Примеры применения интеграла в физике и геометрии
план-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс)

Тема: Примеры применения интеграла в физике и геометрии

Цель :

изучить области применения интеграла.

Требования к знаниям и умениям:

Студенты должны знать:

• определение и свойства  первообразной функции;
• таблицу первообразных;
• определение и свойства неопределенного интеграла;
• определение и свойства определенного интеграла;
• формулу Ньютона-Лейбница;

Студенты должны уметь:

• вычислять неопределенные и определенные интегралы;
• применять полученные знания для решения прикладных задач.

Актуализация знаний

Письменно ответить на вопросы:

1. Что называется криволинейной трапецией?

2. 3. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на I?

4. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?

5. В чем заключается основное свойство первообразной?

6. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их первообразных»?

7. Что называется неопределенным интегралом?

8.Что называется определенным интегралом?

Теоретическая часть

Приложение интегрального исчисления

Пусть требуется найти значение какой – либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a, b] изменения переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка [a, b] точкой с  (a, b) на части [a, c] и [c, b] значение величины A, соответствующее всему отрезку [a, b] равно сумме ее значений, соответствующих [a, c] и [c, b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).[5]

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками x = a, x, … ,x = b  разбить отрезок [a, b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина A разобьется на n “элементарных слагаемых”

Δ A(I = 1, … , n): A = ΔA + ΔA+ … + ΔA

2. Представить каждое “элементарное слагаемое” в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

Δ A≈ f(c) ΔX

При нахождении приближенного значения ДЛ; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

A≈ f(c) ΔX+ … + F(c)ΔX = f(c) ΔX

1. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

A = f(c) ΔX = f(x)dx.

Указанный “метод сумм”, как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется “метод дифференциала” или “метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков”:

1) на отрезке [а, b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [a, x]. На этом отрезке величина A становится функцией x: А — А(x), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(x), где x т.е.  [а, b] -  один из параметров величины А;

2) находим главную часть приращения ΔA при изменении x на малую величину Δx; = dх, т. е. находим дифференциал dA функции A = А(x):dA -  f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция переменной x  (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что dА ≈ ΔA при Δx 0, находим искомую величину путем интегрирования dA  в пределах от а до b:

A(b) = A = f(x)dx.

Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a  ≤ x ≤ b.

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками X = a, X, … , X = b (X ≤ X≤ … ≤ X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M ,           … , M = B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, … , MM , длины которых обозначим соответственно через ΔL, ΔL, … , ΔL.

Получим ломанную, длина которой равна L =  ΔL+ ΔL+ … + ΔL =  ΔL.

2. Длину хорды (или звена ломанной) ΔL можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX и ΔY:

ΔL = , где ΔX = X - X, ΔY = f(X) – f(X).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔY = (C) ΔX, где C  (X, X). Поэтому

ΔL =  =  ,

а длина всей ломанной MMM … MM равна

L =  ΔL = .

Длина кривой AB, по определению, равна L = L =  ΔL. Заметим, что при ΔL  0 также и ΔX   0 (ΔL =  и следовательно | ΔX | < ΔL). Функция  непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L =  ΔL = , кода  max ΔX   0:

L =  = dx.

Таким образом, L = dx.

Пример: Найти длину окружности радиуса R.

Решение:

Найдем ¼ часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = ,  ¼L =  dx = R arcsin = R .

Значит L = 2R.        

Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади  сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S = S(x), a≤  x≤  b

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку x  [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой  

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой      dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

2. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = S(x) dx

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,

S(x)=y.

Применяя формулу V = S(x) dx объема тела по площади

параллельных сечений, получаем

V = ydx.

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой V = S(x) dx, равен

V =xdy.

Пример: Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у = , x = 0, у = 2 вокруг оси Оу.

Решение: По формуле V =xdy.

 находим:

V = 2ydy = y = 8.

Вычисление площадей плоских фигур

Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если  f(х )≥0 на [а; b] то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу

Если же f(x) ≤ 0 на [а; b] то — f(х) ≥ 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой

 или

Если, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b] надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x2, прямыми х=1, х = 3 и осью Ох .

Решение. Пользуясь формулой , находим искомую площадь

S =

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абсцисс при условии  (рис 10). [1]

Решение. Разбиваем сегмент [0; ] на два сегмента [0; ] и [; 2]. На первом из них sinx ≥ 0, на втором — sinx ≤ 0. Следовательно, используя формулы

 и  , имеем, что искомая площадь

Механические приложение определенного интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а находится по формуле

A =

Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v =v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t до t2. 

Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении “скорость прямолинейного движения

равна производной от пути по времени”, т. е. v(t) = . Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t до t,

получаем S =

Пример. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).[5]

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

S =

Практическая часть

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2,  у=0.

2. Тело движется  с ускорением а(t)=   4sin t( м/с²).  Определите как изменится скорость за время от 0 до п/3сек.

3. Определить массу стержня длины L=10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону р(х) =6+0,3x кг/м, где х — расстояние от одного из концов стержня.

4. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящей через точку с абсциссой Х, является квадратом, сторона  которого равна дроби 1/Х . Найдите объём этого тела.

5. Найти уравнение кривой, проходящей  через точку А(0;1), у которой касательная имеет угловой коэффициент, равный ординате точки касания.

6. По цепи идет переменный ток  I= 6t -t²(А) . Найдите величину заряда прошедшего по цепи за первые  6  сек.

Домашнее задание

Выполнить задания:

1. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)= 16t – 4t² (м/с). Найти длину пути, пройденного телом от начала движения до его остановки.

2. Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной равен  2х.