Дискретная случайная величина. закон ее распределения
план-конспект по алгебре
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 diskretnaya_sluchaynaya_velichina_1.ppt | 572 КБ |
 diskretnaya_sluchaynaya_velichina.docx | 30.07 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИ НА Величину, которая в результате опыта принимает только одно, зависящее от случая, числовое значение, назовем случайной величиной. Случайные величины обозначаются большими латинскими буквами ( X , Y , Z ), а их возможные числовые значения – маленькими латинскими буквами ( x , y , z ). ПРИМЕРЫ : Число выпадения герба при подбрасывании монеты Число выпавших гербов при подбрасывании двух монет Количество очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости Число родившихся мальчиков (или девочек) среди ста новорожденных. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия. Ошибка измерителя высоты. Температура воздуха на следующий день.
Дискретная случайная величина Случайная величина называется дискретной , если в результате опыта она принимает числовые значения, которые можно перечислить или поставить им в соответствие элементы счётного множества Таким образом, дискретная случайная величина может быть как конечной, так и бесконечной. Для описания дискретной случайной величины ( ДСВ ) просто перечислить её значения недостаточно. Необходимо для каждого значения найти соответствующую вероятность. Вероятность того, что случайная величина Х примет то или иное значение а обозначают Р(Х=а) .
Какие из данных случайных величин будут дискретными ? Число выпадения герба при подбрасывании монеты Число выпавших гербов при подбрасывании двух монет Количество очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости Число родившихся мальчиков (или девочек) среди ста новорожденных. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия. Ошибка измерителя высоты. Температура воздуха на следующий день.
Рассмотрим ДСВ на примере ДСВ Х : число выпавших гербов при подбрасывании двух монет Значения, которые принимает ДСВ Х : х 1 =0, х 2 =1, х 3 =2. Вероятности того, что ДСВ Х примет то или иное значение ( рассмотрим на графе ): Р(Х=0) =1/4, Р(Х=1) =1/2, Р(Х=2) =1/4. Г Г Г Р Р Р Х
Закон распределения ДСВ Х х 1 х 2 … х n … Р p 1 p 2 … p n … Соответствие между возможными значениями случайной величины и ее вероятностями называют законом распределения случайной величины и записывают в виде таблицы: где в верхней строчке написаны значения случайной величины, а в нижней – под каждым x i – вероятности p i . Заметим, что события x 1 , x 2 ,… x n образуют полную систему событий, поэтому сумма вероятностей в нижней строке всегда равна 1. Для нашего примера:
Многоугольник распределения Графическим изображением закона распределения ДСВ является многоугольник распределения - множество точек с координатами ( х 1 ; р 1 ), ( х 2 ; р 2 )… ( х п ; р п )… , последовательно соединенных отрезками. Для нашего примера: 1 2 0 х у
Задача 1. В стопке лежат 10 тетрадей с одинаковой обложкой, 4 из которых в линейку, остальные – в клетку. Саша наугад вынимает 2 тетради. Составьте закон распределения числа выбранных тетрадей в клетку ( используйте граф для нахождения вероятностей ) и постройте многоугольник распределения.
Числовые характеристики ДСВ: Математическое ожидание. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
Математическое ожидание Математическим ожиданием M ( X ) называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины ( х i ) на соответствующие вероятности ( р i ): M ( X ) = х 1 ·р 1 + х 2 ·р 2 +…+ х n ·р n Математическое ожидание – это число, которое указывает, какое среднее значение случайной величины следует ожидать в результате проведения опыта или испытания.
Свойства математического ожидания M ( X ) = х 1 ·р 1 + х 2 ·р 2 +…+ х n ·р n 1). M ( C ) = C , где С – const ; 2). M ( C · X ) = C · M ( X ); 3). M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M ( Y ); 4). M ( X·Y ) = M ( X ) · M ( Y ) , где Х и Y - независимые случайные величины.
