Формула суммы членов арифметической прогрессии
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

   Урок алгебры

в 9 классе

«Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Тип урока: урок изучения нового материала

Цель: вывести формулу суммы n-членов арифметической прогрессии, закрепить понятий прогрессия, член прогрессии, разность прогрессии, выработать навыки непосредственного применения данной формулы.

Задачи:

образовательные: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, развить представления учащихся об использовании прогрессии в окружающей их жизни.

воспитательные: воспитывать интерес к истории математики, продолжать воспитание самостоятельности, трудолюбия, внимания, чувства ответственности и общематематической культуры, способствовать формированию навыков коллективной работы в группах, парах и самостоятельной работы при выводе формул.

развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность обучающихся на уроке посредством вывода формул суммы n-первых членов арифметической прогрессии, развивать любознательность и вычислительные навыки, продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

Оборудование: медиапроектор.

• Форма организации обучения: фронтальная, в парах, групповая.

ХОД УРОКА

1.  Организационный момент.

         Проверка готовности класса к уроку.

2. Актуализация ранее изученного и постановка целей урока.

Эпиграф урока:

Математика есть единая симфония бесконечного.

 Д. Гильберт

(слайд 1)

Давид Гильберт (23 января 1862 – 14 февраля 1943) – немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики.

Учитель На предыдущих уроках мы изучали прогрессии. Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение. Он был введен римским философом и математиком Боэцием (VI в.). Как вы думаете, что означает это слово?

 - «движение вперед», «успех» (на экране-«движение вперед», «успех») (слайд 2)

              Не будем останавливаться и мы, а пойдем вперед в направлении изучения     прогрессий. Я хочу, чтобы  сегодня  на уроке вы сделали для себя много открытий, узнали что-то новое и интересное.

Скажите, как называется прогрессия, которую мы изучаем?

Что мы о ней знаем, выясним в ходе устной работы

Вопросы классу: (слайд 3)

Какие из последовательностей являются арифметическими прогрессиями? 1)3, 6, 9, 12,…                        

2)6, 12, 18, 24, 30,…

3)5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,…

4)1, 2, 4, 7, 9, 11,…

 5)5, 15, 25,..,45,…

6)1000, 1001, 1002, 1003,….

(1,2,3,5,6) Почему? Как называется это одно и то же число?  Как оно обозначается? Как его найти? Найдите разность в каждой из прогрессий.

Скажите , чем 3 прогрессия  отличается от остальных? Какой она является? А остальные? В 5 прогрессии отсутствует 4 член последовательности .Найдите его. Какими еще способами его можно найти? А как найти любой член прогрессии, если известен первый ее член и разность?

Работа в парах: ( слайд 4)

Дана арифметическая прогрессия (сn): 5; 15;  с3;  с4; ….

Найдите: а) с5;

                 б) с100

                 в) найдите сумму 5-первых членов арифметической прогрессии.

                 г) найдите сумму 100-первых членов арифметической прогрессии.

Даю вам 3 мин.

                        (Здесь возникает вопрос: неудобно, громоздко)

Проблема: Нельзя ли решить эту задачу проще?  Для этого нужно познакомиться с формулой суммы n первых членов арифметической  прогрессии.

Учитель Итак, какова тема нашего урока?- «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии».  (слайд 5)Сформулируйте цели урока:

Вывести формулу суммы n первыхчленов арифметической прогрессии, учиться применять ее для решения задач.

3. Изучение нового материала.

Историческая справка (опережающее задание ученику) (слайд 6)

        С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии связан эпизод из жизни немецкого ученого Карла Гаусса (показать портрет).

Карла Фридриха Гаусса (1777-1855)  нередко называют наследником Эйлера. Они оба носили неформальное звание король математиков и удостоились посмертной уважительной шутки: «Он перестал вычислять и жить».

 Когда Карл Гаусс учился в начальной школе, преподаватель предложил ученикам самостоятельно найти сумму натуральных чисел от 1 до 100. Он предполагал, что ученики будут складывать эти числа по порядку, на что потребуется не менее 10 минут. Какого же было его удивление, когда маленький Карл через 1-2 минуты заявил, что он задание выполнил и дал правильный ответ.

Юный Гаусс сам того, не подозревая, вывел формулу суммы первых 100 членов арифметической прогрессии.

