Задачи экономического содержания в ЕГЭ по математике.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Задачи экономического содержания в ЕГЭ по математике.

Задачи на нахождение ежегодной платы (транша).

Задача 1.  31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение : S = 4290000  - сумма кредита, r = 14,5%,  х - ежегодная выплата

При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент 1+0,145=1,145.

После второго взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решаем полученное уравнение: 1,14522S - 2,145x = 0

2

.

Ответ: 2622050 рублей

При решении этих задач можно увидеть закономерность и, оформив  решение в общем виде, получаем формулу.

S-сумма кредита,

р=, где a - процентная ставка,

х – сумма ежегодных выплат;

I год: S·p-х

II год:

III год:

IV год:

и т.д.

Задача 2.   31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре месяца)?

Решение. S = 6902000 -  сумма кредита, r=12,5%,  х - ежегодная выплата

Применяем формулу:    , где

S-сумма кредита,

р=, где a- процентная ставка,

х – сумма ежемесячных выплат;

Ответ: 2 296 350 рублей.

Задача 3.  31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем переводит в банк 3696300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение: Воспользуемся формулой:     = 0, которую вывели при решении задач на нахождение ежегодной (ежемесячной) выплаты,

где  p= 1+0,11=1,11, х = 3696300

0  → S =  =  = 6330000.

Ответ: 6330000рублей

Задача 4.  15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.

Решение: S - сумма кредита, r = 3%

Сперва нужно вычислить сумму кредита. Известно, что восьмая выплата = 99,2тыс. Находим размеры выплат:

1-й месяц:  +  =

2-й месяц:  + ∙ =    

3-й месяц:  + ∙ =

....

8-й месяц:  →   = 99200 → S = 99200∙ = 1200000, то есть планируется взять в кредит 1200000рублей.

Теперь, чтобы найти сумму которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии Sn = . Для этого сперва найдем пятнадцатую выплату:

а15 = 145 - 3∙14 = 103, т.е.

Общая сумма равна:  ++…S

S15 =  = 1860,       т.е.  =  = 1488000

Ответ: 1488000

Задачи на вычисление процентной ставки.

Задача 1.   31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 1млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Евгений переводит очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540тыс. рублей, во второй 649,6 тыс. рублей. Найдите а?

Решение: S = 1000000, а - процентная ставка по кредиту.

В конце 1-го года долг составит:

 ∙ 1000000 - 540000 = 460000 + 10000а

В конце 2-го года:

 ∙(460000 + 10000а) - 649600 = 100а2 + 14600а - 189600

По условию, кредит будет погашен за два года, составляем уравнение:

100а2 + 14600а - 189600 = 0, сокращая на 100 получим

а2 + 146а - 1896 = 0. Решаем квадратное уравнение, находим дискриминант

Д = 1462 + 4∙1896 = 21316 + 7584 = 28900= 1702

а1 = ,        а2 = .

Ответ: 12%

Задача 2 . 15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Решение: S - сумма кредита r =5%

выплата за 1-й месяц:  +

2-й:   +

3-й:   ;   4-й: ;   5-й: .

Таким образом, за все 5 месяцев сумма выплат составит:

Из выражения видно, что первоначальная сумма кредита увеличилась на 1,15 раз, т.е. на 115%.

Ответ: 115%

Задача 3.   Лев взял кредит в банке на срок 40 месяцев. По договору Лев должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется р% этой суммы, затем следует платеж Льва.

а) Ежемесячные выплаты подбираются, таким образом, чтобы долг уменьшался равномерно.

б) Известно, что наибольший платеж Льва был в 25 раз меньше первоначальной суммы долга. Найдите р.

Решение: S - сумма кредита, р - процентная ставка.

Ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.

Выплата в 1-й месяц:  + ∙S и так как он будет наибольшим составим уравнение:  (  + ∙S)∙25 = S    →   + p = 1,   p = 1,5

Ответ: 1,5%

Задачи на нахождение количества лет выплаты кредита.

Задача 1. В июле Федор планирует взять в кредит 1,1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года Федор должен выплатить некоторую часть долга.

На какое минимальное минимальное количество лет Федор может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300тысяч рублей?

Решение:

1) В конце первого года долг составит:

        1100000∙1,1 - 300000 = 910000

2) В конце второго года долг составит:

        910000∙1,1 - 300000 = 701000

3) В конце третьего года долг составит:

        701000∙1,1 - 300000 = 471000

4) В конце четвертого года долг составит:

        471000∙1,1 - 300000 = 218210

5) В конце пятого года долг составит:

        218210∙1,1 - 300000  0 , т.е. кредит будет погашен за 5 лет.

Ответ: 5 лет

Задачи на оптимизацию.

Задача 1.   У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400ц/га, а на втором - 300ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300ц/га, а на втором - 400ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 5000руб. за центнер, а свеклу - по цене 6000руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение: Посчитаем доход фермера с 1-го поля:

1) если засеет на нем картофель, урожайность - 400ц/га, 1ц = 5000рублей

с 10 га он соберет 400ц/га∙10га = 4000ц  тогда доход:

4000∙5000= 20000000рб = 20млн.

2) если засеет свеклу, урожайность - 300ц/га, 1ц = 6000 рублей

с 10 га он соберет 300∙10=3000ц, тогда доход:

3000∙6000 = 18000000рублей = 18млн.

        Теперь посчитаем доход фермера со 2-го поля:

1) если засеет картофель, урожайность - 300ц/га

с 10 га он соберет 300∙10 = 3000 ц, тогда доход

3000∙5000 = 15000000 рублей = 15млн

2) если засеет свеклу, урожайность свеклы - 400ц/га

с 10 га он соберет 400∙10 = 4000ц, доход будет равен:

4000∙6000 = 24000000рублей = 24млн

Отсюда видно, что максимально возможный доход:

20млн + 24млн = 44млн.                  Ответ: 44млн.

Задача 2.  В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает  0.2 кг. алюминия или 0.1 кг. никеля. Во второй области для добычи х кг. алюминия в день требуется у²  человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий или никель, причем 1 кг. алюминия можно заменить 1 кг. никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение: 1). В 1 области работают 250 рабочих, каждый работает по 5ч в сутки. За один час один рабочий добывает 0,2кг алюминия, или 0,1кг никеля, т.е в сутки могут добыть:

250∙5∙0.2= 250 кг. алюминия или

250∙5∙0,1=125 кг. никеля. Отсюда видно, что выгоднее будет, если все будут добывать алюминий.

2) Во второй области также работают 250 человек, также работают по 5ч в сутки. Для добычи х кг алюминия требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля требуется у2 человеко-часов, т.е 250 рабочих нужно разделить таким способом, чтобы извлекался корень

==25 кг.(никель)          ==25 кг.(алюминий)

250+25+25=300 кг.

              Ответ: 300кг              

Задача 3.  Борис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

        За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 200 рублей.

        Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение: Пусть х - единиц товара 1-го завода,

                            у - единиц товара 2-го завода.

Тогда,   х + у = 70,   → х = 70 - у

               500х2 + 200у2 = S

500(700 - у)2 + 200у2 = S

700у2 - 70000у + 2450000 = S

700у2 - 70000у + 2450000 - квадратный трехчлен примет наименьшее значение при у =  = 50

Тогда S = 700∙502 - 70000∙50 + 2450000 = 700000

Ответ: 700000