Задание: Закон распределения случайной величины Х задан таблицей: Найдите математическое ожидание случайной величины Х . Х -5 0 2 6 Р 0,1 0,2 0,3 0,4 M ( X ) = х 1 ·р 1 + х 2 ·р 2 +…+ х n ·р n
Дисперсия Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонений от среднего значения: Для вычисления: D ( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X ), где M ( X 2 ) = х 1 2 ·р 1 + х 2 2 ·р 2 +…+ х n 2 ·р n Дисперсия характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее среднего значения. На практике дисперсия служит для оценки меры риска . (Дисперсия всегда положительное число)
Свойства дисперсии D ( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X ) , где M ( X 2 ) = х 1 2 ·р 1 + х 2 2 ·р 2 +…+ х n 2 ·р n 1). D ( C ) = 0, где C – const ; 2). D ( C ּ X ) = C ּ D ( X ); 3). D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ), если Х , Y – независимые случайные величины.
Среднеквадратическое отклонение Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины: если ДСВ имеет размерность метры, то дисперсия измеряется в м 2 . Для того, чтобы оценка рассеяния значений случайной величины имела размерность самой величины, вычисляют среднеквадратичное отклонение. Положительное значение квадратного корня из дисперсии называют среднеквадратическим отклонением (или стандартным отклонением):
Задание: Закон распределения случайной величины Х задан таблицей: Найдите среднеквадратичное отклонение случайной величины Х . Х -5 0 2 6 Р 0,1 0,2 0,3 0,4
Домашнее задание: В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули а). 2 шара, б). 3 шара. Случайная величина –число вынутых черных шаров. Составить закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Предварительный просмотр:
Тема: Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
В обыденной жизни и в научных исследованиях постоянно приходится встречаться с такими ситуациями, когда интересующая нас величина может принимать различные значения в зависимости от случайных обстоятельств.
Сколько вызовов поступит на телефонную станцию в течение ближайшего часа?
Сколько уличных происшествий в течение предстоящих суток может произойти в каком-либо населенном пункте?
В подобных ситуациях приходится иметь дело со случайными величинами (СВ).
- Что такое случайная величина? (Переменная величина, значения которой зависят от случайного исхода некоторого испытания, причем каждое из этих значений реализуется с той или иной вероятностью).
- На какие две большие группы можно разделить СВ, и чем они отличаются друг от друга?
(Дискретные и непрерывные. Для ДСВ можно заранее указать те значения, которые может принять СВ, а для непрерывной заранее нельзя указать все значения).
Рассмотрим примеры.
1) Из одного и того же орудия при одном и том же прицеле производятся 4 выстрела. Что может быть случайной величиной ? (Число попаданий)
- Что может быть непрерывной СВ? (Расстояние от орудия до места разрыва)
- Можно ли из данной непрерывной величины «сделать» дискретную?(Да, указав, например, расстояние в метрах).
2) Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется от столкновений с другими молекулами. Ввиду того, что каждая молекула может либо столкнуться, либо не столкнуться с каждой другой молекулой газа, изменение ее скорости носит чисто случайный характер. Это ДСВ или непрерывная СВ? (Непрерывная).
3) Число метеоритов, падающих на Землю в течение года, достигающих ее поверхности, не постоянно, а подвержено значительным колебаниям в зависимости от целого ряда обстоятельств случайного характера.
Остановимся на ДСВ.
- Что нужно знать о СВ, чтобы иметь о ней исчерпывающие сведения? (Перечень значений, которые она может принимать; вероятности, с которыми СВ принимает то или иное значение).
- Что такое вероятность? (Отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов).
Установив соответствие между значениями СВ и их вероятностями, мы тем самым зададим закон распределения дискретной случайной величины (ЗР ДСВ).
Наиболее существенные особенности распределения в сжатой форме выражаются числовыми характеристиками.
- Какие вы знаете числовые характеристики для ДСВ?
Рассмотрим некоторые из них, решив задачи.
