Методические рекомендации для самостоятельного изучения темы " Радианное измерение угловых величин"
учебно-методическое пособие по алгебре (11 класс)

Методические рекомендации для самостоятельного изучения темы «Радианное измерение угловых величин».

Система упражнений для самостоятельного изучения помогает обучающимся старших классов научиться самостоятельно решать задачи по тригонометрии.

К каждому заданию дается необходимый теоретический материал, система упражнений с ответами, консультации (1-го и 2-го уровня) для усвоения и закрепления этой темы и контрольные задания. В случае необходимости обучающийся может изучить или восстановить в памяти доказательства теорем и формул по действующим школьным учебникам. Если решение  того или другого примера проведено неверно, то обучающийся может обратиться к консультации первого уровня, с помощью которой он может достигнуть нужного результата. В противном случае (при повторном получении неверного ответа) обучающийся может обратиться к консультации второго уровня. Консультации познакомят ребят с рациональными приемами и методами поиска решения задач. И только после того как все упражнения к данному заданию решены и усвоены приемы, обучающийся может приступить к выполнению контрольного задания. Контрольные задания и и ответы к нему даются к каждому заданию в конце второй консультации. Получение правильных ответов будет характеризовать подготовленность по данной теме. Я уже много лет использую этот материал в старших классов для подготовки обучающихся, готовящихся поступить в вузы.

Теоретический материал

Кроме градусного измерения угловых величин, будем пользоваться радианным. Радиан - это  градусов: 1рад = . В дальнейшем 1 рад будем обозначать просто 1.

Из определения радиана следует, что 10 =  поэтому радианам. Например, 450 =900 =

Поворот на  радианов будем обозначать . Известно, что

Любому числу  соответствует точка единичной окружности, поэтому будем говорить, что существует отображение множества действительных чисел R на множество точек единичной окружности .

Тригонометрическую функцию угла в  в дальнейшем уже можем называть функцией числа  Например, sin – «синус числа ».

Если точка , изображающая число , находится на дуге I четверти единичной окружности, то будем говорить, что число  находится в I четверти и т.д.

§2. Четность и нечетность тригонометрических функций

Определение 1. Функция y=f(x) называется четной, если вместе с каждым значением переменной x из области определения f значение – х также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f(x) = f(-x)

Определение 2. Функция y=f(x) называется нечетной, если вместе с каждым значением переменной x из области определения f значение – x также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Из шести тригонометрических функций косинус и секанс – четные, остальные нечетные, т.е.

 , , , .

§3. Периодичность тригонометрических функций

Определение 1. Функция  называется периодической, если для нее существует такое число что при любом х из области определения функции числа  также принадлежат этой области и выполняется равенство

В этом случае число  называется периодом функции.

Если наименьшей положительный период функции обозначить , то все периоды этой функции будут кратны , где

В дальнейшем периодом функции будем называть наименьший положительный период ее.

а) Периодичность синуса и косинуса.

На единичной окружности (рис. 1) видим, что

Итак, sin, cos имеют период .

б) Периодичность тангенса и котангенса.

На единичной окружности (рис.2) видим, что , , где х и у – координатные точки.

т.е. тангенс и котангенс имеют период, равный .

§4. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов

а) Косинус разности

б) Косинус суммы

3. Синус суммы
4. Синус разности
5. Тангенс суммы
6. Тангенс разности  

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите , , , если  
2. Покажите, что , если
3. Вычислите синус, косинус, тангенс и котангенс углов:
4. Выразите
5. Дано  
6. Найдите .
7. Выразите   

Упростите выражения:

8. 
9. 
10. 
11.                  б)
12. а)б)

13.               б)                в)
14. 
15. 
16. 

С помощью формул приведения упростите выражения:

Докажите тождества:

27.  = tg α.
28. 1 + tg α tg β =   .
29.  ctg α + ctg ( = .
30. sin 200° sin 310° + cos 340° cos 50° = .
31. sin 4α + cos 4α ctg 2α = ctg 2α.
32. cos ( - sin  

33. ;

34.
35.  .
36.
37. .
38. , если α + β + γ = .
39. , если α + β + γ = π, n  Z.

