Урок по теме "Применение производной к построению графиков"
план-конспект урока по алгебре (10 класс)
Алгебра и начала анализа, 10 класс
Тема: «Применение производной к построению графиков функций»
Тип урока: Освоение новых знаний
Основные цели:
1)сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков;
2) тренировать универсальные учебные действия;
3) сформировать мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.
Материалы к занятию
Оборудование: проектор, компьютер, экран, слайды, плакаты, переносная координатная плоскость, таблица, плакат с эпиграфом.
Демонстрационный материал: 1)задание для актуализации знаний; 2) алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремум; 3) схема построения графика функции; 4) подробный образец для самопроверки.
Раздаточный материал: 1) задание для актуализации знаний; 2) пробное задание; задание для первичного закрепления; 3) задания для этапа включения в систему знаний;
4) задания для самостоятельной работы.
Ход урока
1. Мотивация к учебной деятельности.
− Доброе утро, ребята.
− Скажите, что нового вы узнали на предыдущих уроках? (Мы узнали, как с помощью производной найти промежутки возрастания и убывания функции, ее экстремумы.)
− Сегодня вы продолжите исследовать функции с помощью производной.
2. Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.
На слайде изображен график производной функции у = f (x):
|
а на доске алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы:
f’ |
f |
+ |
+ |
- |
х1 |
х2 |
min |
max |
x |
1) D (f), непрерывность 2) f’(x) ,D(f’) 3) f’(x) = 0, f’(x) не существует 4)
5) f(x) возрастает на (− ¥; х1]и [х2; + ¥), f(x) убывает на [х1; х2] xmax = x1 ymax = ¦(x1), xmin = x2 ymin = ¦(x2)
|
− Какие свойства функции вы можете определить по графику ее производной? (По графику производной можно определить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.)
− Как по графику производной определить, где функция возрастает и где убывает? (Если производная положительна на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке; если производная отрицательна на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.)
− Укажите промежутки возрастания и убывания функции.(f(x) возрастает напромежутке (− ¥; − 3]и наотрезке [− 1; 4], f(x) убывает на отрезке [− 3; − 1]и на промежутке [4; + ¥).)
− Какие точки называют критическими? (Критические точки − это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.)
− Назовите критические точки функции.(− 3; − 1; 4; 7.)
− Как по графику производной найти точки экстремумов? (Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «−», то данная критическая точка является точкой максимума, если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «−» на «+», то данная критическая точка является точкой минимума, если производная при переходе через критическую точку не меняет знака, то данная критическая точка не является точкой экстремума.)
− Укажите точки максимума и точки минимума функции.(Точки максимума: х1 = − 3;
х2 = 4; точка минимума: х3 = − 1.)
− Является ли точка х = 7 точкой экстремума?(Нет, так как нет смены знака производной, но в этой точке производная равна нулю, и график будет вести себя по-особому.)
− Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции у = f(x), заданной аналитически.
Учащиеся формулируют, учитель последовательно открывает шаги алгоритма на доске.
1. Найти область определения функции. 2. Найти производную функции. 3. Найти критические точки. 4. Отметить на числовой прямой область определения и критические точки. Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на полученных промежутках. 5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции. |
− Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции у = − 3х5 + 5х3.
Учитель записывает на доске под диктовку учащихся. Учащиеся работают в тетрадях.
1. Область определения функции: D(f)=R, f(x) непрерывна на D(f).
2. Производная функции:¦¢(х) = − 15х4 + 15х2 = − 15х2(х2 – 1) = − 15х2 (х – 1)(х + 1).
Область определения производной: D( ) = D(f ) = R
3. Критические точки: при х = − 1, х = 0, х = 1.
4.Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках.
5. Пользуясь достаточными признаками, находим промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции
f’ |
f |
− |
− |
+ |
+ |
− 1 |
1 |
0 |
min |
max |
f(x) возрастает на отрезке [− 1; 1], f(x) убывает напромежутке (− ¥; − 1]и на промежутке [1; + ¥).
− Что вы повторили?
− Какое следующее задание я вам предложу?
− С какой целью вам предлагается пробное задание?
