Задание 21 ОГЭ
учебно-методический материал по алгебре (9 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 1 г. Чадана

Методическая разработка ОГЭ по математике «задание 21»

Выполнила учитель математики:

 Сарыглар Шенне Хеймеровна

Пояснительная записка

Государственная итоговая аттестация по математике в 9 классе - это результат работы ученика и учителя на протяжении пяти лет обучения в школе, и подготовка к ней является важной составляющей учебного процесса. Прежде чем достичь результата, нам вместе с учениками нужно пройти долгий путь познания. Математика, как высокая лестница, где нужно пройти каждую ступеньку. И если пропустишь хоть одну, трудно выступить на следующую.

С 2016 года выпускники девятых классов должны сдавать четыре экзамена формата ОГЭ, два из которых обязательные.

Введение государственной итоговой аттестации по  математике в новой форме (ОГЭ) в 9 классе вызывает необходимость изменения в методах и формах работы учителя.

Данная необходимость обусловлена тем, что изменились требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся в материалах экзамена по математике. Само содержание образования существенно не изменилось, но в рамках реализации ФГОС второго поколения существенно сместился акцент к требованиям УУД.

Изменилась формулировка вопросов: вопросы стали нестандартными, задаются в косвенной форме, ответ на вопрос требует детального анализа задачи. В обязательную часть включаются задачи, которые либо изучались давно, либо на их изучение отводилось малое количество времени (проценты, стандартный вид числа, свойства числовых неравенств, задачи по статистике, чтение графиков функций), а также задачи, требующие знаний по другим предметам, например, по физике.

Учитель математики ежегодно вместе со своими учениками готовится к прохождению Государственной итоговой аттестации в форме ОГЭ. Поэтому каждый педагог вырабатывает свою систему подготовки к экзамену.

В 2017 году выпускники 9 класса имели слабые знания по математике, и встал вопрос: «Как успешно сдать экзамен?»

Цель: обеспечить качественную подготовку обучающихся 9 классов к Государственной итоговой аттестации по математике в форме основного государственного экзамена.

Задачи: организовать эффективную работу по подготовке к Государственной итоговой аттестации по математике всех категорий обучающихся:

• слабоуспевающих обучающихся (с низким уровнем обучаемости по математике)
• обучающихся, имеющих средний уровень обучаемости по математике
• обучающихся, имеющих высокий уровень обучаемости по математике
• обучающихся, имеющих пробелы в знаниях по причине пропуска

Теоретическая часть

Каждый школьник в процессе обучения должен иметь возможность получить полноценную подготовку к выпускным экзаменам, освоить тот объем знаний, умений и навыков, который необходим для успешной сдачи ОГЭ и дальнейшего обучения в школе. В связи со стратегическими направлениями социально-экономического развития России до 2020 года перед образованием стоит одна из задач: «Приоритетной государственной задачей является обеспечение качественного базового уровня математических и естественнонаучных знаний у всех выпускников школы, не только будущих учёных, но и будущих квалифицированных рабочих».

Важным условием успешной подготовки к экзаменам является тщательное отслеживание результатов учеников по всем темам и своевременная коррекция уровня усвоения учебного материала.

Для успешной сдачи экзамена девятиклассникам необходима определённая система подготовки. Проблема взаимодействия семьи и школы не новая. Время идет, мир меняется, меняются и взаимоотношения родителей и школы. Но ответственными за воспитание и образование детей остаются родители и школа. Следовательно, учитель и родители должны быть партнерами в этом вопросе, идти вместе к общей цели.

вычислительных ошибок, допущенных при выполнении задач, невнимательного чтения текста и т.д.

Так как на экзамене не разрешается использовать калькулятор, то важно научить учащихся выполнять простейшие преобразования устно. Для этого нужно довести вычислительный навык до автоматизма.

Необходимо в течение всех лет обучения на каждом уроке отводить 5-7 минут для проведения упражнений в устных вычислениях, предусмотренных программой каждого класса. Устные упражнения активизируют мыслительную деятельность учащихся, требуют осознанного усвоения материала. При их выполнении развивается память, речь, внимание, быстрота реакции. Упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. Это самый «свободный» этап урока, очень динамичный, активный вид деятельности, вносящий разнообразие в уроки математики. Желательно сделать так, чтобы устный счёт воспринимался учащимися как интересная игра.