Задача 1. Рассмотрим еще одну игру. Мишень разделена на 8 равных секторов и установлена так, что может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О. При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различать цифры, выписанные по одной на секторах. Он вынужден стрелять наугад.
При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает 10 р., в сектор 2 — 20 р., в сектор 3 — 30 р. и т. д., в сектор 8 — 80р. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 50р.?
Поскольку мишень вращается, то способности стрелка здесь не имеют никакого значения: попадание — чистая случайность. Случайная величина выражает возможные выигрыши. Она может принимать значения 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80.
Так как все секторы одинаковые, то каждое из этих значений случайная величина принимает с одинаковой вероятностью 1/8.
Значит, М=10·1/8+20·1/8+30·1/8+40·1/8+50·1/8+60·1/8+70·1/8+80·1/8=45
Итак, математическое ожидание выигрыша 45 р., а стоимость выстрела 50р. Стрелять много раз явно невыгодно. На основании подобных расчетов организуются разнообразные азартные игры, приводящие игроков к разорению.
Задача 2. Число вызовов, поступающих в пожарные части двух районов в течение недели, имеет соответственно законы распределения:
Х | 0 | 1 | 2 |
Р | 0,8 | 0,15 | 0,05 |
У | 0 | 1 | 2 |
Р | 0,82 | 0,1 | 0,08 |
Решим еще одну задачу, где для ответа на вопрос недостаточно знания математического ожидания.
Задача 3. Число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух стрелков, имеет ЗР ДСВ:
Х | 7 | 8 | 9 | 10 |
Р | 0,3 | 0,2 | 0,3 | 0,2 |
У | 7 | 8 | 9 | 10 |
Р | 0,1 | 0,5 | 0,3 | 0,1 |
Какому из стрелков вы отдадите предпочтение?
- Что необходимо найти для разрешения поставленного вопроса? (Математическое ожидание М(Х) и М(У).
Решение:
М(Х)=7*0,3+8*0,2+9*0,3+10*0,2=8,4
М(У)=7*0,1+8*0,5+9*0,3+10*0,1=8,4
Получили проблему: М(Х)=М(У)
- Как же в таком случае определить, кто стреляет лучше? (Посчитать дисперсию, показывающую отклонение значений СВ от М(Х), М(У).
Решение:
1 способ. Д(Х)=М(Х-М(Х))^2
(Х-М(Х))^2 | 1,96 | 0,16 | 1,96 | 2,56 |
Р | 0,3 | 0,2 | 0,3 | 0,2 |
Д(Х)=1,96*0,3+0,16*0,2+1,96*0,3+2,56*0,2=1,72
2 способ. Д(У)=М(У^2)-М^2(У)
У^2 | 49 | 64 | 81 | 100 |
Р | 0,1 | 0,5 | 0,3 | 0,1 |
М(У^2)= 49*0,1+64*0,5+81*0,3+100*0,1=71,2
М^2(У)= 8,4*8,4=70,56
Д(У)=71,2-70,56=0,64
Вывод: разброс значений выбитых очков меньше у второго стрелка, второй стреляет лучше.
- Какие еще характеристики СВ можно определить?
Мода Х=7, Мода Х =9 – величина двумодальная
Мода У = 8 – величина одномодальная
- Что же такое МОДА? (Значение СВ, имеющее наибольшую вероятность)
Определим МЕДИАНУ – середину упорядоченного ряда.
Упорядочим ряд для СВ Х : 7,7,7,8,8,9,9,9,10,10
Ме (Х)=(8+9):2= 8,5
Упорядочим ряд для СВ У : 7,8,8,8,8,8,9,9,9,10
Ме (У)=8
Определим РАЗМАХ – разницу между большим и меньшим значениями СВ.
R(X)=R(Y)=10-7=3
По определению дисперсия имеет размерность квадрата СВ. Для наглядной характеристики рассеивания (разброса) удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью СВ. Это СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ сигма.
Сигма(Х)=SQRTL(Д(Х))=SQRT1,72=1,3
Сигма (У)=SQRT 0,64 = 0,8.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений.