Задание на затруднение.
− Итак, вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя данные исследования, построить график функции у = − 3х5 + 5х3.
− Возникнут ли у вас затруднения при выполнении задания?
На доске карточки с формулировками возможных затруднений:
Я не могу построить график функции. |
2 |
Я не могу доказать, что построил график функции правильно. |
1 |
− Посмотрите на карточки и запишите номер той карточки, на которой сформулировано затруднение, которое может у вас возникнуть.
Учитель предлагает нескольким ученикам озвучить возможные затруднения.
3. Выявление причины затруднения.
− Какое задание вы должны были выполнить? (Используя данные исследования, построить график функции.)
− Почему у вас возникнет затруднение? (Не знаем способа построения графиков, используя исследование функции.)
4. Построение проекта выхода из затруднения.
− Что вы используете для исследования функции? (Производную.)
− Сформулируйте цель вашей деятельности. (Узнать способ построения графика, используя исследование функции, то есть производную.)
− Сформулируйте тему урока. («Использование производной для построения графика».)
Тема урока открывается на доске.
− Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции. Что вы раньше использовали для построения графика функции? (Использовали таблицы.)
− Теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу?
(Нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график.)
5. Реализация проекта выхода из затруднения.
На доске открывается пустая таблица:
х |
|
|
|
|
|
|
|
¦/(х) |
|
|
|
|
|
|
|
¦(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Вы исследовали функцию у = − 3х5 + 5х3.
− Перечислите шаги, которые вы выполняете при исследовании функции. (Находим область определения функции, указываем ее непрерывность, находим производную функции и ее область определения, находим критические точки, определяем промежутки возрастания, убывания, точки экстремума.)
− Используя исследование, заполните первую строку таблицы. Что у вас получилось?
х | (− ¥; − 1) | − 1 | (− 1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1 + ¥) |
¦/(х) |
|
|
|
|
|
|
|
¦(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Что внесете во вторую строку? (Значения производной в критических точках, а также знаки производной на полученных промежутках.)
х | (− ¥; − 1) | − 1 | (− 1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1 + ¥) |
¦/(х) | − | 0 | + | 0 | + | 0 | − |
¦(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Что внесете в третью строку? (В третью строку вносим значения функции в критических точках и показываем стрелками возрастание и убывание функции на промежутках.)
х | (− ¥; − 1) | − 1 | (− 1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1 + ¥) |
¦/(х) | − | 0 | + | 0 | + | 0 | − |
¦(х) |
| − 2 |
| 0 |
| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Что необходимо зафиксировать в четвёртой строке? (Отметить характер экстремумов.)
х | (− ¥; − 1) | − 1 | (− 1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1 + ¥) |
¦/(х) | − | 0 | + | 0 | + | 0 | − |
¦(х) |
| − 2 |
| 0 |
| 2 |
|
|
| min |
|
|
| max |
|
− Куда надо перенести результаты, полученные в таблице? (Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную плоскость.)
− Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график? (Можно найти несколько дополнительных точек, можно посмотреть, какой является функция: четной или нечетной.)
На доске появляется график функции:
f(x) = − 3х5 + 5х3
− Итак, вы построили график функции. Как вы это сделали? (Мы создали алгоритм построения графика функции.)
Алгоритм вывешивается на доску:
1) D (f), непрерывность 2) f’(x) ,D(f’) 3) f’(x) = 0, f’(x) не существует 4) таблица:
5) дополнительные точки; особенности функции 6) график |
6. Первичное закрепление во внешней речи.
– Что теперь необходимо сделать? (Надо научиться использовать алгоритм для построения графиков.)
− Постройте теперь график функции f(x) = х + .
Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях.
1. Область определения функции: D(f) = (− ¥; 0) (0; + ¥), f(x) непрерывна на D(f).
2. Производная функции:
D( ) = D(f) = (− ¥; 0) (0; + ¥)
3. Критические точки:
при х = 2 и х = − 2, не существует − нет.