В ходе выполнения этих упражнений учащиеся чаще, чем на других этапах урока, получают возможность отвечать устно, причем они сразу проверяют правильность своего ответа. В отличие от письменных упражнений содержание устных таково, что решение их не требует большого числа рассуждений, преобразований, громоздких вычислений. Они дают возможность судить о готовности класса к изучению нового материала, и степени его усвоения, помогают выявить ошибки учащихся. В устной работе использую задания из ОГЭ первой части.

Важны также и приёмы быстрого счёта.

Для успешной сдачи экзамена учащийся должен быть подготовлен не только практически, но и психологически. Прежде всего на своих уроках, решая типовые задания, подчеркиваю возможность их решения каждым учеником – ситуация успеха. Люди, настроенные на успех, добиваются в жизни гораздо больше, чем те, кто старается избегать неудач. Как можно заставить ребенка поверить в свои силы, да просто показать ему то, что данные задания он способен выполнить, если будет использовать определенный алгоритм или логические рассуждения. 

Психологи давно доказали, что люди лучше всего усваивают то, что обсуждают с другими, а лучше всего помнят то, что объясняют другим. При подготовке к ОГЭ применяю групповую работу. Объединение в группы может осуществлять учитель или сами ученики по своему выбору.

Решение конкретных учебных задач осуществляется благодаря совместным усилиям членов группы. При этом учебная деятельность не изолирует учеников друг от друга, не ограничивает их общение, взаимопомощь и сотрудничество, а наоборот, создает возможности для объединения усилий действовать согласованно и слаженно, совместно отвечать за результаты выполнения учебного задания.

Контакты и обмен мнениями в группе существенно активизируют деятельность всех учеников - членов группы, стимулируют развитие мышления, способствуют развитию и совершенствованию их речи, пополнению знаний, расширению индивидуального опыта.

В групповой учебной деятельности у учащихся успешно формируются умения учиться, планировать, моделировать, осуществлять самоконтроль, взаимоконтроль, рефлексию и т.д. В групповой учебной деятельности воспитывается взаимопонимание, взаимопомощь, коллективность, ответственность, самостоятельность, умение доказывать и отстаивать свою точку зрения, культура ведения диалога.

Успех работы в группах зависит от умения учителя комплектовать группы, организовать работу в них, распределять своё внимание так, чтобы каждая группа и каждый её участник чувствовали заинтересованность педагога в их успехе.

Алгоритм действий учащихся.

Задания обязательного уровня (1 часть)

• Выполнив задания 1 части, сравнивают решения с ответами и между собой.
• Делают работу над ошибками.
• Получают другой вариант заданий 1 части и выполняют только те задания, в которых были допущены ошибки.

Задания 2 части (2 балла) для учащихся с высоким уровнем обученности.

• Каждая группа получает задание и готовится самостоятельно. При этом учащиеся не знают, кто будет выполнять задание у доски.
• Представители каждой группы решают задания.
• Остальные учащиеся проверяют задания, задают вопросы, оценивают. Оценку получает вся группа.

Задания повышенной сложности

• Каждая группа готовится самостоятельно в течение недели. Проверку осуществляем на консультации.
• Задания у доски выполняют те учащиеся, которые с ним справились самостоятельно.
• Остальные при этом имеют возможность разобраться в затруднениях, встретившихся при выполнении этих заданий.

При таком подходе значительно увеличивается количество заданий, решаемых учениками и проверяемых в группе друг у друга.

Тренировка в решении заданий поможет ориентироваться в разных типах упражнений, рассчитывать время. С правилами заполнения бланков тоже можно ознакомиться заранее.

С заполнением бланков возникает много проблем, поэтому, чем раньше ученики по ним начинают работать, тем меньше вероятность допущения ошибок в оформлении. На дополнительных занятиях разбираем все ошибки, которые были допущены при заполнении. Каждая цифра и знак пишутся в отдельной клеточке, на правильность написания цифр, на то, что в ответах не пишут наименования, не ставят знаки %, °С, кг, км, др., получают десятичную дробь в ответ, в тетрадях и на доске записываем образец в клеточках.