Ответы

1. ;                                    
2. 
3. sin 15 =  ( – 1);

sin 105° = ( + 1);

cos 75° =  ( – 1);

tg 15° = ;

tg 105° = ;

tg 75° = ;

4. sin 3α = 3 sin α – 4  α ;      cos 3α = 4 α – 3 cos α;      tg 3α =

5. Так как tg (α+β+γ) = 1  , то  α+β+γ = 45°                  6.

7. sin (α+β+γ)= sinα cosβ cosγ + sinβ cosα cosγ+ sinγ cosα cosβ - sinα sinβ sinγ;

cos(α+β+γ) = cosα cosβ cosγ - sinα sinβ cosγ - sinα cosβ sinγ - sinβ cosα cosγ.

8. , 9.tg α , 10.1 , 11. а)sin 40°; б)- sin 40° . 12. а) – ;     13. а) –tg 4β  б) 1 в)1;  14. 1  ;  15 . сtg 15° . 16. – cos (α+β) .  17 . 2 cos α ;  

18.  ; 19. 4;  20.  ; 21. 1;  22.2;  23.

Консультации первого  уровня

1. Используя формулу сложения для синуса и косинуса разности и тангенса суммы. С помощью тождества  x +  x = 1 найдите синус угла. Учтите , что число α и β находятся а IV четверти .
2.  в том случае, когда sin . По данным синусам найдите соответствующие косинусы и вычислите  sin (α+β)
3. Представите данные углы в виде: 15° = 45° - 30°, 75° = 45° + 30°, 105° = 60° + 45° - и примените соответствующие формулы сложения для тригонометрических функций.
4. Представьте угол 3α = 2α + α и примените  формулы сложения и формулы двойного аргумента для тригонометрических функций.
5.  в том случае, если tg(α+β+γ) = 1

Вычислите tg(α+β+γ) = tg((α+β)+γ).

6. По данному косинусу определите синус. Затем используйте формулу сложения для синуса и косинуса .
7.  Представьте (α+β+γ) в виде ((α+β)+γ). Аналогично представьте и косинус.
8. 
9. Используйте формулы сложения для синуса и косинуса суммы.
10. Выразите  сtg 3α через синус и косинус соответствующих аргументов. Затем выполните вычитание дробей.
11. а) Представьте углы 20°,40° и 100° соответственно в виде 30° - 10°, 30° + 10° и 90° + 10°

б) Углы 10°,50° и 70° представьте в виде 30° - 20°, 30° + 20° и 90° - 20°

12. а) Примените формулы косинуса разности и синуса суммы.

б) Пример аналогичен предыдущему.

13. а) Значение sin  замените числовым значением. По формулам приведение замените на примените формулу  котангенса суммы.

б) Примените формулу для тангенса суммы.

в) Значение  выразите через тангенс острого угла, пользуясь формулами приведения

14. Примените формулу котангенса разности.

15. Примените равенство 3=(= . Затем числитель и знаменатель полученного выражения разложите на множители и воспользуйтесь формулами котангенса суммы и разности.

16. Упростите второй сомножитель по формулам приведения. Тангенс и котангенс выразите через синус и косинус соответствующих аргументов.

17. Используйте формулы приведения тригонометрических функций.

18. Используйте свойства четности косинуса и периодичности танген6са. Примените формулы приведения.

19. Упростите выражения в скобках с помощью формул приведения. Примените формулу для разности квадратов двух выражений.

20. Использовав формулы приведения и свойства периодичности, приведите тригонометрические функции к функциям острого угла.

21. Примените формулы приведения и свойство периодичности тригонометрических функций.

22. См. пример 21.

23. Применив свойства периодичности, приведите тригонометрические функции к функциям острого угла.

24. Примените формулы синуса и косинуса суммы.

25. Используйте формулы синуса разности и косинуса разности.

26. Воспользовавшись свойством четности косинуса, представьте числитель в виде синуса разности. В знаменателе примените формулу косинуса разности.

27. См. пример 23.

28 Тангенсы выразить через синусы и косинусы соответствующих аргументов.

29. Применив формулу приведения, выразите левую часть через синусы и косинусы.

30. Приведите тригонометрические функции к функциям острого угла.

31. Выразите котангенс через синус и косинус. Выполните сложение.

32. Примените формулу косинуса разности и, сгруппировав члены с общими множителями, вынесите эти множители за скобки.

