Олимпиадные задания 6-8 кл
олимпиадные задания по алгебре (6, 7, 8 класс)

Олимпиадные задачи для 6 класса

1.        Если от  задуманного числа отнять 11, то получившееся число разделится на 11. Если от задуманного числа отнять 7, то полученное число разделится  на  7.  Если от задуманного  числа  отнять   13,  то полученное число разделится на 13. Найти задуманное число.

2.        Отец  и  сын   решили   перемерить  шагами   расстояние   между  двумя деревьями, для чего отошли одновременно от одного и того же дерева. Длина шага отца - 70 см, сына - 56 см. Найти расстояние между этими деревьями, если известно, что следы их совпали 10 раз.

3.        К числу  10 справа и слева приписать по одной  цифре так,  чтобы получилось число, кратное 36.

4.        Задача французского математика Пуассона: Некто имеет 12 пинт сока (пинта = 0,57 л) и хочет подарить половину своему другу, но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть 2 сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт сока в сосуд, содержащий 8 пинт?

5.        В двух корзинах 140 яблок.    Сколько яблок в каждой корзине, если 0,3 количества яблок  в  первой  корзине  в три  раза  меньше,  чем  0,36 количества яблок во второй корзине?

6.        Сумма двух чисел равна 0,25. Частное тех же чисел также равно 0,25. Найдите эти числа.

7.        Я еду в поезде, который идет со скоростью 40 км/ч, и вижу, как в течение 3  сек мимо  моего окна в противоположном  направлении  проходит скорый поезд, имеющий в длину 75 м.   С какой скоростью шел встречный поезд?

8.        Два самолета вылетели одновременно из Москвы в одном и том же направлении: один - со скоростью 350 км/ч, другой - со скоростью 280 км/ч. Через два часа первый уменьшил скорость до 230 км/ч, на каком расстоянии от Москвы второй самолет догонит первый?

9.        Чтобы наполнить ванну вместимостью 166 литров за 22 мин, сначала открыли кран с горячей водой, через который в 1 мин вливается 6,75 л, затем этот кран закрыли и открыли кран с холодной водой,  через который в 1 мин вливается 8,5 л. Сколько времени был открыт каждый кран?

10.         Какой цифрой оканчивается произведение всех нечетных двузначных чисел? Всех нечетных пятизначных чисел?

11.         Велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, а потом точно такое же время - со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость движения велосипедиста?

12.         В нашем классе 33 человека и каждый дружит ровно с пятью одноклассниками. Может ли такое быть?

13.         Плитка шоколада состоит из 35 квадратиков (7 * 5). Ее ломают по прямым,   которые  делят  квадратики   до  тех   пор,   пока  не   получат отдельных 35 квадратиков. Сколько раз нужно поделить шоколадку?

14.         Собака погналась за лисицей. В то время, когда собака делает 2 скачка, лисица делает 3 скачка, но скачок лисицы равен 1 м, а собаки 2 м. Какое расстояние пробежит     собака,  чтобы   догнать   лисицу,   если первоначальное расстояние между ними равно 50 м?

15.           Докажите,  что сумма любых четырех последовательных натуральных чисел

      не делится на 4.

16.          Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 1/6 их часть, а две другие уменьшили на 1/6 часть. Как изменилась площадь прямоугольника?

17.          Бригада косцов в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найдите площадь луга.

18.          В школе 33 класса,  1150 учеников. Найдется ли в этой школе такой класс, в котором не менее 35 учеников?

19.          Света,  Ира,   Юля,  Лена  и  Антон  живут  в одном  подъезде  дома.  Возвращаясь из школы, Cвета проходит до своей квартиры 84 ступеньки, Ира - 126, Юля - 147, Оля - 189, Лена - 210, Антон - 231 ступеньку. До квартиры на первом этаже ступенек нет, а между этажами одинаковое количество ступенек. Кто на каком этаже живет?

20.         Три  велосипедиста  начали  с общего  старта движение по  круговой дорожке. Первый делает полный круг за 21 минуту, второй - за 35 минут, третий - за 15 минут. Через сколько минут они еще раз окажутся вместе в начальном пункте?

21.          Найдите наименьшее число, которое делится на 77, а при делении на 74 дает в остатке 48.

22.          Из корзины  яиц взяли половину всего количества,  потом  половину остатка, затем  половину нового остатка и,  наконец, половину нового остатка. После этого в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально?

23.          В пионерский лагерь приехали три друга: Миша, Володя, Петя.  Их фамилии:   Иванов,   Семенов,   Герасимов.   Известно,   что   Миша   не Герасимов. Отец Володи инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова - слесарь. Какая фамилия у каждого мальчика?