4. Таблица:
x |
|
|
| 0 |
| 2 |
|
f’(x) | + | 0 |
| # |
| 0 | + |
f(x) |
|
|
| # |
| 4 |
|
|
| max |
| # |
| min |
|
5. Дополнительные точки:
x | 1 | 4 |
y | 5 | 5 |
f (x) −нечетная
6. График функции:
7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
– А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм.
Учащимся раздаются карточки:
Вариант 1. По полностью проведенному исследованию построить график функции
Вариант 2. По частично проведенному исследованию построить график функции
Вариант 3. Исследовать функцию и построить ее график.
|
– Вам предлагается выполнить один из трёх вариантов по вашему выбору. Уровень сложности заданий повышается с увеличением номера варианта.
Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом:
Вариант 1. /Оборотная сторона левого крыла доски/
1) D (f) = R, функция непрерывна. 2) y| = 3x2 – 6x 3) 3x2 – 6x = 0; D (f|) = R х1 = 0; х2 = 2 + − +
0 2 4)
6) график
|
Вариант 2. /Оборотная сторона правого крыла доски/
1) D (f) = R, функция непрерывна. 2) y¢ = 6x2 – 6 3) 6x2 – 6 = 0; D (f|) = R х1 = − 1; х2 = 1 + − +
− 1 1 4)
6) график
|
Вариант 3. /Оборотная сторона переносной доски или слайд/
1) D (f) = R, функция непрерывна. 2) y¢ = 4x3 – 8х 3) 4x3 – 8х = 0; D (f|) = R х1 = 0; х2 = − ; х3 = 4)
5)
f (x) - четная 6) график
|
− У кого задание вызвало затруднение?
− На каком шаге алгоритма?
− В чем причина возникшего затруднения?
− У кого задание выполнено правильно?
8. Включение в систему знаний.
– Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить полученные знания.
Решите задачи:
1. Найдите множество значений функции . 2. При каких значениях параметра р уравнение = p имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?
|
1) Решение: (− ¥; − 4] È [4; + ¥).
2) Решение: корня при р < − 4и р >4; 1 корень при р = − 4 и р = 4; не имеет корней при − 4< p <4.
9. Рефлексия деятельности на уроке.
– Что нового вы сегодня узнали? (Мы узнали, как можно построить график функции с помощью производной.)
− Что вы создали? (Мы создали алгоритм построения графика.)
− Где вы сможете применить новые знания?
− Оцените свою деятельность на уроке: большой палец вверх, если вы поняли, как построить график функции, или вниз, если не все понятно.
Домашнее задание:п.24, № 300−301 (а, б), 304 (б)
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 primenenie_proizvodnoy_dlya_postroeniya_grafikov.docx | 165.05 КБ |
Предварительный просмотр:
Алгебра и начала анализа, 10 класс
Тема: «Применение производной к построению графиков функций»
Тип урока: Освоение новых знаний
Основные цели:
1)сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков;
2) тренировать универсальные учебные действия;
3) сформировать мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.
Материалы к занятию
Оборудование: проектор, компьютер, экран, слайды, плакаты, переносная координатная плоскость, таблица, плакат с эпиграфом.
Демонстрационный материал: 1)задание для актуализации знаний; 2) алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремум; 3) схема построения графика функции; 4) подробный образец для самопроверки.
Раздаточный материал: 1) задание для актуализации знаний; 2) пробное задание; задание для первичного закрепления; 3) задания для этапа включения в систему знаний;
4) задания для самостоятельной работы.
Ход урока
1. Мотивация к учебной деятельности.
− Доброе утро, ребята.
− Скажите, что нового вы узнали на предыдущих уроках? (Мы узнали, как с помощью производной найти промежутки возрастания и убывания функции, ее экстремумы.)
− Сегодня вы продолжите исследовать функции с помощью производной.
2. Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.
На слайде изображен график производной функции у = f (x):
а на доске алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы:
− Какие свойства функции вы можете определить по графику ее производной? (По графику производной можно определить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.)
− Как по графику производной определить, где функция возрастает и где убывает? (Если производная положительна на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке; если производная отрицательна на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.)
− Укажите промежутки возрастания и убывания функции.(f(x) возрастает напромежутке (− ∞; − 3]и наотрезке [− 1; 4], f(x) убывает на отрезке [− 3; − 1]и на промежутке [4; + ∞).)
