урок по алгебре в 10 классе по теме "Тригонометрические уравнения" к учебнику А.Н.Колмогорова
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

План- конспект урока алгебры  10 класса

учителя МКОУ «Тутончанская средняя школа»

Кожиной Ирины Вениаминовны

Тема: Тригонометрические уравнения.

Цели: 

1. Рассмотреть основные типы тригонометрических уравнений.
2.  Показать  способ  решений тригонометрических уравнений – заменой неизвестного.
3. Закрепить общий вид решений  простейших тригонометрических уравнений.
4. Развитие мышления через  обучение анализировать, сравнивать, строить аналогии.
5. Формирование ответственности, организованности, дисциплинированности.
6. Воспитание культуры математического мышления,  положительного эмоционального отношения к математике, аккуратность.

Тип:  комбинированный урок.

Оборудование:  плакат с  решениями простейших  тригонометрических  уравнений, раздаточные карточки для самостоятельной работы. Дидактический материал «Тригонометрия»

Ход урока.

1. Сообщение  темы и цели  урока.
2. Повторение и закрепление пройденного материала.

а) Ответы на вопросы по домашнему заданию.

б) Контроль усвоения материала (Самостоятельная работа).

Самостоятельная работа

Решите уравнения ( 1- 4 )

                        Вариант 1                                                                Вариант 2

1 а)  sin х = 1                                                                         1 а)  sin х = 1/2

   б)  cos х = - √2 /2                                                                    б)  cos х =  √3 /2

2   tg х = -1                                                                                2   tg х = -√3 /3

3  а)  sin х = 1 /5                                                                     3  а)  sin х = п /2

    б)  cos х = п /2                                                                        б)  cos х =  -1 /6

4   sin x + 2sin x cos x – 4cos x -  2 =0

3 Изучение нового материала.

Более сложные тригонометрические уравнения  решаются путем их сведения к простейшим. Способы сведения уравнений  к простейшим  по сути и являются способами их решения. Рассмотрим их.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.

Рассмотрим примеры решения уравнений, которые после введения нового неизвестного

t  = f(х), где f(х) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения  с неизвестным t.

Пример 1.   Решим уравнение   2cos2 x  + 3cos x + 1 = 0                (1)

Введем новое неизвестное  cos x = t , тогда уравнение (1) превращается  в квадратное уравнение с неизвестным t:         2t2 + 3t + 1 = 0                                          (2)

Решаем уравнение (2): Д = 9 – 4*2 = 1. t1 = -1,  t2 = - ½.

Следовательно, множество всех решений уравнения (1) есть объединение множеств всех решений  двух уравнений  cos х = -1   и   cos х = -1/2.

Решим каждое из этих простейших уравнений. Найдем, что множество решений  уравнения (1)  состоит из трех серий  решений:

Хт = п + 2 пт,  т € Z,     Хп = 2п/3 + 2 пп,  п € Z,     Хk = 2п/3 + 2 пk,  k € Z,    

        Ответ: Хт = п + 2 пт,  т € Z,     Хп = 2п/3 + 2 пп,  п € Z,     Хk = 2п/3 + 2 пk,  k € Z,    

Пример 2. Решим уравнение    (sin x – 0,5)(sin x  + 1) = 0                (3)

Сделаем замену неизвестного t = sinх , получим распадающееся уравнение

(t – 0,5)(t  + 1) = 0. данное уравнение имеет два решения : t1 = 0,5   и     t2 = -1.

Множество решений уравнения (3) есть объединение множеств решений  двух уравнений:

sin x = 0,5   и   sin x = -1.

Решим каждое из этих простейших уравнений, найдем, что множество решений уравнения (3)  состоит из трех серий решений:   Хт = п/6  + 2 пт,  т € Z,     Хп = 5п/6 + 2 пп,  п € Z,     Хk = -п/2 + 2 пk,  k € Z,    

Ответ:  Хт = п/6  + 2 пт,  т € Z,     Хп = 5п/6 + 2 пп,  п € Z,     Хk = -п/2 + 2 пk,  k € Z,    

Пример 3.  Решим уравнение cos2х = 1.                                           (4)

Сначала перепишем уравнение в виде  (cos х – 1 )( cos х + 1 ) = 0

Множество решений уравнения (4) есть объединение множеств решений  двух уравнений:

cos х = 1    и   cos х = -1.

Решим каждое из этих простейших уравнений, найдем, что множество решений уравнения (4)  состоит из двух серий решений:   Хт =  2 пт,  т € Z,     Хп = п + 2 пп,  п € Z.

Обе эти серии можно объединить в одну серию  Хk =  пk,  k € Z      

        Ответ:   Хk =  пk,  k € Z      

        Пример 4.  Решим уравнение      tg x – 15/ tg x   = 2                          (5)

Введем новое неизвестное    tg x = t.  Уравнение (5) превращается в рациональное уравнение  с неизвестным t :       t – 15/t  =  2

Решим его, получим, t1 = 5,      t2 = -3.

Множество решений уравнения (5) есть объединение множеств решений  двух уравнений:

tg x  = 5  и    tg x = -3.

Решим каждое из этих простейших уравнений, найдем, что множество решений уравнения (5)  состоит из двух серий решений:   Хт =  arctg 5 +  пт,  т € Z,    Хп = - arctg 3 +  пп,  п € Z.

        Ответ:  Хт =  arctg 5 +  пт,  т € Z,    Хп = - arctg 3 +  пп,  п € Z.

        Рассмотрим примеры решения уравнений, которые после введения нового неизвестного t = aх + в превращаются в простейшие тригонометрические уравнения с неизвестным t.

        Пример 5.  Решим уравнение   sin 3х = 0.                                             (6)

Введем новое неизвестное 3х = t. , тогда уравнение (6) превращается  в простейшее тригонометрическое уравнение  с неизвестным t:    sin t = 0                           (7)

Уравнение (7) имеет одну серию решений tп = пп, п € Z. Следовательно, множество решений уравнения (6)  находится из условия  3хп = пп,  п  € Z, находим все решения уравнения (7):   хп = пп/3 ,  п  € Z.

Ответ:   хп = пп/3 ,  п  € Z.

        Пример 6.  Решим уравнение   cos( 2х – п/4) = -1                                  (8)

Множество решений этого уравнения задается формулой  2хп – п/4 =  п + 2пп, п  € Z.

Находим все решения уравнения (8):  хп  =  5п/8 + пп, п  € Z.

4 Тренировочные упражнения.

№ 164 (б), 165(а), 167(а), 168(а,б)

5 Итог урока – самостоятельная работа.

Решите уравнение    (1-5):

1. sin( 2х – п/3) = 0
2. cos2 х + 3 cos х + 2 = 0
3. sin2 х + 3 sin х – 4 = 0
4. tgх + 5/tgх – 6 = 0
5. сtg3 х  + сtg2 х  + 2 сtg х  +2 = 0

6. Задание на дом:

№ 164 (г), 165(в), 167(в), 168(в,г)