24.         Сколько лет дедушке,  столько  месяцев  внучке.  Дедушке с внучкой вместе 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке?

25.         Три лягушки находятся на дне колодца, глубиной 60 м. За день они поднимаются  на 18 м каждая, а потом спускаются первая на 12м, вторая на 16 м, третья на 17 м и остаются на своих местах до следующего дня. На  следующий   день   каждая   лягушка   проделывает   снова  такой   же маршрут и т. д. Через сколько дней лягушки выйдут из колодца?

26.         Для нумерации страниц учебника потребовалось 411   цифр.   Сколько страниц в учебнике?

27.          Трое друзей хотят купить книгу. Оказалось, что двоим на покупку книги не хватает 1 рубля, а третьему 290 рублей. Когда они сложили свои деньги, то оказалось,  что денег на покупку книги им все равно не хватает. Зная, что денег у первого из друзей на 19 рублей больше, чем у второго, найдите сколько денег было у каждого?

28.          За границу поехала группа туристов из 100 человек. 10 из них не знали ни немецкого, ни французского языка. 75 человек знали немецкий язык. 83 человека знали французский язык. Сколько туристов владели обоими иностранными языками?

29.          При сложении четырех чисел из-за нечеткой записи их в первом числе в разряде сотен цифра 2 была принята за 5, во втором числе в разряде тысяч цифра 3 была принята за 8, в третьем числе в разряде единиц цифра 9 была принята за 2, в четвертом числе в разряде десятков цифра 7 была  принята  за  4.  В  результате  сложения   получили  28975.   Найди ошибку результата и верную цифру.

30.          Два мальчика Миша и Гриша учатся в городе, который находится в 6 км от их деревни. Однажды автобус, которым они обычно ездили, сломался, и они решили пойти в город пешком. Миша первую половину пути шел со скоростью 4 км/ч, а вторую половину пути со скоростью 2 км/ч. Гриша же первую половину времени шел со скоростью 4 км/ч, а вторую половину времени со скоростью 2 км/ч, какой мальчик пришел в город раньше и на сколько?

Олимпиадные задачи для 7 класса

1.        Сумма двух чисел равна 13,5927. Если в большем из них перенести запятую на один знак влево, то получим меньшее число. Чему равны эти числа?

2.        Вычислите: 2379 • 23782378 - 2378 • 23792379.

3.        Один из четырёх гангстеров украл чемодан с деньгами. На допросе Алекс сказал, что чемодан украл Луи, Луи утверждал, что виновник Том, Том заверял следователя, что Луи лжёт. Жорж настаивал только на том, что он не виноват. В ходе следствия выяснилось, что только один из гангстеров сказал правду. Кто украл чемодан?                                                                          

4.        Найдите площадь закрашенной фигуры:    

5.        В каждой клетке шахматной доски 5x5 сидит жук. В некоторый момент по команде все жуки переползают на соседние (по горизонтали или по вертикали) клетки. Докажите, что при этом одна из клеток обязательно останется пустой.

6.        Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99 % сосен. Мы будем рубить только сосны. После их вырубки останется 98 % от всех деревьев». Какая часть леса будет вырублена?

7.        Коза и корова съедают воз сена за 45 дней, корова и овца - за 60 дней, овца и коза - за 90 дней. За сколько дней съедят воз сена коза, овца и корова вместе?

8.        Делится ли число  44444...44 на 8?

       2005штук

9.        Докажите, что число 2  делится на 9.

10.        Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям - один со скоростью 60 км\ч, а другой со скоростью 80 км\ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него в течение 6 с. Какова длина первого поезда?

11.        Магазин продал третью часть полученных апельсин и ещё 32 кг, третью часть остатка и ещё 32 кг отпустил школьной столовой, третью часть нового остатка и ещё 32 кг передали детскому саду, после чего осталась третья часть нового остатка и ещё 32 кг. Сколько кг апельсин было в магазине первоначально?

12.        Имеется 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. По виду все пластинки одинаковые, но одна из них легче других. Как с помощью двух взвешиваний найти более лёгкую пластинку?

13.        В приёмной 10 кресел. Сколькими способами в них могут разместиться 4 посетителей?

14.        У звезды ACFBD равны углы при вершинах А и В,  углы при вершинах F и С, а также длины отрезков АС и ВF. Докажите, что AD = BD.                                                  

15.        Малыш и Карлсон поочерёдно берут конфеты из одного пакета. Малыш берёт    одну конфету, Карлсон - две, затем Малыш берёт 3 конфеты, Карлсон - 4, и так далее. Когда количество оставшихся в пакете конфет станет меньше необходимого, тот, чья очередь наступила, заберёт все оставшиеся конфеты. Сколько конфет было в пакете первоначально, если у Малыша в итоге оказалось 101 конфета?

