечетность функции не только по ее графику, но и функции заданной аналитически.

(Слайд17)

Определение 9. Функцию y = f(x), где х из множества Х называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство

 f(-x) = f(x).

Определение 10. Функцию y = f(x), где х из множества Х называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство

f(-x) = -f(x).

Очевидно, что область определения четной или нечётной функции – симметричное множество. Если же область определения функции несимметричное множество, то функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

• Исследуйте на четность функции, графики которых вы видите на экране.

(Слайд18)

• В чем заключается геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции?

(Для четной функции две точки графика, абсциссы которых являются противоположными числами, имеют одинаковые ординаты. Такие точки  симметричны относительно оси  у.  Это означает, что график четной функции симметричен относительно оси  у.

Рассмотрим две точки графика нечетной функции, абсциссы которых являются противоположными числами. Ординаты этих точек также являются противоположными числами.  Такие точки  симметричны относительно начала координат. Это означает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат)

• Итак, мы с вами навели относительный порядок в наших представлениях о функциях, их свойствах и графиках. Давайте повторим все свойства. Переверните листок, который лежит у вас на столе. Просмотрите изученные свойства еще раз.

(Слайд19)

________________________________________________

• Чтобы уметь не только устно прочитать график функции, но и правильно записать ее свойство, выполним следующее задание (в группах):

Задание для групп: Используя схематический график указанной функции, описать ее свойства. Выступить одному из участников каждой группы у доски.

1 группа: линейная функции у = кх + m на примере функции  у = 2х + 1.

2 группа: квадратичная функция у = ах2 + bx + c на примере функции  у = 3х2 – 4.

3 группа: функция у =  на примере функции у = .

4 группа: функция у = 

5 группа: функция у = 

Учащиеся работают в парах. Они могут позвать учителя, если возникла проблема. По окончании, учащиеся описывают на доске выводы работы, остальные записывают в своих тетрадях.

А сейчас, когда вопросов больше нет, вам предстоит выполнить самостоятельную работу.    

Самостоятельная работа:    (Слайд 20)

Учащиеся выполняют самостоятельную работу. (Текст на экране)

3. Домашнее задание: §8- 11 – читать, учить определения, упражнения 11.7.-11.8. – 11.11.-11.13. (а,б)

Объявляются оценки тем учащимся, которые активно работали, выходили к доске несколько раз. Результаты самостоятельной работы объявляются на следующий урок. По усмотрению учителя оценки выставляются в журнал все или выборочно.

Функция у = |x| .

Свойства функции:

1. О.о.ф.                              ____________________________________
2. Четность/нечетность     ____________________________________
3. Монотонность                ____________________________________
4. Непрерывность               ____________________________________
5. Ограниченность              ____________________________________
6. Наиб./наим. знач.            ____________________________________
7. Выпуклость                     ____________________________________
8. О.з.ф.                               ____________________________________