− Какие точки называют критическими? (Критические точки − это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.)
− Назовите критические точки функции.(− 3; − 1; 4; 7.)
− Как по графику производной найти точки экстремумов? (Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «−», то данная критическая точка является точкой максимума, если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «−» на «+», то данная критическая точка является точкой минимума, если производная при переходе через критическую точку не меняет знака, то данная критическая точка не является точкой экстремума.)
− Укажите точки максимума и точки минимума функции.(Точки максимума: х1 = − 3;
х2 = 4; точка минимума: х3 = − 1.)
− Является ли точка х = 7 точкой экстремума?(Нет, так как нет смены знака производной, но в этой точке производная равна нулю, и график будет вести себя по-особому.)
− Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции у = f(x), заданной аналитически.
Учащиеся формулируют, учитель последовательно открывает шаги алгоритма на доске.
− Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции у = − 3х5 + 5х3.
Учитель записывает на доске под диктовку учащихся. Учащиеся работают в тетрадях.
1. Область определения функции: D(f)=R, f(x) непрерывна на D(f).
2. Производная функции:ƒ′(х) = − 15х4 + 15х2 = − 15х2(х2 – 1) = − 15х2 (х – 1)(х + 1).
Область определения производной: D() = D(f ) = R
3. Критические точки: при х = − 1, х = 0, х = 1.
4.Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках.
5. Пользуясь достаточными признаками, находим промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции
f(x) возрастает на отрезке [− 1; 1], f(x) убывает напромежутке (− ∞; − 1]и на промежутке [1; + ∞).
− Что вы повторили?
− Какое следующее задание я вам предложу?
− С какой целью вам предлагается пробное задание?
Задание на затруднение.
− Итак, вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя данные исследования, построить график функции у = − 3х5 + 5х3.
− Возникнут ли у вас затруднения при выполнении задания?
На доске карточки с формулировками возможных затруднений:
− Посмотрите на карточки и запишите номер той карточки, на которой сформулировано затруднение, которое может у вас возникнуть.
Учитель предлагает нескольким ученикам озвучить возможные затруднения.
3. Выявление причины затруднения.
− Какое задание вы должны были выполнить? (Используя данные исследования, построить график функции.)
− Почему у вас возникнет затруднение? (Не знаем способа построения графиков, используя исследование функции.)
4. Построение проекта выхода из затруднения.
− Что вы используете для исследования функции? (Производную.)
− Сформулируйте цель вашей деятельности. (Узнать способ построения графика, используя исследование функции, то есть производную.)
− Сформулируйте тему урока. («Использование производной для построения графика».)
Тема урока открывается на доске.
− Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции. Что вы раньше использовали для построения графика функции? (Использовали таблицы.)
− Теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу?
(Нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график.)
5. Реализация проекта выхода из затруднения.
На доске открывается пустая таблица:
х | |||||||
ƒ/(х) | |||||||
ƒ(х) | |||||||
− Вы исследовали функцию у = − 3х5 + 5х3.
− Перечислите шаги, которые вы выполняете при исследовании функции. (Находим область определения функции, указываем ее непрерывность, находим производную функции и ее область определения, находим критические точки, определяем промежутки возрастания, убывания, точки экстремума.)
− Используя исследование, заполните первую строку таблицы. Что у вас получилось?
х | (− ∞; − 1) | − 1 | (− 1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1 + ∞) |
ƒ/(х) | |||||||
ƒ(х) | |||||||
− Что внесете во вторую строку? (Значения производной в критических точках, а также знаки производной на полученных промежутках.)
х | (− ∞; − 1) | − 1 | (− 1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1 + ∞) |
ƒ/(х) | − | 0 | + | 0 | + | 0 | − |
ƒ(х) | |||||||
− Что внесете в третью строку? (В третью строку вносим значения функции в критических точках и показываем стрелками возрастание и убывание функции на промежутках.)
х | (− ∞; − 1) | − 1 | (− 1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1 + ∞) |
ƒ/(х) | − | 0 | + | 0 | + | 0 | − |
ƒ(х) | − 2 | 0 | 2 | ||||
− Что необходимо зафиксировать в четвёртой строке? (Отметить характер экстремумов.)