16.        Вычислите:  ;

17.        Два джентльмена одновременно отправились на прогулку по аллее длиной 100 метров. Мистер Смит за час проходит 1 км, мистер Джонс идёт помедленнее - всего 600 метров в час. Дойдя до конца аллеи, каждый поворачивает и с прежней скоростью идёт обратно. Встречаясь, они каждый раз раскланиваются. Сколько раз они раскланиваются на протяжении первых 25 минут? Сколько времени из этих 25 минут они шли в одном направлении?

18.        В бутылке, стакане, кувшине и банке находится молоко, лимонад, квас, вода. Известно, что вода и молоко находятся не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?

19.        Сколько белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при переработке свежих грибов остаётся 50 % их массы, а при сушке остаётся 10 % массы обработанных грибов?

20.        Углы 60° и 40° имеют общую сторону. Найдите отношение меры угла, образованного не общей стороной угла 40° и биссектрисой большего угла, к мере большего угла.

21.        Сколько рыб в пруду? Некий ихтиолог хотел определить, сколько в пруду рыб, годных для улова. Для этого он забросил сеть с заранее выбранным размером ячеек и, вытащив её, обнаружил 30 рыб, отметил каждую из них меткой и бросил в пруд. На другой день забросил ту же самую сеть и поймал 40 рыб, на 2 из которых были его метки. Как по этим данным он приблизительно вычислил сколько рыб в пруду?

22.         Найти все такие целые числа х и у,  такие   что    (1 +у)(ху - 1) = 3.

23.        Число х при делении на 10 даёт в остатке 3, а число у при делении на 10 даёт в остатке 2. Доказать, что сумма (х + у) делится нацело на 5.

24.        Среднее арифметическое шести чисел равно 345, а среднее арифметическое четырёх других чисел равно 555. Чему равно среднее арифметическое всех десяти чисел?

25.        В комнате стоят табуретки и стулья, у каждой табуретки 3 ножки, у каждого стула 4 ножки. Когда на всех табуретках и стульях сидят люди, в комнате 39 ног. Сколько стульев и табуреток в комнате?

26.        Теплоход проходит путь от А до В по течению за 3 часа, а возвращается обратно за 4 часа. За какое время путь от А до В преодолевает плот?

27.        Решите уравнение:  || х - 674| -1| = 4.

28.        В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «3» 19 человек, по математике - 17 человек и по физике - 22 человека. Только по одному предмету имеют «3»: по русскому языку - 4 человека, по математике - 4 человека и по физике 11 человек. Семь человек имеют «3» и по математике, и по физике, из них пятеро имеют «3» и по русскому языку. Сколько человек учатся без троек?

29.        В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая - с пятой, третья - с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

30.        Докажите, что если треугольники АВМ  и АВМ  равны, то треугольники CDM и CDM  тоже равны.  

Олимпиадные задачи для 8 класса

1.        В наряд нужно послать трех человек: одного из пяти офицеров, одного из 7сержантов и одного из 20 солдат. Сколькими способами можно составить наряд?

2.        Построить график функции:   у =  

3.        Градусная мера угла АВС равна 56°.  С  помощью  циркуля  и  линейки построить угол в 14°, не проводя биссектрису данного угла.

4.        Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного из отрезков получить все  известные  виды треугольников:  равносторонний, равнобедренный,      разносторонний,      прямоугольный,      остроугольный, тупоугольный?

5.        Имеется пять гирь. Их массы равны 1000 грамм, 1001 грамм, 1002 грамм, 1004  грамм,   1007  грамм,  но  надписей  на них  нет,  и  внешне  они  не отличаются. Имеются весы со стрелками, которые показывают массу в граммах. Как с помощью 3 взвешиваний определить гирю весом в 1000 грамм?

6.        На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы получить возможно наибольшее число, делящееся на 9?

7.        Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство 1-2-4-8-16=19  стало верным.

8.        Если  задуманное  число  разделить  на  сумму  его  цифр,  то   в  частном получится 4 и в остатке 3. Если же из задуманного числа вычесть удвоенную сумму его цифр, то получится 25. Какое число задумано?

9.        Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в пункт В на 50 минут раньше пешехода, возвратился обратно в пункт А. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта В. На весь путь всадник затратил 1 час 40 минут. Найдите расстояние от А до В и скорость всадника и пешехода.

10.           Сократите дробь:  .