Разбор решение задач №21 ОГЭ по математике

Текстовая задача

В двадцать втором задании необходимо решать задачу, составив уравнение с неизвестным. Ниже приведены алгоритм решения типовых вариантов.

Первый вариант задания

Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

Алгоритм решения:

1. Введем неизвестную величину: скорость третьего.
2. Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
3. Выясняем, на какой вид движения эта задача.
4. Используя условие, формулы времени или скорости, выражаем через неизвестную величину все остальные.
5. Исходя из условия, составляем равенство и преобразуем его.
6. Решаем уравнение.
7. Определяем величины, которые еще нужно найти.
8. Записываем ответ.

Решение:

1. Обозначим через x км/ч скорость третьего велосипедиста. 2. Составим таблицу их краткого условия:

3. Задача на движение водном направлении, значит, для определения совместной скорости (сближения), необходимо из большей скорости вычитать меньшую. Наибольшая скорость была у третьего велосипедиста, потому что он догонял двух других.

4. Перед тем, как выехал третий велосипедист, первый двигался уже 2 часа. За это время он проехал 42 км, а второй проехал 15 км, поскольку был в пути 1 час. Совместная скорость третьего и второго велосипедистов равна (x-15) км/ч. так как они движутся в одном направлении. Третий велосипедист догнал второго спустя   ч после своего выезда.

Совместная скорость третьего и первого велосипедистов равна (x-21)км/ч. Третий велосипедист догнал первого через   ч после своего выезда из поселка.

По условию третий велосипедист догнал первого спустя 9 ч после того, как догнал второго.

5. Исходя из этого, составим равенство:

 ,

Преобразуем полученное уравнение:6.

Получили квадратное уравнение. Решим его:По условию скорость третьего велосипедиста была наибольшей, значит, второй корень не удовлетворяет условию. Получаем. Что решением будет x = 25 км/ч. Ответ: 25

Второй вариант задания

Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 5 часов после этого догнал первого.

Алгоритм решения:

1. Введем неизвестные величины: скорость третьего и время его движения.
2. Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
3. Используя условие, формулы времени или скорости, выражаем через неизвестные величины все остальные.
4. Исходя из условия, составляем равенства.
5. Составляем и решаем систему уравнений.
6. Определяем величины, которые еще нужно найти.
7. Записываем ответ.

Решение:

1. Пусть x км/ч – скорость третьего велосипедиста, а t ч – время, за которое он догнал второго велосипедиста.

2. Составим таблицу данных условия:

3. До места встречи со вторым велосипедистом третий проехал x·t км.

Скорость второго велосипедиста 10 км/ч. В пути он находился t + 1 часов к моменту встречи с третьим велосипедистом. Тогда в момент встречи велосипедисты находились на расстоянии 10·(t + 1) км от поселка. Расстояния эти одинаковы, значит, x·t = 10·(t + 1).

Первого велосипедиста третий догонит через t + 5 ч – время, за которое он догнал первого велосипедиста после второго, тогда до места встречи с первым велосипедистом третий проехал x·(t + 5) км.

Первый велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч и был в пути до встречи с третьим t + 7 часов, потому как выехал он на 2 часа раньше. Расстояние, которое проехал первый велосипедист, равно 15·(t + 7) км.

Получаем еще одно равенство: x·(t + 5) = 15·(t + 7)

4. Составляем систему уравнений:

5. Решаем полученную систему, преобразовав каждое из уравнений:Вычитаем из второго уравнение первое, получаем

5x = 5t + 95

x = t + 19

Подставляем вместо x в первое уравнение системы правую часть равенства и решаем полученное уравнение.