х | (− ∞; − 1) | − 1 | (− 1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1 + ∞) |
ƒ/(х) | − | 0 | + | 0 | + | 0 | − |
ƒ(х) | − 2 | 0 | 2 | ||||
min | max |
− Куда надо перенести результаты, полученные в таблице? (Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную плоскость.)
− Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график? (Можно найти несколько дополнительных точек, можно посмотреть, какой является функция: четной или нечетной.)
На доске появляется график функции:
f(x) = − 3х5 + 5х3
− Итак, вы построили график функции. Как вы это сделали? (Мы создали алгоритм построения графика функции.)
Алгоритм вывешивается на доску:
6. Первичное закрепление во внешней речи.
– Что теперь необходимо сделать? (Надо научиться использовать алгоритм для построения графиков.)
− Постройте теперь график функции f(x) = х + .
Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях.
1. Область определения функции: D(f) = (− ∞; 0) (0; + ∞), f(x) непрерывна на D(f).
2. Производная функции:
D() = D(f) = (− ∞; 0) (0; + ∞)
3. Критические точки:
при х = 2 и х = − 2, не существует − нет.
4. Таблица:
x | 0 | 2 | |||||
f’(x) | + | 0 | # | 0 | + | ||
f(x) | # | 4 | |||||
max | # | min |
5. Дополнительные точки:
x | 1 | 4 |
y | 5 | 5 |
f (x) −нечетная
6. График функции:
7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
– А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм.
Учащимся раздаются карточки:
– Вам предлагается выполнить один из трёх вариантов по вашему выбору. Уровень сложности заданий повышается с увеличением номера варианта.
Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом:
− У кого задание вызвало затруднение?
− На каком шаге алгоритма?
− В чем причина возникшего затруднения?
− У кого задание выполнено правильно?
8. Включение в систему знаний.
– Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить полученные знания.
Решите задачи:
1) Решение: (− ∞; − 4] ∪ [4; + ∞).
2) Решение: корня при р < − 4и р >4; 1 корень при р = − 4 и р = 4; не имеет корней при − 4< p <4.
9. Рефлексия деятельности на уроке.
– Что нового вы сегодня узнали? (Мы узнали, как можно построить график функции с помощью производной.)
− Что вы создали? (Мы создали алгоритм построения графика.)
− Где вы сможете применить новые знания?
− Оцените свою деятельность на уроке: большой палец вверх, если вы поняли, как построить график функции, или вниз, если не все понятно.
Домашнее задание:п.24, № 300−301 (а, б), 304 (б)
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Тема урока: Встроенные функции в Excel. Построение графиков.
Тема урока: Встроенные функции в Excel. Построение графиков.Цель урока:· Познакомить и научить создавать таблицы значений функций в заданном диапа...
Урок «Исследование функций с помощью производной и построение графиков» (10 класс, алгебра и начала анализа)
Урок- практикум по алгебре и началам анализа по теме «Исследование функций с помощью производной и построение графиков» можно и...
Открытый интегрированный урок Алгебра+Информатика по теме "Построение графиков функций и уравнений, содержащих переменную под знаком модуля"
Результат урока нацелен на овладение учащимися программным и дополнительным материалом по данной теме и рассчитан на выход каждого ученика на свой уровень развития.Построение графиков является основны...
Урок по теме «Квадратичная функция. Построение графика квадратичной функции»
Урок контроля и коррекции знаний.Основная дидактическая цель: выявление уровня овладения учащимися комплексом знаний и умений....
Метод. разработка по теме «Выпуклость и вогнутость функции. Исследование функции с помощью производной и построение графиков этих функций».
Метод. разработка по теме «Выпуклость и вогнутость функции. Исследование функции с помощью производной и построение графиков этих функций»....
План-конспект открытого урока Применение производной к построению графиков функций
Урок для учащихся 11 класса...
Технологическая карта урока по алгебре в 11 классе на тему:"Исследование функции с помощью производной и построение графика»
Исследование функции с помощью производной и построение графика...