Если случайная величина Х принимает значения x1, x2, ... , xn с вероятностями соответственно p1, p2,... pn , то математическое ожидание находится по формуле:
М(x) = xipi = x1p1+ x2p2 + ... + xnpn (1)
Математическое ожидание иначе называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое среднее число, около которого группируются все значения случайной величины.
Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(x) = M(x – M(x))2 (2)
Пусть случайная величина Х принимает значения x1, x2, ... , xn с вероятностями соответственно p1, p2,... pn , тогда квадрат отклонения случайной величины Х от её математического ожидания есть случайная величина, принимающая значения (Х1 – М(Х)), (Х2 – М(Х)), …, (Хn – М(Х) с вероятностями Р1 , Р2 , …, Рn. Поэтому математическое ожидание так распределенной случайной величины, то есть дисперсию Х, можно вычислять по формуле: D(X) = (xi – M(x))2pi (3)
D(x) = M(x2) – (M(x))2 (4)
Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:
(x) = D(x) (5)
Пример 1.Найти числовые характеристики случайной величины Х, имеющей закон распределения, представленный в таблице 1.
Таблица 1. Закон распределения случайной величины Х.
Xi | – 2 | – 1 | 1 | 2 | 3 |
Pi | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 |
Решение:
1. Найдём математическое ожидание.
По формуле (1): M(x) = –2 . 0.3 + (–1) . 0.1 + 1 . 0.2 + 2 . 0.1 + 3 . 0.3 = – 0.6 – 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.9 = 0.6
2. Найдём дисперсию.
- Воспользуемся формулой (2): случайная величина (Х – М(Х)) имеет распределение, представленное в таблице 2
Таблица 2. Закон распределения случайной величины (Х – М(Х))
Xi – М(х) | – 2.6 | – 1.6 | 0.4 | 1.4 | 2.4 |
Pi | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 |
Тогда:
D(X) = M(x – M(x))2 = (–2.6)2. 0.3 + (–1.6)2. 0.1 + 0.42. 0.2 + 1.42. 0.1 + 2.42. 0.3 = 2.028 + 0.256 + 0.032 + 0.196 + 1.728 = 4.24
- Воспользуемся формулой (4):
случайная величина x2 имеет распределение, представленное в таблице 3
Таблица 3. Закон распределения случайной величины х2
Xi | 1 | 4 | 9 |
Pi | 0.3 | 0.4 | 0.3 |
Тогда M(x2) = 1 . 0.3 + 4 . 0.4 + 9 . 0.3 = 0.3 + 1.6 + 2.7 = 4.6
- По формуле (4): D(x) = M(x2) – (M(x))2 = 4.6 – 0.62 = 4.6 – 0.36 = 4.24
3. Найдём среднее квадратичное отклонение по формуле (5) (x) = D(x) = 4.24 ~2.059
3. Ответить на Вопросы (письменно)
1). Дать определение дискретной случайной величины.
2). Что такое математическое ожидание?
3). Что такое дисперсия?
4). Что такое среднее квадратичное отклонение?
5). Дать определение закона распределения дискретной случайной величины.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Дискретные случайные величины
В данной работе рассмотрены основные характеристики дискретных случайных величи...
Случайные величины.Законы распределения случайных величин.
Данный материал поможет учителям....
Методическая разработка. Самостоятельная работа по теме "Нахождение математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины. Находить моду, медиану, среднее арифметическое выборки, размах выборки"
Самостоятельная работа проводится на 2 курсе в СПО по математике. Предлагается справочный материал по данной теме,разбираются примеры. Студентам предлагается ряд задач решить самостоятельно. В конце р...
Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения
Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения...
Дискретная случайная величина, закон ее распределения
Презентация "Дискретная случайная величина, закон ее распределения"...
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел....
Равномерное распределение непрерывной случайной величины
Презентация для урока на втором курсе СПО. Предмет "Теория вероятности и мат. статистика"....