(t + 19)·t = 10t + 10

t2 + 19t = 10t + 10

t2 + 9t – 10 = 0

По формуле дискриминанта и корней:

D = b2 – 4ac

D = 92 — 4·1·(-10) = 81 + 40 = 121

Первый ответ не может удовлетворять условию задачи, поскольку время не может иметь отрицательных значений. Следовательно,

x = t + 19 = 1 + 19 = 20

Скорость третьего велосипедиста 20 км/ч. Ответ: 20

Третий вариант задания

Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 24 км/ч. Через час после него со скоростью 21 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

Алгоритм решения:

1. Введем неизвестные величины: скорость третьего и время его движения.
2. Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
3. Используя условие, формулы времени или скорости, выражаем через неизвестные величины все остальные.
4. Исходя из условия, составляем равенства.
5. Составляем и решаем систему уравнений.
6. Определяем величины, которые еще нужно найти.
7. Записываем ответ.

Решение:

1. Пусть x км/ч – скорость третьего велосипедиста, а t ч – время, за которое он догнал второго велосипедиста. 2. Составим таблицу данных условия:

3. До места встречи со вторым велосипедистом третий проехал x·t км. Второй велосипедист до момента, когда его догонит третий велосипедист, двигался t + 1 часов . Он проехал до места встречи 21·(t + 1) км. Расстояния, пройденные велосипедистами, одинаковы. Получим первое равенство x·t = 21·(t + 1). Третий велосипедист до момента встречи с первым велосипедистом после встречи о вторым, ехал t + 9 ч тогда до места встречи с первым велосипедистом он проехал расстояние x·(t + 9) км. Первый велосипедист до встречи с третьим ехал t + 11 часов, поскольку до момента выезда третьего, уже проехал 2 часа. До места встречи он проехал 24·(t + 11) км. Расстояния одинаковы. Тогда получим еще одно равенство: x·(t + 9) = 24·(t + 11) Составим систему уравнений для решения задачи:Решим ее, раскрыв скобки и преобразовав каждое уравнение:Далее используем метод вычитания, откуда получим:

9x = 3t + 243

3x = t + 81

Подставив выражение для x в первое уравнение:Получили квадратное уравнение.

t2 + 81t = 63t + 63

Решим его:

t2 + 18t – 63 = 0

D = b2 – 4ac

D = 182 — 4·1·(-63) = 324 + 252 = 576

Первое значение не подходит, поскольку время по условию не может иметь отрицательные значения. Значит,Таким образом, скорость третьего велосипедиста 28 км/ч. Ответ: 28

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Решение:

Пусть искомое расстояние равно x км. Скорость лодки при движении против течения равна 4 км/ч, при движении по течению равна 8 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и обратно, равно

часа.

Из условия задачи следует, что это время равно 3 часам. Составим уравнение:

Решая уравнение, получаем x = 8.

Ответ: 8

Четвертый вариант задания

Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные – 30%. Сколько сухих фруктов получится из 35 кг свежих фруктов?

Алгоритм решения:

1. Находим число процентов (или долю) твердого вещества в свежих фруктах. Находим эту величину в кг.
2. Вычисляем кол-во процентов твердого вещества в сушеных фруктах.
3. Составляем пропорцию и определяем общую массу сушеных фруктов.

Решение:

Если воды в свежих фруктах 88%, то твердого вещества (мякоти) в них 100%–88%=12%=0,12. В кг эта масса равна 35·0,12=4,2 (кг). В сушеных фруктах масса твердого вещества, по сравнению со свежими, не меняется (а только снижается объем воды). Поэтому в искомой массе сухих фруктов мякоти тоже будет 4,2 кг. Но в процентном соотношении эта масса составит 100%–30%=70% (30% по условию приходится на воду). Искомая же (общая) масса сухих фруктов в данном случае – это 100%. Тогда обозначим искомую массу через Х и составим пропорцию: 4,2 кг  –  70% Х       –  100% Решим эту пропорцию: Х=4,2·100%/70%=6 (кг) Ответ: 6

Пятый вариант задания

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 200 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба?

Алгоритм решения:

1. Вводим переменные-обозначения для скорости наполнения резервуара (л/мин) и для времени наполнения (мин). Выражаем через соответствующие переменные параметры наполнения для 1-й и 2-й труб.
2. Составляем систему ур-ний (1-е уравнение для первой трубы, 2-е – для второй).
3. Решаем систему.