     Способности   Гаусса  в области счета всегда удивляли  людей, которым доводилось с ним встречаться. В   развитии   этих способностей очень большую роль сыграли целеустремленность, трудолюбие и тщательность выполнения каждой работы, в том числе и чисто ученических упражнений. При выполнении вычислений  Карл  Гаусс всегда  соблюдал образцовый порядок.   Каждую цифру он  писал четко; каждое число занимало надлежащее ему место.

      Почти неизвестно ошибок в работах Гаусса. Он умел своевременно выявлять и исправлять свои ошибки.

Учитель  

Сегодня на уроке, подобно Гауссу, мы выведем в общем виде формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии и рассмотрим ее применение к решению практических задач.

Задача эта не проста,

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа.

Пять первых связок рассмотри,

Найдёшь к решению ключи.

Давным-давно сказал одинмудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

(слайд 7)

S = 1 + 2 + 3+ …+98 + 99 + 100,

S = 100 + 99 + 98+ …+3 +2 +1,

2S = 101∙100, S =  =5050.

Сумму п первых членов арифметической прогрессии принято обозначать как Sn.    Используя эти рассуждения  найдем сумму n-первых членов арифметической прогрессии. (Вывод формулы Sn = .(слайд8)

(аn) – арифметическая прогрессия.
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an,
Sn = an + an-1 + an-2 + …+ a3 + a2 + a1.
a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an,
a3 + an-2 = (a1 + 2d) + (an– 2d) = a1 + an,
a4 + an-3 = (a1 + 3d) + (an– 3d) = a1 + anит.д.
2Sn = (a1 + an)∙n. 

 Вернемся теперь к заданию в начале урока (в,г). Найдите, применяя формулу,S5  и S100. (Один ученик на доске, остальные в тетради).

Учитель. Решите №16.35(а) стр.103 (слайд 9). Удобно ли применить формулу, применительно к данной задаче? Что из условия известно? Ваши предложения по решению?

        Выведем в общем виде вторую формулу суммы n-первых членов  арифметической прогрессии, если известны a1  и d.

   (ученик выводит формулу на доске)

Если учесть, что                               ,  то получим:

- Что должны знать, чтобы применить первую формулу? А вторую?  (слайд 10)

Решаем задачу.

4. МИНУТКА ОТДЫХА.

 Прогрессии  и формулы прогрессий встречаются как в различных науках, так и в жизни . (слайд 11)Сегодня вы узнаете о ее применении в такой, казалось бы далекой от математики области, как литература

Прогрессия в литературе (опережающее задание) (Слайды 12, 13,14)

 Вспомним строки А. С. Пушкина из романа «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя самых честных правил…), то есть ударными являются 2-й, 4-й, 6-й, 8-й и т. д..  Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8, … Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. (Буря мглою небо кроет…) Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1, 3, 5, 7, ….

5. Закрепление изученного. Практическое применение прогрессии

Работа в группах (слайды 15, 16, 17)

Задача 1.

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке.

Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12 бревен?    

Ответ: 78 бревен

Задача 2.

Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3 м. Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м больше, чем в предыдущий. Сколько м уложат студенты за 15 дней?

S15 = (6 + 14 ∙ 2) ∙ 15: 2 = 255(м)

Задача 3. «Наследство».

Джентльмен получил наследство.  За первый месяц он истратил 1000$, а каждый следующий месяц он тратил на 500$ больше, чем в предыдущий. Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

Решение:

Применив формулу , получаем:

Применив формулу: , получим:

6.Рефлексия (слайд18)

 Вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли вам за сегодняшний урок сделать  открытия?

А какие открытия Вы для себя сделали?

(Предполагаемые ответы: Мы узнали формулы суммы первых членов арифметической прогрессии,  познакомились с математиком Гауссом и т.п.)

А какие цели урока мы ставили перед собой?

Как Вы считаете, нам удалось достичь поставленных целей?

7.ИТОГ УРОКА, выставление, комментирование оценок за работу на уроке.

Д.з. Из сборника по подготовке к  ОГЭ

А урок закончу словами Карла Гаусса: «Математика – царица наук, а арифметика – царица математики». Любите математику, учите математику, и тогда вам любая наука будет по плечу. Знайте: ничто не дисциплинирует человека, так, как математика, ничто не развивает его способности так,  как математика, и  ничто не ведет вперед к успеху так, как математика. Желаю успеха , постоянного движения вперед и тогда вы будете прогрессивными людьми! Урок закончен. Спасибо за работу! (слайд19)