33. а) Воспользовавшись формулой синуса суммы, выполните действие умножения.

б) Примените формулы косинуса суммы и разности, произведите умножение.

34. Примените формулу тангенса суммы, сгруппировав второе и третье слагаемые. Вынесите общий множитель за скобки.

35. Выразите котангенсы через синусы и косинусы, выполните в числителе вычитание, а в знаменателе сложение дробей.

36. Используйте формулы тангенса суммы и разности и произведите указанные действия.

37. Сгруппировав последние два слагаемых, умножьте и разделите полученное выражение на (1 - ), а затем примените формулу тангенса суммы.

38. Сгруппировав последние два слагаемых, вынесите  за скобки. Учитывая, что , исключите . Далее примените формулу приведения для тангенса.

39.  Сгруппировав последние два слагаемых, умножьте и разделите их сумму на выражение (1- формулу тангенса суммы и замените  через .

Консультации  второго  уровня

1. sinα = -  , так как  ≤ α ≤2π,  sinα =- = -,

        sinβ = - = -, sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ = -  .  + . (-) = ..

        Аналогично  cos(α - β) = cos α cosβ = sin α sin β.

        tg(α+β) = , где tg α =  =  = - , tgβ = -.

2. сosα= α =  = , cosβ = = ,

        sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β =  .  +  .  = …
3. sin15° = sin(45°-30°) = sin45°cos30° - cos45°*sin30° =*-* =…,

        sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30° + cos45°*sin30° =* +*=…,

        sin105° = sin(60°+45°) = sin60°*cos45° + sin45°*cos60° =*+*=…,

        cos15° = cos(45°-30°) = cos45°*cos30° + sin45°*sin30° =*+*=…,

        cos75° = cos(40°+35°) = cos45°*cos30° - sin45°*sin30° =*-*=…,

        cos105° = cos(60°+45°) = cos60°*cos45° - sin60°*sin45° =*-*=…,

        tg15° = tg(45°-30°) ===…  .

4. sin3α = sin(2α - α) = sin2αcosα + sinα*cos2α = 2sinαα + sinα(1 - 2α)

        = 2sinα - 2α + sinα - 2α=… .

        Аналогично для cos3α.

 … .

        Далее упростите.

5.

.

6. sin(

        .

7.

Аналогично

8.

9.

Далее подставьте числовые значения тригонометрических функций, приведите подобные члены.

10..

Примените формулу синуса разности.

11.а)

        Примените формулу синуса суммы.

        б)…..

12. а) .

Приведите подобные члены

б)  A=.

13. а) A=

б) ;

в) .

14.

Сократите дробь и приведите подобные члены.

15. .

Примените формулы котангенса суммы и разности.

16.

Примените формулу косинуса разности.

17.

18.Учитывая, что –π является одним из периодов тангенса, и используя четность косинуса, получим:

Далее упростите

19. В скобках приведите подобные члены

20..

21. .

22.

23.

Далее учтите, что , поэтому

24. .

25. .

        Далее в числителе и знаменателе приведите подобные члены и упростите.

26. .

        Далее приведите подобные члены и примите формулы сложения.

27. .

        Далее упростите.

28. .

        Далее примените формулу косинуса разности.

29. .

        Далее сложите дроби и упростите.

30.

        Далее примените теорему сложения.

31..

        В числителе примените формулу косинуса разности.

32.

Далее вынесите общие множители за скобки и примените формулы сложения.

33. а)

Далее приведите подобные члены.

б) .

Далее примените формулы сложения.

34. .

Далее примените формулу тангенса суммы.

35.

Далее примените формулу сложения.

36.

После сокращения дробей приведите подобные члены.

37.

Вынесите общий множитель за скобки.

38.

Далее примените формулу тангенса суммы.

39.

Далее учтите, что по свойству периодичности

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1.Вычислите

2.Вычислите

3.Упростите

4.Вычислите без таблиц

5. Вычислите

6. Найдите

7. Упростите

8. Вычислите без таблиц

9. Докажите тожество:

10. Докажите, что величина выражения .

11. Докажите, что если A,B и C – углы треугольника , то .

12. Докажите tg a, если .

13. Докажите тожество

Ответы

1.

6.