Нахождение производных сложной и обратных тригонометрических функций
план-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс)

Нахождение производных сложной и обратных тригонометрических функций

Цель работы: овладение методами вычисления производной сложной  и обратных тригонометрических функций.

Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно вычислять производные сложных функций, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета

Формирование компетенций:.

Рекомендации по выполнению.

1.Разобрать решение примеров.

2.Выполнить задания тренажера, используя указания.

3.Оформить решение задач тренажера в тетради.

1.Разберите решение примеров:

Вычисление производных сложных функций осуществляется по правилу дифференцирования сложной функции:

 Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции –  и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто , а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
Функция  – это сложная функция, причем многочлен  является вложенной функцией , а  – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является вложенной, а какая – внешней.

После того, как   определены вложенная  и внешняя функции применяют правило дифференцирования сложной функции .

Вычислим производную:

Сначала находят производную внешней функции  , по формуле . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если  заменить сложным выражением, в данном случае:

При выполнении вычислений вложенная  функция  не изменилась.

По формуле  получаем:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2

Найти производную функции

Запишем

Определим  где  внешняя функция, а где вложенная. Для этого пробуем вычислить значение выражения  при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен  – и есть вложенная  функция. И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция.
По правилу дифференцирования сложной функции    , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. По формуле вычисляем производную:

Пример 3

Найти производную функции

Для того чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это вложенная функция, а возведение в степень – внешняя функция.По  правилу дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала , а для производной вложенной функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Пример 4

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение  подставив  значение . Если использовать для вычислений калькулятор, то сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение.

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :


То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой вложенной функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

По правилу  сначала нужно взять производную от внешней функции. Вычислим производную показательной функции: .Вместо  рассмотрим сложное выражение  , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции   следующий:

Теперь опять необходимо вычислить производную сложной функции взяв за вложенную функцию – арксинус, а за  внешнюю функцию – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Далее находим по таблице производную арксинуса:

Пример 5

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

Далее дважды необходимо применить правило :

Согласно правилу , получаем:

 Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

2.Выполните задания тренажера «Производная сложной функции»:

3.Оформить решение примеров в тетради.

4. По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.

Шкала оценки образовательных достижений