Конспект урока: Понятие о производной, 11 класс (учебник Алгебра и начала математического анализа 10-11, Алимов Ш.А. и др.)
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Название урока и класс:

Понятие о производной, 11 класс (учебник Алгебра и начала математического анализа 10-11, Алимов Ш.А. и др.)

Цели:

учебная: сформировать представление о касательной к графику функции в точке, изучить скорость изменения функции в точке, дать понятие производной

воспитательная: способствовать воспитанию у школьников интереса к изучаемой теме и ценностного отношения к труду и полученным знаниям.

развивающая: способствовать развитию навыков частично-поисковой познавательной деятельности, развитие внимания, логики, умения сопоставлять факты и делать соответствующие выводы, умения рассуждать и аргументировать свои действия.

Планируемые результаты:

Учащиеся изучат понятие производной и познакомятся с некоторыми правилами ее нахождения

Этап урока

Время (мин.)

Деятельность учителя

Ссылки на карточки Учи.ру

Организационный момент

2

Приветствует детей, проверяет их готовность к уроку. Настраивает на активную работу.

Откройте тетради, запишите число и "Классная работа".

Актуализация знаний

6

Работа идёт в парах. Ученикам предлагается познакомиться с заданиями в карточках на сайте Учи.ру, чтобы лучше понять смысл производной.

https://uchi.ru/teachers/groups/6756912/subjects/1/course_programs/11/lessons/13453

Изучение нового материала

15 - 20

Подобные задачи рассматриваются и в экономике, и в анализе ценовой политики. Например: «цена товара напрямую зависит от расходов на производство» или «объем реализации некоторой продукции зависит от роста или снижения его цены».

А теперь давайте подведём итоги вашей исследовательской работы. Вы решали различные задачи, но все они привели к одной и той же математической модели: к числу, к которому стремиться отношение разности значений функции к разности значений аргумента. В русском языке для величины, на которую изменилось начальное количество, используется слово «прирост».

Приращению аргумента соответствует «приращение функции», которое также обозначается с помощью заглавной греческой буквы «∆».

Вопрос: Скажите, а вы знаете, кто впервые стал использовать знак «∆» для обозначения разности аргументов?

- Да. Буква «∆» – одна из заглавных букв греческого алфавита ее стал использовать Эйлер (сер. 18 века).

Исходя из этого полученную формулу можно записать по-другому: или и прочитать так: число, к которому стремится разностное отношение  =   при .

Поскольку многие задачи в различных областях науки в процессе решения приводят к такой же модели – этому отношению надо: дать название, дать обозначение и изучить его. Это мы с вами сейчас и сделаем.

Определение: Производной функции  в точке  называется число, к которому стремится разностное отношение  =   при .

но обозначается по-разному:

х),  у′ – эти обозначения для производной ввел Жозеф Луи Лагранж

Это определение вы запишете в тетрадях.

Теперь посмотрите на ваши задачи и сформулируйте план нахождения производной.

(Учащиеся должны ответить):

1. Задать функцию f(x).

Алгоритм нахождения производной  (находим )):

1) Задать приращение  и вычислить  =  = .

2) Найти разностное отношение  и сократить на .

3) Если  при   стремится к какому-то числу, то это число будет  .

Далее группа самостоятельно формулирует и записывает в тетради

Физический смысл производной – это скорость изменения расстояния: s‘(t) = v(t). 

(За бесконечно малое время прошел бесконечно малое расстояние. Спидометр машины показывает мгновенную скорость. Скорость в данный момент времени ).

Если производная положительная, то расстояние увеличивается, а если отрицательная, то расстояние уменьшается.

Геометрический смысл: f‘(хо) – это коэффициент угла наклона касательной к оси Ох

f‘(хо) = k = tg α.

(Слайд 7)

Т.е. из геометрического смысла получается, что если существует производная в точке хо, то можно провести что? (обычно ученики говорят: что можно провести касательную в точке хо и наоборот – если можно провести касательную в точке хо, то в этой точке существует производная. На ошибку в формулировке пока не обращается внимание, фраза записывается на доске в таком виде и дальше продолжаются обсуждения.

записывается под определением на доске

…Если существует производная в точке хо, то можно провести касательную в точке хо. Наоборот — если можно провести (…) касательную в точке хо, то в этой точке существует производная.

Итак, подведём итог: вы сами дали мне определение производной, но встаёт вопрос: а всегда ли существует производная в точке?

Особое внимание обращается на моменты, когда касательная перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Ох.

Всегда ли существует ли производная в точке хо?

Задается ряд вопросов:

Давайте вернёмся к геометрическому смыслу производной: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке f‘(хо) = k = tg α.

Мы получили, что не во всех точках существует производная.

Как же так? Вы же сами сказали и написали, что если есть касательная в точке, то в точке есть и производная! Вот пример: есть касательная, но нет производной?! Подумайте, что же вы сделали не так, и исправьте фразу. “

Далее учащиеся возвращаются к предложению, написанному на доске и самостоятельно исправляют ошибку. Должно получиться:

Закрепление нового материала

15-20

Вот теперь вы готовы к работе с производной и можете приступить к выполнению задания на сайте Учи.ру

https://uchi.ru/teachers/groups/6756912/subjects/1/course_programs/11/lessons/14151

Подведение итогов урока

Вопросы учащимся:

Что называется производной в точке?

Сформулируйте физический смысл производной?

Геометрический смысл? Когда существует производная?

Какой момент был самым интересным на уроке?

Какой был самым трудным?

Что же, вы доказали, что смогли сами определить и исследовать понятие производной и я хочу вам вручить долгожданную Нобелевскую премию – вы настоящие учёные! Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты в виде крокодила.

Почему крокодил?

Потому что это животное, которое никогда не отступает и не пятится назад!

Этого я и вам желаю! “

Домашнее задание

№№ 776 – 779 (четные)