Решение:

Обозначим через х скорость наполнения 1-й трубы (это наша искомая величина). Тогда скорость наполнения 2-й трубы равна (х+5).Обозначим через t время наполнения 2-й трубы. Тогда время наполнения 1-й трубы составит (t+2). Через каждую из труб должно пройти 200 л воды. Для 1-й трубы получим:

x(t+2)=200

Аналогично для 2-й трубы:

(x+5)t=200

Из уравнения для 2-й трубы выразим t через х:

t=200/(x+5)

Подставим полученное для t выражение в уравнение для 1-й трубы:Решим это уравнение и найдем искомую величину:

x(210+2x)=200(x+5)

210х+2х2=200х+1000

2х2+210х–200х–1000=0

2х2+10х–1000=0

х2+5х–500=0

По т.Виета х1=20, х2=–25 Корень х2 не может быть принят в качестве ответа, поскольку он не удовлетворяет условию (скорость наполнения резервуара не может быть отрицательной величиной). Значит, искомая скорость наполнения равна 20 л/мин. Ответ: 20

Заключение

В систему работы по подготовке к ОГЭ входит изучение текущего учебного материала, задания, соответствующие экзаменационным номерам. Необходимо в содержание текущего контроля включать экзаменационные задачи. Итоговое повторение построить исключительно на отработке умений и навыков, требующихся для получения положительной отметки на экзамене.

Система контроля над уровнем знаний учащихся по математике позволяет учителю, во-первых, постоянно получать информацию об уровне усвоения учебного материала по каждой теме, своевременно принимать меры по восполнению пробелов; во-вторых, повысить мотивацию учащихся к учебе; в-третьих, привлечь внимание родителей непосредственно к учебному процессу, повысить их ответственность за обучение детей. 

В систему контроля включить различные виды диагностических карт, а можно также зачётную книжку ученика. В зачётной книжке перечисляются темы, после проведения проверочной работы выставляется отметка.  После каждой работы зачётная книжка даётся на подпись родителям, предоставляет возможность следить за подготовкой учащегося.

Подготовка ко второй части контрольно-измерительных материалов и государственной итоговой аттестации осуществляется как на уроках, так и во внеурочное время на дополнительных занятиях. При этом используются сборники для подготовки к экзаменам, рекомендованные ФИПИ и др.

Конечно, идеальный вариант к которому стремится каждый учитель - самостоятельная учебная работа ребёнка в интерактивной среде обучения, используя готовые электронные учебные курсы, обучающие, тренировочные и проверочные работы в системе Интернет.

Залогом успешной сдачи экзамена является качественное освоение школьной программы, повторение и систематизация изученных в 5-9 классах тем по математике.

По данным исследований, в памяти человека остается 1/4 часть услышанного материала, 1/3 часть увиденного, 1/2 часть увиденного и услышанного, 3/4 части материала, если ученик привлечен в активные действия в процессе обучения.

В будущем буду применять перечисленные выше подходы к организации подготовки учащихся к ОГЭ по математике.

Литература

1. Глазков Ю.А., Гаиашвили М.Я. ОГЭ (ГИА-9). Математика. Задачник. Сборник заданий и методических рекомендаций. М.: Экзамен, 2015.

2. Жохов В.И., Карташева Г.Д. Экзамен по алгебре 9 класс. Повторение, подготовка к экзамену, решение задач / пособие для учителей и учащихся, - М.: Фонд поддержки школьного книгоиздания. 1998.

3.Семенов А. В., Трепалин А. С., Ященко И.В., Захаров П.И. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика. М.: Интеллект-Центр, 2012. 112 с.

4. Ященко И.В., Семенов А.В., Кукса Е.А.: ОГЭ – 2017. Математика. Типовые экзаменационные варианты. ФИПИ – школе. М.: Национальное образование, 2017.

5. ресурсы:

http://fipi.ru - Федеральный институт педагогических измерений;

http://www.alleng.ru/edu/math.htm- сборники Кимов по ЕГЭ и ОГЭ скачать;

http://reshuege.ru/;

http://alexlarin.net/;

http://neznaika.pro/oge/

http://semenova-klass.moy.su/ index/podgotovka_k_ogeh/0-15