Элементы комбинаторики. Сочетания.
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Слайд 1

Элементы комбинаторики г.Москва , НЧУ ОО ЦПШ «Косинская», учитель математики Клейникова Виктория Германовна 9 класс Часть 4 Учебник «Алгебра. 9 класс» Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. под редакцией Теляковского С.А., М.: Просвещение.

Слайд 2

Содержание 4 Сочетания 1 2 3 5 Решаем на уроке Решаем самостоятельно Домашнее задание Формула числа сочетаний

Слайд 3

Рассмотрим пример ПРИМЕР. Пусть имеется пять роз разного цвета: Б – белая, Ж – желтая, 0 – оранжевая, Р – розовая, К – красная. Какие букеты из 3-х роз могут быть составлены? Решение. Составим букеты 1-м способом (т.е. перебором). Если в букете обязательно будет белая роза, то могут быть составлены следующие букеты: БЖО, БЖР, БЖК, БОР, БОК, БРК (6 вариантов). Если в букете не будет белой, но обязательно будет желтая роза, то могут быть составлены следующие букеты: ЖОР, ЖОК, ЖРК (3 варианта). Если в букете не будет ни белой, ни желтой розы, то может быть составлен только один букет: ОРК (1 вариант). Итого: 10 вариантов.

Слайд 4

Рассмотрим пример Мы указали все возможные варианты составления букетов, в которых по-разному сочетаются три розы из данных пяти. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3. В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Любые два сочетания из n элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Слайд 5

Сочетания Сочетанием из n элементов по k (k n) называется любое множество, состоящее из k элементов, выбранных из данных n элементов. Сочетания бывают без повторения элементов и с повторениями . Число сочетаний из n элементов по k без повторений обозначают ( читается: « C из n по k », от франц. combination - сочетание). В рассмотренной выше задаче = 10 .

Слайд 6

Формула числа сочетаний Выведем формулу числа сочетаний из n элементов по k , где k n . Выясним сначала, как выражается через и P 3 . В нашей задаче мы нашли, что из 5 элементов можно составить следующие сочетания по 3 элемента: БЖО, БЖР, БЖК, БОР, БОК, БРК, ЖОР, ЖОК, ЖРК, ОРК. В каждом сочетании можно выполнить перестановки. Число возможных перестановок каждой комбинации из 3-х элементов равно P 3 =3! = 6. Например: БЖО, БОЖ, ЖБО, ЖОБ, ОБЖ, ОЖБ. (Это один и тот же букет роз!) В результате получим все возможные комбинации из 5 элементов по 3, которые различаются либо самими элементами, либо порядком элементов. Таким образом, получим все размещения из 5 элементов по 3 , т.е. . Значит, · P 3 = Отсюда =

Слайд 7

Формула числа сочетаний (без повторений) Рассмотрим общий случай. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов, из которых составлены все возможные сочетания по k элементов. Число таких сочетаний равно . В каждом сочетании можно выполнить P k перестановок. В результате мы получим все размещения, которые можно составить из n элементов по k . Их число равно . Значит, · P k = Отсюда = Так как = , P k = k! , то при любом k n =

Слайд 8

Решаем на уроке №768 с.196. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? Решение. Так как порядок, в котором будут выбраны два человека, на важен, то число различных способов вычисляется по формуле для числа сочетаний: = = = = 2 1

Слайд 9

Решаем на уроке Задача. В классе учатся 12 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории около школы требуется выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Выбрать трех мальчиков из 12 можно способами. Выбрать двух девочек из 10 можно способами. Так как при каждом выборе мальчиков можно способами выбрать девочек, то сделать выбор учащихся, о котором говорится в задаче, можно способами: = = = = 11 · 10 · 10 · 9 = 9900

Слайд 10

Формула числа сочетаний (без повторений) Заметим, что если k = n , то = = = 1 Отметим также, что число сочетаний из n по k 1 равно числу сочетаний из n по k 2 , если k 1 + k 2 = n . Например, = Действительно, = = = 1 0 = = = 1 0 Что больше: ? = = n , если k = 1

Слайд 11

Решаем самостоятельно № 769 с. 196 № 771 № 772 № 774 с.197

Слайд 12

Домашнее задание № 770 с. 196 №№ 773, 775 с.197