11.         В 13 часов в бассейн начали наливать воду из одной трубы, чтобы заполнить его к 16 часам следующего дня. Через некоторое время включили еще одну такую же трубу, т.к. потребовалось заполнить бассейн к 12 часам дня. Во сколько часов включили вторую трубу?

12.           Доказать, что сумма 2+22+23+....2  9+2100 делится на 3.

13.          Четыре девочки - Катя, Лена, Маша и Нина - участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую песню исполняли 3 девочки. Катя спела 8 песен -больше всех, а Лена спела 5 песен - меньше всех. Сколько песен было спето?

14.         За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?

15.         В одной коробке лежат 2 белых шара, в другой два черных шара, в третьей -один белый шар и один черный шар. На каждой коробке имеется рисунок, но он неправильно указывает содержимое коробки. Из какой коробки, не глядя, надо вынуть шар, чтобы можно было определить содержимое каждой коробки.

[○○]                           [ ●○]                       [ ●● ]            

16.         Квадрат расчерчен на 16 равных клеток. Каждую из букв А, В, С, D

расставьте в этих клетках по 4 раза таким образом, чтобы на любой горизонтали, любой вертикали и двух главных диагоналях не было одинаковых букв.

17.         Найдите трехзначное число аЬс , если известно, что четырехзначное число  авс1   в 3 раза больше четырехзначного числа   2авс .

18.         Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

19.        Три спортсмена - X,  Y, Z- участвовали  в забеге.  Известно,  что Z задержался на старте и выбежал последним, а Y - вторым. Во время бега Z  6 раз менялся местами с другими участниками, а X - 5 раз. Еще известно, что Y финишировал раньше X. В каком порядке финишировали спортсмены?

20.         На кружке физики учитель поставил следующий эксперимент. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, ..., 16 грамм так, что одна из чашек перевесила. Пятнадцать учеников класса по очереди выходили из класса и забирали с собой одну гирьку, причем после выхода каждого ученика перевешивала противоположная чашка весов. Какая гирька осталась на весах?

21.         В   турнире   по   игре  в  «крестики-нолики»,   проводившемся   по   системе «проиграл - выбыл» участвовали 18 школьников. Каждый день проводилась только одна партия, участники которой определялись жребием из еще не выбывших школьников. Шестеро из них утверждают, что участвовали ровно в четырех партиях. Возможно ли это? Ответ обоснуйте.

22.        Пять мальчиков, что-то не поделив, подрались между собой. После того, как их успокоили, милиционер дядя Степа спросил у каждого из них, кто затеял драку. На свой вопрос он получил следующие ответы:

 Петя: «Это точно не я, не Дима, не Витя»,  Саша: « Это точно не я, не Петя, не Коля»,   Коля: « Это точно не я, не Саша, не Дима»,  Дима: « Это точно не я, не Петя, не Коля»,   Витя: « Это точно не я, не Петя, не Коля».

В итоге оказалось, что только двое из них сказали правду. Сколько из мальчиков были зачинщиками драки, и как их зовут?

23.          Найти натуральное число А, если из трех следующих утверждений два верны, а одно - неверно: а) А+51 есть точный квадрат,  б) последняя цифра числа А есть единица,   в) А-38 есть точный квадрат.

24.          Разность двух натуральных чисел в два раза меньше одного из них, и не равна другому. Докажите, что разность кубов этих чисел кратна 19.

25.          Найти трехзначное число такое, что если в нем стереть цифру единиц, то полученное двузначное число кратно 7, если стереть цифру десятков, то полученное двузначное число кратно  11, если стереть цифру сотен, то полученное двузначное число кратно 13.

26.          Кот может съесть гирлянду сосисок за 37 минут, а пес - за 23 минуты. Они начали есть с двух концов, и когда съели всю, то посчитали, сколько процентов от всей гирлянды досталось каждому. Оказалось, что коту досталось на 10% больше, чем псу. Кто из них начал есть раньше и на сколько минут?

27.          Внутреннюю точку О треугольника АВС соединили с вершинами треугольника. Оказалось, что  АОВ=90° и ОВ=ОС. Найти величину угла ОАВ, если  АСВ=45°.

28.          В    четырехугольнике    АВСD    проведены    диагонали    ВD    и    АС, пересекающиеся   в   точке   О.   При   этом   ВО=ОD=АО,    АВD= АСD. Докажите, что АВСD - прямоугольник.

29.          Пусть АМ медиана треугольника АВС,  точка Р середина медианы АМ.  И пусть луч ВР пересекает сторону АС в точке N. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что NР- биссектриса угла АNМ и ВАС = NМС.

30.          В треугольнике АВС биссектриса AD угла А в точке своего пересечения с медианой угла В делит ее пополам, при этом АD=DС. Найдите углы треугольника АВС.